D1-1-函数-辽宁专升本-高等数学-树人-导航

第一部分第一部分 函数、极限、连续函数、极限、连续 1.1：函数函数初等函数 1.2：极限 1.3：连续 基本概念（集合，区间，邻域）函数的概念 函数的特性 反函数n函数函数1.1.集合集合（1）集合与元素 集合是个最基本的概念集合：是由确定的对象(客体)构成的集体用大写的英文字母表示这里所谓“确定”是指：论域内任何客体，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定的元素：集合中的对象，称之为元素表示元素与集合的属于关系例如，N表示自然数集合，2N，而1.5不属于N写成 1.5N2）有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合只给出朴素的定义，以后再给出严格的形式定义有限集合有限集合：元素是有限个的集合如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个数例如，A=1,2,3,则|A|=3无限集合无限集合：元素是无限个的集合3）集合的表示方法 列举法列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内例如，N=1,2,3,4,A=a,b,c,d 描述法描述法：用句子(或谓词公式谓词公式)描述元素 的属性例如，B=x|x是偶数 C=x|x是实数且2x5 一般地，A=x|P(x),其中P(x)是谓词公式，如果论域内客体a使得P(a)为真，则aA，否则aA。

4）说明1.集合中的元素间次序是无关紧要的，但是必须是可以区分的，即是不同的例如A=a,b,c,a，B=c,b,a,，则A与B是一样的2.对集合中的元素无任何限制，例如令 A=人，石头，1，,B=,3.常用的几个集合符号的约定：自然数集合N=1,2,3,整数集合I，实数集合R，有理数集合Q4.集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义不同：如 a：张书记 a:党支部(只有一个书记)a：分党委(只有一个支部)a：党委(只有一个分党委)a：市党委(只有一个党委)（5 5）集合间的关系）集合间的关系一.被包含关系(子集)1.定义：A、B是集合，如果A中元素都是B中元素，则称B包含A，A包含于B，也称A是B的子集记作AB文氏图表示如右下图例如，N是自然数集合，R是实数集合，则NR 谓词定义：ABx(xAxB)AB2.性质：有自反性，对任何集合A有AA有传递性，对任何集合A、B、C，有AB且 BC，则AC有反对称性，对任何集合A、B，有AB且 BA，则A=B二.相等关系 1.定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同，则称A与B相等记作A=B定理：A=B，当且仅当AB且 BA证明：充分性，已知AB且 BA，假设AB，则至少有一个元素a,使得aA而aB；或者aB而aA。

如果aA而 aB，则与AB矛盾如果aB而aA，则与 BA矛盾所以A=B必要性显然成立，因为如果A=B，则必有AB且 BAA=BABBAx(xAxB)x(xBxA)x(xAxB)(xBxA)x(xAxB)2.性质有自反性，对任何集合A，有A=A有传递性，对任何集合A、B、C，如果有A=B且 B=C，则A=C有对称性，对任何集合A、B，如果有A=B，则B=A数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.)(axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.0)(axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.5.5.绝对值绝对值:00aaaaa)0(a运算性质运算性质:;baab ;baba.bababa )0(aax;axa )0(aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:因变量因变量自变量自变量.)(,000处的函数值处的函数值为函数在点为函数在点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 定定义义 设设x和和y是是两两个个变变量量,D是是一一个个给给定定的的数数集集，数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数Dx,二、函数概念二、函数概念()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如，1,1:D211xy 例如，例如，)1,1(:D定义定义:.)(),(),(的图形（图像）函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD l 如果自变量在定义域如果自变量在定义域内任取一个数值时，内任取一个数值时，对应的函数值总是只对应的函数值总是只有一个，这种函数叫有一个，这种函数叫做做单值函数单值函数，否则叫，否则叫与与多值函数多值函数例如，例如，222ayx l 注注1 1 函数由函数由定义域定义域 D 和和对应法则对应法则 f 二要素二要素完全决定，因此若给出函数的定义域和对完全决定，因此若给出函数的定义域和对应法则应法则,也就确定了函数也就确定了函数.它与自变量与应它与自变量与应变量的符号无关变量的符号无关.l 注注2 2 表示函数有多种方法，常见的有表示函数有多种方法，常见的有解析解析法法、列列表法表法和和图象法图象法.解析法表示函数时解析法表示函数时,若没有特别指明其定义域若没有特别指明其定义域,则一般约定其定则一般约定其定义域为使该解析式义域为使该解析式有意义的自变量的全体有意义的自变量的全体(即存在域即存在域).).(1)符号符号sign函数函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x(3)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(4)狄利克雷狄利克雷Dirichlet函数函数+1,(,N,);()0,0,1(0,1).ppxp qqqqR xxxQ当当既既约约真真分分数数或或 (5)黎曼黎曼 Riemann函数函数O0.20.40.60.810.20.40.6xy狄利克雷狄利克雷(Dirichlet,P.G.L.18051859,德国德国)黎曼黎曼(Riemann,B.18261866,德国德国)0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.)0(tt解解UtoE),2(E)0,(2,2,0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即,),(时时当当 t.0 U其表达式为其表达式为是一个分段函数是一个分段函数,)(tUU ),(,0,2(),(22,0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2 例例2 2.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故故三、函数的特性三、函数的特性1.函数的有界性函数的有界性定义定义 设设 f 定义在定义在D上上.R,(),MxD f xMfD 若若则则称称在在上上有有上上界界；R,(),LxD f xLfD 若若则则称称在在上上有有下下界界；R,(),.MxD f xMfD 若则称在上有界若则称在上有界.上上既既有有上上界界又又有有下下界界在在上上有有界界在在易易证证DfDf00R,(),MxD f xMfD若则称在上无上若则称在上无上 界；界；00R,(),LxD f xLfD若若则则称称在在上上无无下下界界；:()tan0,),.2f xx求求证证在在上上无无上上界界 有有下下界界 例例0,).2上上有有下下界界0R,arctan(1),MxM令令0,).2上上无无上上界界00,),(),2Lxf xL，则则 证证在在因因此此 f000,),tan1,2xxMM则则且且在在因因此此 f2.2.函数的单调性函数的单调性1212,x xDxx若若当当时时12(i)()(),f xf xfD有有则则称称为为上上的的增增函函数数;12()(),.f xf xf特特别别有有时时 称称为为严严格格增增函函数数12(ii)()(),f xf xfD有有则则称称为为上上的的减减函函数数;12()(),.f xf xf特特别别有有时时 称称为为严严格格减减函函数数.上上的的函函数数是是定定义义在在设设Df定义定义)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI证证 1+211Ryxyy y 由由在在上上为为正正值值严严格格增增,可可知知()()f xg x不不难难知知道道,若若和和是是正正值值严严格格增增的的,则则()()f x g x 也也是是正正值值严严格格增增的的.例例2121N,Rnnnyx 任任意意在在上上严严格格增增;22+RRnnyx在在上上严严格格增增,在在上上严严格格减减.11+Rnnyy y 上上为为正正值值严严格格增增,可可知知在在上上亦亦正正值值+R在在上上亦亦正正值值严严格格增增.由归纳法由归纳法,若已证若已证+Rny 在在严严格格增增.12210,0,xxxx 若若则则于于是是2221212121()(),()(),nnnnxxxx 22212121212,Rnnnnnxxxxy即即.这这就就证证明明了了在在 21Rny上上严严格格减减,而而在在上上严严格格增增.121200,xxxx若若或或则则21212121121200nnnnxxxx或或，21Rny 这这证证明明了了在在上上严严格格增增.R,yx 易易证证函函数数在在上上是是增增函函数数 但但非非严严格格例例增增.xyO 111 1 222 2 343上也是严格上也是严格在其定义域在其定义域且且有反函数有反函数)(,11Dfff .增增函函数数(),yf xxDf 设设为为严严格格增增函函数数 则则必必定理定理11,fff类类似似地地 严严格格减减函函数数必必有有反反函函数数且且在在其其.定定义义域域上上也也是是严严格格减减函函数数,().xDf xy使使,()fDyf D设设在在上上严严格格增增 则则 证证只有一个只有一个1212,()(),xxf xyf x事实上,若使事实上,若使f则则与与1.:f的的严严格格增增性性质质相相矛矛盾盾再再证证必必是是严严格格增增的的,),(,2121yyDfyy 1212,yyfxx 由由于于及及的的严严格格增增性性 必必有有即即111122(),(),xfyxfy11112()(),.fyfyf 因因此此也也是是严严格格增增函函数数ny因因此此的的反反函函+Rnnyx 由由于于在在上上严严格格增增,例例6+,Rrnryxm在在上上亦亦为为严严格格增增.1/+Rnnzx 数数在在上上严严格格增增,故故对对任任意意有有理理数数01,R.a 时时 在在上上严严格格减减121122,r rQxrrx 使使因因此此1121sup,xrrraa rQ rxaa22sup,.xra rQ rxa1,Rxyaa 证证明明：当当时时 在在上上严严格格增增;当当例例12121.,.axxxxQ 设设由由的的稠稠密密性性,证证01,R.xaa类类似似可可证证当当时时 在在上上严严格格减减log,xayxya由由于于是是的的反反函函数数 因因此此logayx+01,R.a当当时时 在在上上严严格格减减+log1Rayxa当当时时,在在上上严严格格增增;3.3.函数的奇偶性函数的奇偶性.,:,DxDxD 必有必有即即关于原点对称关于原点对称设设定义定义,()(),xD fxf x 若若.fD称称为为上上的的奇奇函函数数,()(),xDfxf x 若若.fD称称为为上上的的偶偶函函数数偶偶函函数数的的充充要要条条件件是是:(,)()(,)();x yG fxyG f (,)()(,)().x yG fx yG f或或 ()G ff显显然然,若若记记为为的的图图象象,则则()f x 是是奇奇函函数数或或)(xf yx)(xfox-x)(xfy yx)(xf )(xfy ox-x)(xf21,sin,tan,nyx yx yx 例例如如是是奇奇函函数数,而而2cos,nyx yx是是偶偶函函数数.211ln1(ee)2xxyxxy-是是奇奇函函数数=-=-的的反反函函数数,从从而而由由奇奇函函数数的的图图象象性性质质可可知知它它也是奇函也是奇函 数数.4.4.函数的周期性函数的周期性),()(,xfxfDx 且且必必有有,.ff 则称为周期函数为的一个周期则称为周期函数为的一个周期,f若若周周期期函函数数的的所所有有正正周周期期中中有有一一个个最最小小的的周周期期f则则称称此此最最小小正正周周期期为为的的基基本本周周期期,简简称称周周期期.0,fDxD 设设为为上上定定义义的的函函数数 若若使使定义定义()1.f xxx例例如如函函数数的的周周期期为为见后图见后图.注注1 周期函数的定义域不一定是周期函数的定义域不一定是R.例如：例如：.sin)(xxf sin2,x的的周周期期为为tan,x的的周周期期为为例例-3-2-1O1231xy注注2 周期函数不一定有最小周期周期函数不一定有最小周期.例如狄利克雷函例如狄利克雷函数以任意正有理数为周期，但没有最小周期数以任意正有理数为周期，但没有最小周期.例例 任意正有理数是狄利克雷函数任意正有理数是狄利克雷函数D(x)D(x)的周期的周期.证证 设设+Q,R.rxQ,Q,()1();xxrD xrD x若若则则Q,Q,()0().xxrD xrD x 若若则则因此因此,()rD x是是的的一一个个周周期期.)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 四、反函数四、反函数(),yf DxD 惟一惟一,)(yxf 使使11().fyfx 因此一般反函数记为因此一般反函数记为,:ffD若函数的定义域为满足若函数的定义域为满足(),yf D 且且,1 f则存在函数则存在函数)(1DfDf 1(),fyxyx反反函函数数表表示示式式中中是是自自变变量量是是注注因变量因变量.由于函数与自变量、因变量记号无关，由于函数与自变量、因变量记号无关，().xf xyxD 其其中中是是使使的的惟惟一一的的,)(1xyf 五、小结五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数思考题思考题设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()(xxfy的的解解析析表表达达式式.思考题解答思考题解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf一、一、填空题填空题:1 1、若若2251tttf ,则则_)(tf,_)1(2 tf.2 2、若若 3,sin3,1)(xxxt,则则)6(=_=_，)3(=_.=_.3 3、不等式、不等式15 x的区间表示法是的区间表示法是_._.4 4、设、设2xy ,要使要使 ),0(Ux 时，时，)2,0(Uy,须须 _._.练练 习习 题题二、证明二、证明xylg 在在),0(上的单调性上的单调性.三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),(aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设四、设)(xf是以是以 2 2 为周期的函数，为周期的函数，且且 10,001,)(2xxxxf,试在试在),(上绘出上绘出)(xf的图形的图形.五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.六、证明函数六、证明函数acxbaxy 的反函数是其本身的反函数是其本身.七七、求求xxxxeeeexf )(的的反反函函数数，并并指指出出其其定定义义域域.一、一、1 1、225tt ,222)1(2)1(5 tt；2 2、1,11,1；3 3、(4,6)(4,6)；4.4.2,0(.七、七、)1,1(,11ln xxy.练习题答案练习题答案 基本初等函数 复合函数&初等函数*双曲函数与反双曲函数n初等函数初等函数一、基本初等函数一、基本初等函数1.幂函数幂函数)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy 2.指数函数指数函数)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(xey 3.对数函数对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc 5.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc二、复合函数二、复合函数&初等函数初等函数1.复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD,而函数而函数)(xu 的值域为的值域为 Z,若若 ZDf,则称则称函数函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数.,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.四、小结四、小结 函数的概念 函数的特性 反函数 复合函数 基本初等函数基本初等函数&初等函数。