一维正态分布随机数序列产生的几种方法介绍

一维正态分布随机数序列产生的几种方法介绍摘要】正态分布在数理统计中具有基础性的作用此产生高质量的正态分布有重要的意义我们将介绍几种数值方法求正态分布中心极限定理，Hasiting有理逼近法，统计工具箱，反函数法，舍选法，R软件及一维正态随机数的检验关键词】正态分布；一维；随机数一．利用中心极限定理中心极限定理：(一般n210),产生服从N(p ,O 2)的算法步骤：(1) 产生n个RND随机数：r , r，…，r ；1 2 n(2) 计算 X =(工 r - -n)/ n ；i 2 * 12i=1(3)计算y=o x+p ，y是服从N(p ,0 2)分布的随机数原理分析：设Z，Z，…，Z是n个相互独立的随机变量，且Z〜U(O,1), i=l,2,…,n,1 2 n i1有 E (C ) = 1，DC)=i 2 i 12由中心极限定理知：^=(工匚-n)/訂，渐近服从正态分布N(0, l )i 2 '12i =1注意：我们现在已经能产生［0， 1］均匀分布的随机数了，那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数现在我们产生 n 个［0， 1］均匀分布随机数， r1,r2, ,rn1 2 n我们有：u =両(-£ r--2丿为方便起见，我们特别选n = 12，则:u =送r -6i这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。

在C语言中表示为：例 1：利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验% example 1clc,clear for i=1:1000R=rand(1,12);X(i)=sum(R)-6;endX=X';m=mean(X)v=var(X)subplot(1,2,1),cdfplot(X)subplot(1,2,2),histfit(X)h=kstest(X, [X normcdf(X, 0,1)])结果为：H=0,接受原假设，变换后的确为标准正态分布Hasiting 有理逼近法这是一种计算速度快，也能满足一定精度的算法我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式，来产生标准正态分布的随机数其计算公式为：a + a y + a y 20 1 21+b y+b y 2 + b y 31 2 3b1 = 1.432788b = 0.1892692b = 0.0013083这里 y 一 (-2lnr)1/2, r ~ U(0,1)， 系数为：a = 2.5155170a = 0.8028531a = 0.0103282三．利用统计工具箱在MATLAB统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序，我们 只需要调用就可以产生我们想要的随机数。

设连续型随机变量Y的概率函数为f(x),需产生给定分布的随机数.算法:(1) 产生n个RND随机数r，r，…，r ；1 2 n(2) 从等式r Jif(y)dy中解出y ;所得y i=1,2,…，n即所求.「 「 1基本原理：设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数,而且随机变量X〜U(0,l),令Z=F—i(X) 则Z与Y有相同分布证明：F(z)二 P{F-i(X) W z}= P{XWF(z)}二G(F(z)) = F(z)Z因G(x)是随机变量X的分布函数：” 0, x v 0;G(x) 一 v x, 0 < x v 1;1, 1 < x・若Y的概率密度为f(y)，由Y=F—】(X)可得：x = f(Y)= fY f(y)dy—g对给出定的(0,1)上均匀分布随机数r ,则具有给定分布的随机数y可由方程11ri =jyi f (y)dy 解出i — g五．舍选法基本思想：实质上是从许多 RND 随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数设随机变量X的概率密度函数为f(x),存在实数a〈b,使P{a〈X〈b}=l算法步骤：(1) 选取常数入，使入f(x)Vl, xG (a, b)；(2) 产生两个 RND 随机数 r r ,令 y=a＋(b－a)r ；1 、 2 1(3) 若r W入f(y),则令x=y；否则剔除r和r ,重返步骤⑵,重复循环，产2 1 2生的随机数 x , x ,…, x 的分布由概率函数 f(x) 确定。

1 2 N舍选法算法原理分析：设P{aVZVb}=l, Z的概率密度为f(z),(1) 选常数入，使入 f(z)Wl, zG (a, b)；(2) 随机变量X , X相互独立X〜U(0, 1),令Y=a+(b-a)X〜U(a, b)；1 2 i 1 1(3) 若X W入f(Y),则令X = Y，否则剔除X , X重复到(2)；2 1 1 1 2则随机变量 X 的分布与 Z 相同注：若不满足条件：bf (x)dx = 1,a可选取有限区间V),使得af(x)dx>i_e @是很小的正数)例如，取 ai=M —30 , bi=M +3o，有 j bi — e一总导dx > 1 -0.003a 、: 2兀 bi在区间(a, b)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差11六. R软件利用 R 软件，可方便地求各种常见概率分布的分布函数，分位点及生成各种常见 分布的随机数等在各种分布名称中加上不同的前缀表示不同的意义如：p-求分 布函数，q-求分位点，r产生随机数等七、一维正态随机数的检验我们已经基本搞清伪随机数的产生原理，由于并不是真正的随机数，很自然的问题是，它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小、独立性，均匀性等设：随机数具有连续的分布函数F (X),则随机变量R= (X)是均匀分布(0,1) 的随机变量，因此如果 R 通过统计检验随机变量 X 也可以通过。

因此我们以下 着重讨论均匀分布 R 的检验问题,再简单地讨论正态随机数检验问题 统计推断原理：统计量的定义：设X ,X，…,X为随机变量序列，则随机序列的函数称为统计量1 2 n记为：S二S(X ,X，…,X )显然统计量S也是随机变量既然是随机变量，它们就应该有1 2 n 其分布或称总体的规律，当然也有各种数字特征例如均值、标准差、方差等等 各阶矩我们的统计推断方式是：(1)H0：某假定成立；( 2)在假定成立的条件下构造统计量 S；(3) 统计量构造完毕，我们也就知道了该统计量的全部统计规律如它的分布 函数，或密度函数各阶矩等；(4) 根据统计量的分布，在给定的显著性水平a，对统计量S的一次抽样确定 以1-a为概率的区域，该区域称为接受域如果该次抽样计算出统计量S的 值 s 落入该领域，我们就接受原假，否则推翻原假设这个就是小概率事件在 一次实验实际不可能发生原理落入由 a 确定的区域是一个小概率事件，在一 次实验中我们认为是不可能发生的统计检验中两类常用统计量的构造检验方法：1. 设随机变量X具有数学期望E(X)=卩，和有限方差D(X)= CT 2，我们抽N 次样本X , X……,X，当N充分大时，统计量1 2 N以N (0, 1)为极限分布，取显著水平a = 0.05,则拒绝为(一°°, 一1.96), (1.96,8)。

当 洌 >1.96，则认为差异显著，拒绝假设E (X) =p2. 将样本 X ， X ，……， N ，按一定规则分为不相交的 K 组，记 i 组的观测频1 2 N数为n (i=l,……，k)，若随机变量X落于弟i组的概率为P，则得理论频ii数m = N X P，由n，m构造统计量i i i iX 2 = £咎吐mi=1 i渐近服从自由度为k -1 -1的分布，简记X 2(k -1 -1)这里，l是确定概率P时， 由子样 X 中给出的约束条件数为有效地进行统计检验，一般要求(4.6.2)的 样本数 N>30；在(4.6.2)中 k25, mi25当统计量的自由度d > 30时，U二干=更1，渐近服从N (0, 1)分布服从柯尔莫格洛夫一斯米尔诺夫的统计量JNd” =^max 厂 n - N'取显著性水平a=」0.05'> 1.35，可拒绝原假设N我们可以用这种方法进行独立性，及拟合优度检验八、其他一维正态分布随机数序列的产生方法：1 、 直接抽样法：由基本定理我们知道，对于有些随机变量可以建立与R的函数关系，因此只需对R 进行抽样，利用函数的映射关系我们就可以方便地得到该随机变量的抽样了。

如前面的指数分布随机数2、变换抽样：产生随机变量的变换抽样方法，是讨论均匀分布的不同函数分布，为随机变量抽样提供一些简单可行的算法在概率论中，从不同的角度出发，对随机变量函数 进行了讨论，以下列出一些结果设随机变量X具有密度函数f (x)，Y = g(X)是对随机变量X的变换，且g(x) 的逆函数存在，记为g-i(x) = h(y)有一阶连续导数，则随机变量的密度函数Y = g(X)f *( y) = f h( y)】|hy y )|3．值序抽样值序统计量n(“)，通常称为值序量是随机向量(x ,x，…x )的一个函数，取其一l 1 2 n个实现 (x ,x ,… x )1 2 n并排序得(x ,x，…x ,x ,x ，…x )(1) (2) (l-1) (l) (l+1) (n)其中的第 l 个值为函数值显然这是一个统计量若随机变量(X ,X，…X )1 2 n和分布函数分别为：n! F (x)l l-111 一 F ( x)] n-lf (x)的各个分量独立且同分布，则值序统计量丐n)的密度函数f (x)= n^ (l - 1)!(n -1)!F (x) = n! f F(x)tl-1(1 -1)n-ldtn八丿(l - 1)!(n一l)! 0这里， F(x), f(x) 分别为随机变量在分布函数和密度函数。

特别当随机变量X i = 1,2,…,n为［0，1］上的均匀分布时,i得密度函数为： n xl-1(1 一 x)n-1 0 < x < 1 f (x) = J(l-1)!(n一l)!J nl0 eS这是p分布的密度函数因此我们可以很容易地产生特殊的p分布的随机数个人体会】一维正态分布随机数序列的产生方法有很多种，其中直接抽样、变换抽样、值序 抽样等抽样方法较简单但比较常用，利用中心极限定理是最常用的一种求正态分 布随机数的一种方法本文还提供了两种随机数的检验方法，用于检验产生的随 机数实际值与理论值的差异反函数法和舍远法是连续随机变量通用的方法，应 用与正态分布的时候可适当做调整个人体会较深的是，在文献查阅上网搜索过程中，面对繁杂的资料，首先应该明 确自己要找什么资料，并大约查找相关资料在头脑中形成要写报告的大体框架， 然后逐渐精细到点，然后有针对性地查找资料1】杨振海，张国志；随机数生成［J ］数理统计与管理，2006,25 (2);244-252.【2】程维虎，杨振海;舍选法几何解释及曲边梯形概率密度随机数生产算法［J ］数理统计与管理， 2006,25( 4)3】魏宗舒；概率论与数理统计［M ］。

北京:高等教育出版社,19954】马砚儒.经验数学期望及性质［J］内蒙古民族大学学报,2002 ,17⑵:97- 1005】高惠璇，统计计算［M］北京：北京大学出版社，1 9 9 56】杨振海，程维虎•统计模拟［J］数理统计与管理，2 0 0 6,2 5 ( 1 ):117 ・12 6。