三角形的中线和角平分线

1.1.4 三角形的中线与角平分线（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形（2）构成三角形的元素：三个顶点；三条边；三个内角（3）三角形三边的数量关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.知识回顾知识回顾:活动1 大胆猜想，探究新知识妈妈有一块三角形蛋糕，她想平均分给小明和小亮，并且两人所得蛋糕均为三角形，你能帮妈妈出主意吗？找到一边的中点，然后和这边所对的顶点相连，沿着这条连线切割，所得的两个三角形面积相等.这个方法合理吗?探究一：三角形的中线与角平分线活动2 反思过程，发现新概念在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.（1）三角形的中线是什么线？（2）一个三角形有几条中线？（3）三角形的中线所分成的两个三角形面积有什么关系？三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等，因为等底等高的三角形面积相等.思考：线段三条中线活动3 动手操作，大胆发现如图，画出三角形的三条中线，并认真观察三条中线的位置关系.三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点就是三角形的重心.你发现了什么？活动4 集思广益，探究新知请同学们画出三角形中A的平分线（量角器）你能画出三角形另外的两条角平分线吗？（1）三角形的角平分线是什么线？与角平分线有什么区别？（2）一个三角形有几条角平分线？在位置上有什么关系？如图，A的平分线AD，交A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做 ABC的角平分线.思考：活动4 集思广益，探究新知任何三角形都有三条角平分线;任何三角形的三条角平分线都在三角形内部交于一点，我们把这个点称为三角形的内心.三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.活动5 合作探究，发现新知三根木条用钉子钉成一个三角形木架，扭动它，它的形状会改变么？四根木条用钉子钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会改变么？三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.难点知识活动5如图所示，木架的形状还会改变吗？不会.斜钉一根木条后，四边形就变成了两个三角形.因为三角形具有稳定性，所以木架形状不会改变.三角形是具有稳定性的图形，而四边形等其他多边形不具有稳定性.把不稳定的多边形转化成若干个三角形就能使其稳定.探究二：三角形的中线与角平分线合作探究，发现新知例1(1)如图（1）所示，AD、BE、CF是 ABC的三条中线，则AB=2_，BD=_，AE=_.活动1探究二:利用三角形的中线及角平分线的概念解决问题三角形的中线、角平分线的概念及性质(1)DFEABCAF或BFCDAC【解题过程】（1）因为AD，BE，CF是 ABC的三条中线，则AB=2AF=2BF，BD=CD,AE=CE=AC；(2)如图（2）所示，AD、BE、CF是 ABC的三条角平分线，则1=_，3=_，ACB=2_.活动1 三角形的中线、角平分线的概念及性质4321(2)DFEABC【思路点拨】已知三角形的中线，找准中点可得线段的数量关系；三角形的角平分线平分三角形的一个内角，所得的两个小角相等.42ABC活动2 三角形的中线运用探究二:利用三角形的中线及角平分线的概念解决问题例2 在 ABC中，AD是 ABC的中线，E为AB的中点，则 AED的面积与 ACD的面积的数量关系为_.【思路点拨】AD是 ABC的中线，所以AD平分 ABC的面积，同理DE也平分 ABD的面积.【解题过程】AD是 ABC的中线，又E为AB的中点，活动2 三角形的中线运用D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，AD是 ABC的中线，BE是 ABD的中线，AF是 ABE的中线，又 =1，=2 =2,=2 =4,=2 =8.【解题过程】【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形的面积进行求解练习：如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且 =1，求 .活动3 三角形的稳定性例3 下列图形具有稳定性的是（）A.正方形 B.长方形 C.三角形 D.梯形【解题过程】具有稳定性的图形是三角形，其他多边形不具有稳定性C【思路点拨】三角形具有稳定性.活动3练习：下列图形不具有稳定性的是（）选项B里含有四边形，因为四边形不具有稳定性，故选B.B【思路点拨】找到有四边形等不具有稳定性的图形.【解题过程】（1）三角形的中线、角平分线的概念.（2）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.（3）三角形具有稳定性，四边形等其他多边形不具有稳定性.课堂小结课堂小结。