直线和圆的方程

掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程,第,33,课时 圆的方程,1,圆的定义,平面内与定点距离等于定长的点的,(,轨迹,),叫圆,2,圆的标准方程,圆心为,(,a,，,b,),，,半径为,r,的圆的标准方程为,r,2,.,集合,(,x,a,),2,(,y,b,),2,3,圆的一般方程,二次方程,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,，,配方得,把方程,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0(,D,2,E,2,4,F,0),，,其中，半径是,r,，,圆心坐标,叫做圆的一般方程,1,已知点,P,(2,1),在圆,C,：,x,2,y,2,ax,2,y,b,0,上，点,P,关于直线,x,y,1,0,的对称点也在圆,C,上，则实数,a,，,b,的值为,(,),A,a,3,，,b,3 B,a,0,，,b,3 C,a,1,，,b,1 D,a,2,，,b,1,解析：,本题考查圆的方程的转化以及圆的对称问题圆的方程可化为,(,x,),2,(,y,1),2,1,b,，由题知圆心在直线,x,y,1,0,上，,1,1,0,，,a,0,，又点,(2,1),在圆上，所以,b,3.,答案：,B,2.,圆,(,x,2),2,y,2,5,关于原点,(0,0),对称的圆的方程为,(,),A,(,x,2),2,y,2,5 B,x,2,(,y,2),2,5,C,(,x,2),2,(,y,2),2,5 D,x,2,(,y,2),2,5,答案：,A,3,若,x,2,y,2,4,，则,x,y,的最大值是,_,答案：,2,4,圆心在直线,2,x,y,7,0,上的圆,C,与,y,轴交于两点,A,(0,，,4),，,B,(0,，,2),，则圆,C,的方程为,_,解析：,AB,的中垂线,y,3,必过圆心，故解 得圆心坐标为,C,(2,，,3),，,|,CA,|,，,所求圆,C,的方程为,(,x,2),2,(,y,3),2,5.,答案：,(,x,2),2,(,y,3),2,5,1.,可根据所给的三个条件，借助于图形，利用圆的几何性质，求出,a,、,b,、,r,；,2,待定系数法：可将所给的三个条件设法代入方程,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,，解关,于,a,、,b,、,r,构成的三元二次方程组,【,例,1,】,求,圆心在直线,y,4,x,上，且与直线,l,：,x,y,1,0,相切于点,P,(3,，,2),的圆的方程,解答：,解法一：,如,图，设圆心,(,x,0,，,4,x,0,),，依题意得 ,1,，,x,0,1,即圆心坐标,(1,，,4),，半径,r,2,，故圆的方程,(,x,1),2,(,y,4),2,8.,解法二：,设,所求方程为,(,x,x,0,),2,(,y,y,0,),2,r,2,，根据已知条件得,因此所求圆的方程为,(,x,1),2,(,y,4),2,8.,变式,1.,已,知圆,C,与圆,C,1,：,x,2,y,2,2,x,0,相外切，并且与直线,l,：,x,y,0,相,切于点,P,(3,，,),，求圆,C,的方程,解答：,设,圆,C,的圆心坐标和半径分别为,(,a,，,b,),和,r,，则圆心在过,P,(3,，,),与,l,垂直的直线,y,(,x,3),上由已知条件,将,代入,整理得 ,|2,a,6|,1,，解得,a,0,，或,a,4.,当,a,0,时，,b,4,，,r,6,；,当,a,4,时，,b,0,，,r,2.,所求圆的方程为,x,2,(,y,4 ),2,36,，或,(,x,4),2,y,2,4.,1.,比较典型的问题是：已知圆上三点坐标求圆的方程，可利用圆的一般方程,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,采用待定系数法，通过解三元一次方程组求出,D,、,E,、,F,.,2,求两圆,O,1,：,x,2,y,2,D,1,x,E,1,y,F,1,O,与,O,2,：,x,2,y,2,D,2,x,E,2,y,F,2,0,的交点,可通过解联立方程组求得，特殊地，两圆方程相减消去二次项得到的方程,(,D,1,D,2,),x,(,E,1,E,2,),y,(,F,1,F,2,),0,表示两圆公共弦所在直线的方程,【,例,2,】,求,过圆,x,2,y,2,2,x,4,y,3,0,与直线,x,y,1,0,的交点且圆心在直线,y,x,上的圆的方程,解答：,如,图，设所求圆的方程为,(,x,2,2,x,y,2,4,y,3),(,x,y,1),0,，即,x,2,(2,),x,y,2,(4,),y,3,0,，,圆心的坐标为 ，由已知得 ，,解得：,6,，因此所求圆的方程为,x,2,y,2,4,x,2,y,9,0.,变式,2.,求,圆,x,2,y,2,2,x,4,y,3,0,与圆,x,2,y,2,4,x,2,y,9,0,的公共弦的长度,解答：,得,x,y,1,0.,即两圆公共弦所在的直线的方程为,x,y,1,0.,圆,x,2,y,2,2,x,4,y,3,0,的圆心到直线,x,y,1,0,的距离为,d,，,因此两圆的公共弦长为,.,1.,圆的方程,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,的参数方程是 ，可利用参数方程转,化为三角函数问题解决,2,若点,M,(,x,0,，,y,0,),满足,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,2,，可知点,M,(,x,0,，,y,0,),在圆,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,的内部,【,例,3,】,在某海滨城市附近海面有一台风据监测，当前台风,中心位于城市,O,(,如图,),的东偏南,(,arccos,),方向,300,k,m,的海面,P,处，并以,20,k,m/h,的速度向,西偏北,45,方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，,当前半径为,60,k,m,，,并以,10,k,m/h,的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？,解答：,可求得当前,P,点坐标为,(,30,，,210 ),，,设经过,t,小时后该城市开始,受到台风的侵袭，此时刻台风侵袭的区域为,x,(30,10,t,),2,y,(,210,10,t,),2,(10,t,60),2,，,将,x,y,0,代入上式，整理得,t,2,36,t,288,0,，,即,(,t,12)(,t,24),0.,解得,12,t,24.,因此,12,小时后该城市开始受,到台风的侵袭,.,求圆的方程时，一般题设中要给出三个条件：,(1),可通过图形求,a,、,b,、,r,，确定方程,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,；可设出方程,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,，列关于,a,、,b,、,r,的方程求解,(2),对过不在同一直线的三点的圆可利用待定系数法求方程,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,中的,D,、,E,、,F,.,(3),可利用求轨迹方程的方法求圆的方程,.,【,方法规律,】,(,本小题满分,12,分,),如图所示，圆,O,1,和,O,2,的半径都等于,1,，,O,1,O,2,4,，过动点,P,分别作圆,O,1,、圆,O,2,的切线,PM,、,PN,(,M,、,N,为切点,),，使得,PM,PN,.,试建立平面直角坐标系，,并求动点,P,的轨迹方程,解答：,以,O,1,O,2,的中点,O,为原点,，,O,1,O,2,所在直线为,x,轴,，,建立如图所示的坐标系,，,则,O,1,(,2,0),，,O,2,(2,0),，,由已知,PM,PN,，,PM,2,2,PN,2,.,又,两圆的半径均为,1,，,设,P,(,x,，,y,),，,则,(,x,2),2,y,2,1,2(,x,2),2,y,2,1,，,即,x,2,y,2,12,x,3,0.,所求动点,P,的轨迹方程为,x,2,y,2,12,x,3,0.,【,答题模板,】,1,，设,P,(,x,，,y,),，则,(,x,2),2,y,2,1,2(,x,2),2,y,2,1,，即,x,2,y,2,12,x,3,0.,所求动点,P,的轨迹方程为,x,2,y,2,12,x,3,0.,1.,高考中有可能对圆的方程进行,考查，但一般不单独考查，有可能考查直线与圆的位置关系问题，有可能与距,离、最值和轨迹等问题进行综合考查本题源于：,“,平面内动点到两定点距离之,比为定值，求动点的轨迹,”,问题涉及到通过解直角三角形求圆的切线长等问,题,2,求圆的方程，一般利用圆的标准方程、一般方程，也可利用求轨迹方程的方,法求圆的方程，学生应通过教材了解更多产生圆的轨迹的背景,.,【,分析点评,】,点击此处进入 作业手册,。