数值分析实验一 插值与拟合3

数值分析实验一插值与拟合组号—班级 学号 姓名 分数 一：实验目的1、 掌握三次样条插值的计算方法；2、 会用分段线性插值法求插值；3、 会用最小二乘法求拟合曲线；4、 掌握计算方法中插值与拟合的区别与联系；5、 熟悉 Matlab 软件中有关的命令，用 Matlab 做插值计算二：实验内容及基本知识介绍1、三次样条插值函数：1 )、若函数S (x ) e c2 [a,b],且在每个小区间[xj，xj+1 ]上是三次多项式，其中a = x0< x1 <…< Xn二b是给定节点，则称S(x)是节点x 0，xx上的三次样条 0 1 n 0 1 n函数若在节点X•上给定函数值yj=f X ) ( 0，1钾成立s(x > y j ( °n 1则称s(x)为三次样条插值函数jj2)、三次样条插值的计算方法：① 因为在每个小区间上S.(x)是三次多项式，所以S."(x)在每个小区间上是直线，可 ii以写出它的表达式X 一 Xi ,i +1 X - Xi +1 i( X 一 X )3i + cx + d,i+1 6 hiXS '' ( x ) = m i+-1i i X 一 Xi+1 i其中m.,m.+1是待定参数。

② 把它积分两次，得到( X 一 X)3S ( x ) = m - - +i i 6 hi这里的c和d是积分常数,h = X 一 Xi i +1 i 利用 s.(X ) = y.和 S.(X「 一ll ll i + 1 i + 1)=y.,’可以确定c,d,于是有S ( X) = mii( X 一 X)3i+1 + m6 h i+1i( X 一 X )3i —6 him h2 X 一 X一i 乙)i+1 6 hi+ (yi+1m h2i+1 i )6X 一 X i-hi将其求导数得到(X - x)2 (x - x )2S '(x)二-m iii + m i i i 2 h i+i 2 hiiy - y m -m+ —i+1 i- — i+1 i-h .h 6 )i至此，我们把Si(x)以及它的一、二阶导函数都用两个参数表示出来③我们令得到一个关于1.1)S '(x ) = S '(x ), i = 0,1n — 2,i i +i i+i i+im0 , m i ,..., mn 的线性方程组卩m + 2m + 九 m = d , i = 1,2,..., n 一 1, i -i i i i +i i其中，卩ihi—1——h + hi i -1=1 —卩,d = 6iiy — y y — yi+1 匚— i i—1h h■i i — 1h + hi i —1该方程有n +1个未知数，n 一1个方程。

针对不同的边界条件可以有相应的附加方程,最常用到的是m0 = a,m =卩.解出(1.1)及其附加方程得到m.再代进S.(x)的0 n i i表达式，就得到了全部解2、分段线性插值：所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x).设已知节点a=x0 < x < •••< x = b 上的函数值 f,打…,f,记 hk = xk+1 一 x,h=maxhk,求一折0 1 0 1 k k+1 k k k线函数I (x)满足：h1o I (x) g ［a,b］,h2 0 1 (x ) = f ( k = 0,1,…?n)，k k k301 (x)在每个小区间［x ,x ］上是线性函数 h k k +1则称I (x)为分段线性插值函数h3、插值理论：设函数y=f(x)在区间［a,b］上连续，在［a,b］上有互异点x ,x，…,x处取值y ,y，…，y0 1 n 0 1 n如果函数(p (x)在点xi上满足(p (xi)=yi (i=0,1,2,—,n)，则称Q (x)是函数y=f(x)的插值函数，X,X,…,X是插值节点若此时0(X)是代数多项式P(x),则称P(x )为插值多项式。

0 1 n显然 f(x)2Q (x), xU[a,b]4、最小二乘法求拟合曲线：已知一组二维数据，即平面上的n个点(x , y ) i二1,2,--,3 ,寻求一个函数 iiy = f G) ，使 f C) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的最好曲线拟合常用线性最小二乘法，其基本思路为先选定一组函数ri G)' r2 G)'…rm G)'m vn :ar22(x)+ •-(m)mm1)其中 a a ,-,a 为待定系数确定1, 2 ma a ,-, a1, 2 m(最小二乘准则)使n个点(x , y )ii与曲线b 平方和最小iJ (a , a，…，a )二1 2 m二工[f (x )—y ]2ii工[迟 a r (x )—k k iy ]2i所以问题归结为i=1i=1 k=1求 a a ,…, a1, 2 m使 J (a , a ,…, a )q 2 m最小，线性最小二乘法可归结为求解下面的方程组：三：实验问题及方法、步骤1 对函数 ，在 [-5 ， 5] 上对函数作插值计算1).用三次样条插值选取10 个基点计算插值 Matlab 程序如下：x0=linspace(-5,5,10);y0=1./(1+20*x0.A2);x=linspace(-5,5,100); y=interp1(x0,y0,x,'spline');x1=linspace(-5,5,100);y1=1./(1+20*x1.A2); plot(x1,y1,'k',x0,y0,'+',x,y,'r');结果如下：2.）用分段线性插值法求插值,并观察插值误差在［-5,5］中平均选取 11个点作插值Matlab 程序如下： x=linspace(-5,5,100);y=1./(20*x.A2+1);x1=linspace(-5,5,11);y1=1./(20*x1.A2+1);plot(x,y,x1,y1,x1,y1,'o','LineWidth',1.5), gtext('n=10')结果如下：2 给出函数：x123456789101112131415y1.2.3.5.4.6.7.8.8.10.11.12.13.14.16.120876109463092分别用一次、二次、三次多项式来拟合这些数据点，并通过作图，找出哪一种拟 合多项式对这些数据点的拟合效果最好。

用一次多项式来拟合这些数据点时，可在MATLAB命令空间键入以下命令: x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15];y=[1.1,2.2,3.0,5.8,4.7,6.6,7.1,8.0,8.9,10.4,11.6,12.3,13.0,14.9,16.2]; p1=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p1,x) plot(x,y,'x') hold on plot(x,y1) 得到图形用二次多项式来拟合这些数据时，可在MATLAB命令空间键入以下命令:x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]; y=[1.1,2.2,3.0,5.8,4.7,6.6,7.1,8.0,8.9,10.4,11.6,12.3,13.0,14.9,16.2]; p1=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p1,x)hold onp2=polyfit(x,y,2);y2=polyval(p2,x);plot(x,y,'x')hold onplot(x,y2)得到图形用三次多项式来拟合这些数据时，可在MATLAB命令空间键入以下命令: x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15];y=[1.1,2.2,3.0,5.8,4.7,6.6,7.1,8.0,8.9,10.4,11.6,12.3,13.0,14.9,16.2]; y1=polyval(p1,x)hold onp2=polyfit(x,y,2);y2=polyval(p2,x);hold onp3=polyfit(x,y,3);y3=polyval(p3,x);plot(x,y,'x')hold onplot(x,y3)得到图形四、计算结果分析从题中可以看出，插值点的个数、精度、插值点的选择都会影响实验的结果；我们通常 会选择与插值点最接近的节点，可以提高精度；在可以计算出结果的情况下，插值点越多， 结果越精确。

由于曲线拟合的最小二乘法一般是经过描点，确定其近似多项式的形式，但由于给定的 点有误差，所以拟合曲线的数学模型并不是一开始就能选的好的，往往要通过分析确定若干 模型后，再经过实际计算，才能选到较好的模型五、思考与提高计算方法中插值与拟合的区别与联系是：插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分，他们的共同点都是通过已知一 些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S（M包含于S）的未知连续函数，从而达 到获取整体规律的目的简单的讲， 所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值 {fl,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f@l,入2,...,入3）,使得该函数与已知点集的差 别（最小二乘意义）最小如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归（主要在统计中）， 否则叫作非线性拟合或者非线性回归表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合 而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形 式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束插值函数又叫作基函数， 如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基如果约束条件中只有函 数值的约束，叫作 Lagrange 插值，否则叫作 Hermite 插值。

从几何意义上将，拟合是给定了 空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值 是找到一个（或几个分片光滑的）连续曲面来穿过这些点注意：数据拟合与插值的最大区别在于拟合需要给出一个曲线方程的具体解析形式，而 插值只需求出该点的内插数值。