人教版八年级数学上册13.4 课题学习　最短路径问题

13.4课 题 学 习 最 短 路 径 问 题欢 迎 进 入 数 学 课 堂 ！ 教 学 目 标1、 能 利 用 轴 对 称 解 决 简 单 的 最 短 路 径 问 题 2、 体 会 图 形 的 变 换 在 解 决 最 值 问 题 中 的 作 用 ，感 悟 转 化 思 想 ， 进 一 步 获 得 数 学 活 动 的 经 验 ，增 强 应 用 意 识 P连 接 直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 的 所 有 线 段中 ， 垂 线 段 最 短 依据：A 如 图 ， 将 军 骑 马 从 城 堡 A出 发 到 小 河 边 去 给 马 饮 水 问 将 军 在 什 么 位 置 饮 马 ， 走 的 路 程 最 短 ？ l问 题 1： P为 直 线 l上 的 一 个 动 点 ， 当 点 P在 直 线 l 的 什 么 位 置 时 ， AP最 短 最 佳 饮 马 点依 据 ： 两 点 的 所 有 连 线 中 ， 线 段 最 短 问 题 2： P为 直 线 l上 的 一 个 动 点 ， 当 点 P在 直 线 l的 什 么 位 置 时 ， AP与 BP的 和 最 小 如 图 ， 将 军 要 从 山 峰 A处 出 发 ， 到 河 边 饮 马 ， 然 后 到 B地 ， 请 问 到 河 边 什 么 地 方 饮 马 可 使 他 所 走 的 路 程 最 短 ？lP 如 图 ， 将 军 从 A地 出 发 ， 到 一 条 笔 直 的 河 边 l饮 马 ， 然后 到 B地 将 军 到 河 边 什 么 地 方 饮 马 可 使 他 所 走 的 路径 最 短 ？ BA l lBP P 你 能 用 数 学语 言 来 描 述 一下 这 个 问 题 吗 ？问 题 3： P为 直 线 l上 的 一 个 动 点 ， 当 点 P在 直 线 l 的 什 么 位 置 时 ， AP与 BP的 和 最 小 。

lA BP lA BP（ 1） 这 两 个 问 题 之 间 ， 有 什 么 相 同 点 和 不 同 点 ？（ 2） 你 能 根 据 问 题 2找 到 解 决 问 题 3的 办 法 吗 ？ （ 3） 利 用 什 么 知 识 可 以 实 现 转 化 ？比较问题2与问题3，思考：问 题 2 问 题 3 A B l BP 点 P的 位 置 即 为 所 求 作 点 B关 于 直 线 l 的 对 称 点 B 连 接 AB ,交 直 线 l 于 点 P， 作 法 ： 为 什 么 这 样 做 就 能得 到 最 短 距 离 呢 ？ 证 明 ： 如 图 ， 在 直 线 l上 任 意取 一 点 P （ 与 点 P不 重 合 ） ， 你 能 用 所 学 的 知 识 证 明 AP +BP最 短 吗 ？ B lA PP AP +BP AP+BP ？任 意几何画板验证数学理论证明 AB AP+ BP连 接 AP， BP、 由 轴 对 称 的 性 质 知 ，直 线 L是 线 段 BB的 垂 直 平 分 线 AP +BP= AP +BP = AB，BP AP +BP AP+BP B P=BP， BP=BPAP+BP = AP+BPB A B l BP如 图 ， 点 A、 B分 别 是 直 线 l同 侧 的 两 个 点 ， 如 何 在 l上 找到 一 个 点 P， 使 点 P到 A、 B两 点 的 距 离 之 和 最 短 ？A1.作 其 中 一 个 点 关 于 直 线 l 的 对 称 点 。

2.连 接 对 称 点 和 另 一 点 ，与 直 线 的 交 点 就 是 点 P 的 位 置 结 论 ： 如 图 ， 将 军 从 军 营 A出 发 先 到 Q处 去 牧 马 ， 然 后 前往 河 岸 BC上 ， 再 返 回 A处 ， 请 画 出 将 军 的 最 短 路线 AQPA为 最 短 路 径QP小 河C BQ A A BCQ 如 图 ， 将 军 从 城 堡 A出 来 ， 骑 马 先 到 草 地 边 某 一 处牧 马 ， 再 到 河 边 饮 马 ， 然 后 回 到 城 堡 A. 请 你 帮 他确 定 这 一 天 的 最 短 路 线 .O 草 地小 河 M NAB C O M NAB C如 图 ， 点 A在 直 线 OM和 ON内 部 ， 如 何 在 直 线 OM和ON上 分 别 找 一 点 B、 C,使 得 AB+BC+AC的 值 最 小 作 法 ： 连 接 两 个 对 称 点 ， 与 两 条 直 线 的 交 点 就 是 满 足 最 短 路 径 的 点 的 位 置 分 别 作 点 关 于 两 条 直 线 的 对 称 点 1、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 有 两 点 ， 要 在 y轴 上 找 一点 ， 使 它 到 的 A、 B两 点 距 离 之 和 最 小 ， 现 有 如 下四 种 方 案 ， 其 中 正 确 的 是 （ ）D 2、 已 知 ： P、 Q是 ABC的 边 AB、 AC上 的 点 ， 你 能在 BC上 确 定 一 点 R， 使 PQR的 周 长 最 短 吗 ？ P R 3、已知：点A是总局，想在公路OM上建一分局B，在公路ON上建一分局C，怎样使AB+BC+AC最小？B CD E 我 们 本 节 课 解 决 了 什 么 问 题 ？lA BP（ 1）（ 2）在 直 线 l上 找 到 一 点 P， 使 得 这 个 点 到 点 A、 点 B的 距 离 的 和 最 短 ？1、 两 点 一 线 型 作 法 ： 1.作 其 中 一 个 点 关 于 直 线 l 的 对 称 点 。

2.连 接 对 称 点 和 另 一 点 ， 与 直 线 交 点 就 是 满 足 最 短 距 离 的 点 的 位 置 作 法 ： 连 接 两 点 与 直 线 交 点 就 是 满 足 最 短 距 离 的 点的 位 置 A B lBPA 如 图 ， 在 直 线 OM和 ON上 分 别 找 一 点 B、 C,满 足 AB+BC+AC的 值 最 小 AB C M NO 分 别 作 点 关 于 两 条 直 线 的 对 称 点 连 接 两 个 对 称 点 ， 与 两 条 直 线 的 交 点 就 是 满 足 最 短 距 离 的 点 的 位 置 作 法 ：2、 一 点 两 线 型 教 材 93 页 15题 。