阶线性微分方程解法

6.3 二阶线性微分方程的解法6.3.1 二阶线性微分方程解的结构 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 一、概念的引入一、概念的引入例例:设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初如果使物体具有一个初始速度始速度00 v,物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振动附近作上下振动.试确定物体的振动规律试确定物体的振动规律)(txx .解解受力分析受力分析;.1cxf 恢复力恢复力;.2dtdxR 阻力阻力xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若若受受到到铅铅直直干干扰扰力力pthxkdtdxndtxdsin2222 强迫振动的方程强迫振动的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程()()()yP x yQ x yf x时，时，当当0)(xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)(xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、二阶线性微分方程的解的结构二、二阶线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构:定理定理 1 1 如果函数如果函数)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个的两个解解,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解.（21,CC是常是常数）数）问题问题:一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()(yxQyxPy定义：设定义：设nyyy,21为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数如果存在个函数如果存在n个不全为零的常数，使得个不全为零的常数，使得当当x在该区间内有恒等式成立在该区间内有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么称这那么称这n个函数在区间个函数在区间I内内线性相关线性相关否则否则称称线性无关线性无关例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2,，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),(x特别地特别地:若在若在 I 上有上有常数，常数，)()(21xyxy则函数则函数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线性无关线性无关.定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线的两个线性无关的特解性无关的特解,那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解.例如例如,0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xCxCy 2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构:定定理理 3 3 设设*y是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性方方程程)2()()()(xfyxQyxPy 的的一一个个特特解解,Y是是与与(2 2)对对应应的的齐齐次次方方程程(1 1)的的通通解解,那那么么*yYy 是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程(2 2)的的通通解解.定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和,如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程,)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解,那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解.解的叠加原理解的叠加原理6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 的特征根求法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程,得得0)(2 rxeqprr,0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy 对于二阶常系数齐次线性微分方程对于二阶常系数齐次线性微分方程 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0(特征根为特征根为,11xrey 已已知知为为方方程程的的两两个个特特解解xrey22 反之：反之：如如何何求求微微分分方方程程？为为特特征征方方程程的的根根21,rr0)(21 rrrr则则特特征征方方程程为为0)(21212 rrrrrr0)(2121 yrryrry微分方程为微分方程为 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0(一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy ,0)()2(1211 uqprrupru,0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为,1xrxey 已知已知为为方方程程的的一一个个特特解解反之：反之：如如何何求求微微分分方方程程？为为特特征征方方程程的的重重根根r0)(21 rr则则特特征征方方程程为为022112 rrrr02211 yryry微微分分方方程程为为 有一对共轭复根有一对共轭复根,1 jr ,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey )0(重新组合重新组合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyjy ,sin xex 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征根求法特征根求法.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2方方程程。

的的三三个个特特解解，求求此此微微分分次次微微分分方方程程是是二二阶阶常常系系数数线线性性非非齐齐：已已知知例例xxxxxxxxxeeqyypyeexeyxeyexey2,323221 ,31xeyy 解解：,221xeyy 11 r特特征征根根22 r特特征征根根0)2)(1(rr特征方程为：特征方程为：022 rr02 yyy齐齐次次方方程程为为xxxeeyyy22 微微分分方方程程为为*n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的每一而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项个根都对应着通解中的一项,且每一项各且每一项各一个任意常数一个任意常数.nnyCyCyCy 2211特征根为特征根为,154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解,01222345 rrrrr特征方程为特征方程为,0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例4 4二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方 程的解法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章)(xfqyypy 对应齐次方程对应齐次方程,0 qyypy通解结构通解结构,*yYy常见类型常见类型,)()(xmexPxf,cos)(xexPxm,sin)(xexPxm难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexQy)(*代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若)1(,02 qp ),()(xQxQm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若)2(,02 qp ,02 p),()(xxQxQm 可可设设;)(*xmexQy;)(*xmexxQy)()(xPexfmx 一、一、型型是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若)3(,02 qp ,02 p),()(2xQxxQm 可设可设综上讨论综上讨论,)(*xQexymxk设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.)(2*xmexQxy特别地特别地xAeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根xxxexAxepAeqpAy22*2,2,的通解。

的通解求微分方程：求微分方程例例21xyy 02 rr解：解：1,0 rrxeccY21)(2cbxaxxy cbxaxy 232baxy26 222326xcbxaxbax 2,1,31 cbaxeccxxxy 2123231方方程程的的通通解解为为.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程,0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是单根，是单根，2 ,)(2*xeBAxxy设代入方程代入方程,得得xABAx 22,121 BAxexxy2*)121(于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例2 2解解设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y*1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22,1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2（重根）（重根）*2y*1*yy CBxAx 2.22xeDx 例例3 写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式.型型二二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22jeePeePexjxjnxjxjlx xjnlxjnlejPPejPP)()()22()22(,)()()()(xjxjexPexP ,)()(xjexPqyypy 设设,)(*1xjmkeQxy利用欧拉公式利用欧拉公式,)()(xjexPqyypy 设设,)(*1xjmkeQxy*xjmxjmxkeQeQexy,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max,10 是单根是单根不是根不是根jjk注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,4jxeyy ,是单根i,*ixAxey 故代入上式代入上式,42Ai,2iA,)cos2(sin22*ixxxxixeyjx所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2*xxy原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxCxCy （取虚部）（取虚部）例例4 4.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 作辅助方程作辅助方程,2ixxeyy,2 不是特征方程的根i,)(2*ixeBAxy设代入辅助方程代入辅助方程13034ABAi,9431iBA，,)9431(2*ixeixy例例5 5)2sin2)(cos9431(xixix所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31*xxxy原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx（取实部）（取实部）注意注意xAexAexx sin,cos.)(的实部和虚部分别是xiAe.tan的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xCxCY 用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 设设,1)(xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解为原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例6 6课外作业 P28-29 习题6-3 1 2(1)(4)(6)3(2)4(2)(3)5(1)(3)（选做）。