弹性力学及有限单元法-邵国建-用差分法和变分法解平面问题

例题例题第一节第一节 差分公式的推导差分公式的推导第二节第二节 应力函数的差分解应力函数的差分解第三节第三节 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例第四节第四节 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能第五节第五节 位移变分方程位移变分方程第六节第六节 位移变分法位移变分法第七节第七节 位移变分法例题位移变分法例题第五章 用差分法和变分法解平面问题 弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件近似解法 因此，因此，弹性力学问题属于微分方程的弹性力学问题属于微分方程的边值问题边值问题通过求解，得出函数表示的精通过求解，得出函数表示的精确解答5-1 5-1 差分公式的推导差分公式的推导第五章 用差分法和变分法解平面问题 对于工程实际问题，由于荷载和边界对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答为此，较复杂，难以求出函数式的解答为此，人们探讨人们探讨弹性力学的各种近似解法，弹性力学的各种近似解法，主要主要有有变分法，差分法和有限单元法变分法，差分法和有限单元法近似解法第五章 用差分法和变分法解平面问题 差分法差分法是微分方程的一种数值解法。

它不是去求解函数 ，而是求函数在一些结点上的值 )(xf21,fffxo 21 ff3f 1x2x3x)(xf差分法第五章 用差分法和变分法解平面问题 差分法的内容是：差分法的内容是：;d ,d1212ffffxxxx;dd1212xxffxfxf差分法将将微分方程微分方程用差分方程（代数方程）代替，用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分于是，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题方程的问题将将导数导数用有限差商来代替，用有限差商来代替，将将微分微分用有限差分来代替，用有限差分来代替，第五章 用差分法和变分法解平面问题导数差分公式的导出：导数差分公式 在平面弹性体上划分等间距h 的两组网格，分别x ，y 轴网格交点称为结点，h称为步长第五章 用差分法和变分法解平面问题应用应用泰勒级数公式泰勒级数公式 将将 在在 点展开点展开，)(xfox).()()(!21)()()()(32oo22oooxoxxxfxxxfxfxf(a)第五章 用差分法和变分法解平面问题抛物线差分公式抛物线差分公式-略去式(a)中 以上项，分别用于结点1，3，1o22oo2()();2fhfffhxx3x10,xxh。

022200)(2)(3xfhxfhff抛物线差分公式结点3，结点1，30,xxh 第五章 用差分法和变分法解平面问题01320130221()(),2(b)1()(2).fffxhffffxh抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式从上两式解出o点的导数公式，第五章 用差分法和变分法解平面问题 应用泰勒级数导出差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为 )(3xo 抛物线差分公式第五章 用差分法和变分法解平面问题线性差分公式线性差分公式在式(a)中仅取一，二项时，误差量级为 )(2xo,)(001xfhff0031()(),(c)fffxh线性差分公式式(c)称为向前差分公式向前差分公式对结点1，得：第五章 用差分法和变分法解平面问题对结点3，得：,)(003xfhff0031()(),(d)fffxh 线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中式(d)称为向后差分公式向后差分公式第五章 用差分法和变分法解平面问题例1 稳定温度场中的温度场函数T(x，y)应满足下列方程和边界条件：（在 A 中）,(a)（在 上）,(b)（在 上）.(c)20,T,)(bsqnT,bsTT 1S2S第五章 用差分法和变分法解平面问题 稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在 上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中是导热系数。

1S2S第五章 用差分法和变分法解平面问题 现在我们将式(a)，(b)，(c)转化为差分形式应用图51网格，和抛物线差分公式，第五章 用差分法和变分法解平面问题（1）将化为差分公式，得（2）若x边界516上为第一类边界条件，则 已知3）若y边界627上为第二类边界条件，已 知，则 0)(02 T;0)(443210TTTTT1T2)(yq,)()(22yqyT(d)第五章 用差分法和变分法解平面问题 由于 所以得 这时，边界点2的是未知的，对2点须列出式（d）的方程此方程涉及到值，可将式（e）代入2)(0102hTTyT.)(22010yqhTT2T10T(e)第五章 用差分法和变分法解平面问题例2 稳定温度场问题的差分解设图中的矩形域为6m4m，取网格间距为h=2m，布置网格如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求内结点a，b的稳定温度值ab40353025322224222017第五章 用差分法和变分法解平面问题解出解0)222030(4,0)223532(4abbaTTTT13.25,53.28baTT（度）第五章 用差分法和变分法解平面问题思考题1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区别。

2.应用抛物线差分公式(5-2)，试导出3阶导数 的差分公式yxf23第五章 用差分法和变分法解平面问题 对于单连体，按应力函数单连体，按应力函数 求解时，求解时，应满足:5-2 5-2 应力函数的差分解应力函数的差分解4(1)0;()(a)(),(2)()(b)().yxyxyxxsysAlmfSSmlf按 求解第五章 用差分法和变分法解平面问题（3）求出 后，由下式求应力（假设无体力）:22222,.(c)xyxyyxx y 按 求解第五章 用差分法和变分法解平面问题2401305768200222002220021()()(2),1()()(2),(d)1()()()4xyxyyhxhx yh差分法求解1.1.应力公式应力公式(c)的差分表示的差分表示对于O点，差分法求解：差分法求解：第五章 用差分法和变分法解平面问题0)(04 0123456789101112208()2()()0.(e)i相容方程化为：对每一内结点，为未知，均应列出式(e)的方程2.2.相容方程相容方程(a)的差分的差分表示表示第五章 用差分法和变分法解平面问题 对边界内一行结点列式(e)方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的 值。

为了求虚结点的 值，需要求出边界点的 ，值x相容方程y第五章 用差分法和变分法解平面问题3.3.应用应力边界条件应用应力边界条件(b)(b)，求出边界点，求出边界点的的 ，值xy边界条件第五章 用差分法和变分法解平面问题 应力边界条件用 表示 取出坐标 的正方向作为边界线s 的正向（图中为顺时针向），当移动 时，为正，而 为负，所以外法线的方向余弦为dsdxdy.sin,cosdsdxmdsdyl边界条件第五章 用差分法和变分法解平面问题,)(dd)(dd222xfyxsxysy.)(dd)(dd222yfyxsyxsx,)(ddxfys(f).)(ddyfxs边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得第五章 用差分法和变分法解平面问题()(),(g)()().xyBBAABBAAf d syyf d sxx边界条件式(f)，(g)分别是应力边界条件的微分，积应力边界条件的微分，积分形式再将式(f)对s 积分，从固定的基点A到边界任一点B，得第五章 用差分法和变分法解平面问题 通过分部积分从A到B积分，得yyxxdddB,d)d(duvuvvu()()()()()d()d.BABABABBAABBxyAAxxyyxyyy fsxxfs边界条件(h)由全微分 求边界点求边界点的的 第五章 用差分法和变分法解平面问题 因为A为定点，和 ，均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式不影响应力，所以可取 故边界结点的边界结点的 和导数值，和导数值，由式(g)，(h)简化为 Ax,0)(,)(,AAyxA()d,()d,(i)()d().BBBBBxABByABBxyAAfsyfsxyyfsxxf d s 边界条件AyAAx)(Ay)(第五章 用差分法和变分法解平面问题式式(i)(i)的物理意义是：的物理意义是：第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量；第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量 改号;第三式表示从A到B边界上面力对B点的力距，图中以顺时针向为正。

因此，可以按物理意义直接求 和 边界条件,BBx)(By)(第五章 用差分法和变分法解平面问题 由式(i)的第三式，可求出边界点的 值;由式(i)的前两式，可求出边界点 的 ，值，然后再求出边 界外一行虚结点的 值边界条件BBx)(By)(第五章 用差分法和变分法解平面问题（2）由边界结点的 ，值，求出边界 外一行虚结点的 值；（1）在边界上选定基点A，令 ，然后计算边界上各结点的 ，；0)()(AAyxAxyxy求解步骤4.4.应力函数差分解的步骤应力函数差分解的步骤第五章 用差分法和变分法解平面问题（4）求出边界外一行虚结点的 值；（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，联立求各结点的 值；求解步骤（5）按式(d)求各结点的应力第五章 用差分法和变分法解平面问题思考题1，将应力函数看成是覆盖于区域A和边 界s上的一个曲面，则在边界上，各点 的值与从 A（基点）到B面力的合力 距有关，的一阶导数值与A到B的面力 的合力（主矢量）有关；而在区域内，应力分量与曲面的曲率，扭率有关第五章 用差分法和变分法解平面问题5 53 3 应力函数差分解的实例应力函数差分解的实例q问题 此题无函数式解答。

应用差分法求解正方形深梁正方形深梁,上边受均布荷载 ，下边两角点处有支承反力维持平衡，试求其应力第五章 用差分法和变分法解平面问题1.本题具有对称性对称性，取y轴如图，并取以反映对称性0)()(AAyxA取网格如图第五章 用差分法和变分法解平面问题 首先考虑对称性对称性，可以减少未知值数目，并大量减少计算工作量按照物理意义，求出边界点上的 和其导数值（如书中所示）：第五章 用差分法和变分法解平面问题 AB间y向面力主矢量号，AB间x向面力主矢量，AB间面力对B点力矩,以BAxBBAyBsfysfxd)(d)(BAxsfyyBBd)(BAysfxxBd)(注意符号为正.第五章 用差分法和变分法解平面问题0)(04 i5.求出应力求出应力，如AM线上各点应力，并绘 出分布图4.求出边界外一行虚结点的 值值3.对每一内点列差分方程 ，求求 出出 2.由边界点 的导数值，求出边界外一行 虚结点的虚结点的 值值第五章 用差分法和变分法解平面问题比较比较：材料力学解AM上 为直线分布，弹性力学解AM上 为曲线分布，由此又说明，材料力学解法只适用于杆件75.0 ,75.0qminqmaxxx.24.0 ,84.1qminqmaxxx比较xx第五章 用差分法和变分法解平面问题（1）差分法是解微分方程边值问题和弹性 力学问题的有效方法。

2）差分法简便易行，且总能求出解答3）差分法可配合材料力学，结构力学解 法，精确地分析结构的局部应力状态差分法优点差分法优点：差分法评价第五章 用差分法和变分法解平面问题（3）凡是近似解，在求导运算时会降低精 度如 的误差为 ，则应力 的误差为 )(3xo)(xo 缺点缺点：差分法评价（1）对于曲线边界和不等间距网格的计 算较麻烦2）差分法比较适用于平面问题或二维 问题第五章 用差分法和变分法解平面问题思考题:1.试用线性向前或向后差分公式，导出 的 差分方程0)(02 Ta（Z向厚度 ）1AyB2FFFxaaa2.用差分法计算 图中A点的应 力分量第五章 用差分法和变分法解平面问题5 54 4 弹性体的形变势能弹性体的形变势能 外力势能外力势能弹性力学变分法弹性力学变分法，又称为能量法能量法因其中的泛函就是弹性体的能量泛函泛函是以函数为自变量（宗量）的一 种函数变分法，变分法，是研究泛函及其极值的求解方法是研究泛函及其极值的求解方法第五章 用差分法和变分法解平面问题应力变分法应力变分法取应力函数为自变量，并以 余能极小值条件导出变分方程本章只介绍位移变分法位移变分法位移变分法取位移函数为自变量，并以 势能极小值条件导出变分方程。

弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法其中分为：第五章 用差分法和变分法解平面问题外力势能外力势能外力做了功，必然消耗了相同 值的势能当取 时的外力功和能为零，则：()d d()d .(a)xyxyAsWf uf vxyf uf vs0 vuWV.d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功和外力势能1.1.弹性体上的外力功和外力势能弹性体上的外力功和外力势能外力功：外力功：第五章 用差分法和变分法解平面问题形变势能（2）因为应力和应变均从0增长到 ，故单位体积上，应力所做的功是单位体积上，应力所做的功是 非线性 关系 线 性 关系,d01U.211U（1）作用于微小单元上的应力，是邻近 部分物体对它的作用力，可看成是 作用于微小单元上的“外力”2.2.应力的功和形变势能（内力势能）应力的功和形变势能（内力势能）第五章 用差分法和变分法解平面问题 线性的应力与应变关系非线性的应力与应变关系第五章 用差分法和变分法解平面问题（3）对于平面应力问题平面应力问题 或平面应变问题平面应变问题 单位体积上应力所做的功单位体积上应力所做的功都是 )0(zyzxz),0(zyzxz).(211xyxyyyxxU(c)形变势能第五章 用差分法和变分法解平面问题（4）假设没有转化为非机械能和动能，则 应力所做的功全部转化为弹性体的 内力势能内力势能，又称为形变势能形变势能，或应变应变 能能，存贮于物体内部。

单位体积的形变势能单位体积的形变势能（形变势形变势能密度能密度）1U形变势能第五章 用差分法和变分法解平面问题（5 5）整个弹性体的形变势能是整个弹性体的形变势能是 .dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxyxUU(d)形变势能第五章 用差分法和变分法解平面问题（6）将物理方程代入，平面应力问题的形平面应力问题的形 变势能密度变势能密度 ，可用形变形变表示为 对于平面应变问题，将222121(2).(e)2(1)2xyxyxyEU 21EE变为，.1变为1U1U形变势能22121()()2().(f)22 1EuvuvvuUxyxyxy再将几何方程代入，可用位移位移表示为第五章 用差分法和变分法解平面问题3.3.形变势能形变势能 的性质的性质（1）是应变或位移的二次泛函，是应变或位移的二次泛函，故不能应用叠加原理2）应变或位移发生时，总是正的，即（3）的大小与受力次序无关4）对应变的导数，等于对应的应力：.0U.,111xyxyyyxxUUUUUU1U(g)形变势能的性质U第五章 用差分法和变分法解平面问题4.4.弹性体的总势能弹性体的总势能，是外力势能和内力 （形变）势能之和，.pVUE(h)第五章 用差分法和变分法解平面问题1.试证明在线性的应力与应变关系，2.试由式(e)导出式(g)。

3.试列出极坐标系中平面应力问题的形变势能公式，并与式(d)，(e)和(f)相比较11.2U思考题思考题第五章 用差分法和变分法解平面问题5 55 5位移变分方程位移变分方程 在位移变分法位移变分法中，所取泛函为总势能 ，其宗量为位移函数位移函数 ，u vpE现在来导出位移变分方程位移变分方程第五章 用差分法和变分法解平面问题1.1.实际平衡状态的位移实际平衡状态的位移 ，必须满足，必须满足 用位移表示的平衡微分方程（在A中）;用位移表示的应力边界条件（在 上);位移边界条件（在上）uss实际位移u v(a)其中，属于静力平衡条件静力平衡条件，属于约束条件约束条件对于实际位移，可将看成是必要条件，而，是充分条件第五章 用差分法和变分法解平面问题（在 上）2.2.虚位移状态虚位移状态 虚位移（数学上称为位移变分），表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示虚位移应满足 上的约束边界条件，即,v,0 vu虚位移(b)ususu第五章 用差分法和变分法解平面问题 虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的因此，虚位移状态 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态vvvuuu(c)虚位移第五章 用差分法和变分法解平面问题微分微分是在同一状态下，研究由于位 置(坐标)改变而引起函数的改 变。

其中的自变量为坐标变量x,y；而因变量为函数，如位移，有 .dddyyuxxuu(d)变分与微分的比较变分与微分的比较变分与微分第五章 用差分法和变分法解平面问题变分变分是在同一点位置上，由于状态改 变而引起泛函的改变其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如 ，有 UVpE.vvUuuUU变分与微分(e)第五章 用差分法和变分法解平面问题由于微分和变分都是微量，所以 a.它们的运算方式相同运算方式相同，如式(d)，(e)；b.变分和微分可以交换次序变分和微分可以交换次序，如 ).()(uxxu变分与微分(f)第五章 用差分法和变分法解平面问题当发生虚位移虚位移（位移变分）时，()d d()d .(g)yxyxAsWf uf vx yfufvs.(h)VW,.(i)xyxyuvvuxyxyvu,虚位移上功和能 由于虚位移引起虚应变虚应变，外力势能的变分外力势能的变分：外力的虚功外力的虚功（外力功的变分）：3.3.在虚位移上弹性体的功和能在虚位移上弹性体的功和能 第五章 用差分法和变分法解平面问题 形变势能的变分形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功,由于实际应力在虚应变之前已存在,所以作为常力计算，故无 系数。

dd)(AxyxyyyxxyxU21虚位移上功和能(j)第五章 用差分法和变分法解平面问题（1）在封闭系统封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加在虚位移过程中形变势能的增加 应等于外力势能的减少应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功 ）所以)(UW.(k)UW位移变分方程4.4.弹性力学中位移变分方程的导出弹性力学中位移变分方程的导出第五章 用差分法和变分法解平面问题（2）位移变分方程位移变分方程 将式(g)的 代入上 式，得它表示，在实际平衡状态发生位移的变在实际平衡状态发生位移的变 分分 时，所引起的形变势能的变时，所引起的形变势能的变 分分 ，等于外力功的变分，等于外力功的变分 )d d()d .(l)xyxyAsUfufvxyfufvsW),(vu)(U)(W位移变分方程第五章 用差分法和变分法解平面问题U()d d()d d()d .(m)xxyyxyxyAxyxyAs xyf uf vxyf uf vs位移变分方程它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在外力在虚位移上所做的虚功等于应力在 虚应变上所做的虚功。

虚应变上所做的虚功3）虚功方程虚功方程 将式(j)的 代入上 式，得第五章 用差分法和变分法解平面问题其中 形变势能的变分，如式(j)所示，外力功的变分,如式(g)所示0 ,(n)UW0,(o)UWWU位移变分方程（4）最小势能原理最小势能原理式(k)可写成其中U弹性体的形变势能，如5-4式(d),W弹性体的外力功，如5-4式(a)可以证明，式(n)可以写成为第五章 用差分法和变分法解平面问题证明如下：位移变分方程.d)(dd)(d)(dd)(;dd)(dd dd1111WsvfufyxvfufsvfufyxvfufWUyxyxUUUyxUUysxyAxAysxyxxyxyyyxAxAxyxyyyxxA第五章 用差分法和变分法解平面问题由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为 再将总势能 对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得 综合式(p)，(q)，即得,pWUVUE.0pE.0p2E.pminE(p)(q)(r)位移变分方程pE第五章 用差分法和变分法解平面问题位移变分方程 这就是最小势能原理它表示在给这就是最小势能原理它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。

组位移对应于总势能为极小值第五章 用差分法和变分法解平面问题最小势能原理：数学表示如图(a)，物理意义如图(b)pEuuuminE p0pE0p2Eu（实际位移）pE(a)(b)第五章 用差分法和变分法解平面问题（5）位移变分方程的又一形式位移变分方程的又一形式 式(l)中 可化为 .dd)(dd)(yxuyvxvyuxyxUAxyyxAxyxyyyxx又一形式U第五章 用差分法和变分法解平面问题应用分部积分公式 和格林公式 （其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将 进行转换d)d(dAAuvuvvu,d)(dd)(sAsmQlPyxyQxPU又一形式第五章 用差分法和变分法解平面问题由在 上，虚位移 ，得 对 其余几项进行同样的转换，并代入式(l),可得又一形式的位移变分方程又一形式的位移变分方程：yxuxuxyxuxAxxAxdd)()(dd )(,dd)(dyxuxsulsAxxus0udd.(t)xxssulsuls又一形式U例如，对第一项计算，(s)第五章 用差分法和变分法解平面问题Ayxyyxyxxyxvfxyufyxdd)()()()d0.(u)xyxxyxyyslmfumlfvs因 ，都是任意的独立的变分，为了满足上式,必须uv.0 ,0,0 ,0yxyyxyxxyxyyxyxxflmfmlfxyfyx（在A中）(v)（在 上）(w)s又一形式第五章 用差分法和变分法解平面问题 由此可见，从位移变分方程可以由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。

分方程和应力边界条件第五章 用差分法和变分法解平面问题5.5.结论结论 实际平衡状态的位移必须满足 a.上的约束(位移)边界条件；b.上的应力边界条件；c.域A中的平衡微分方程sus结论 位移变分方程可以等价地代替静力条 件b,c第五章 用差分法和变分法解平面问题结论 由此得出一种变分解法变分解法,即预先使位即预先使位 移函数满足移函数满足 上的位移边界条件，再上的位移边界条件，再 满足位移变分方程，必然也可以找出满足位移变分方程，必然也可以找出 对应于实际平衡状态的位解答对应于实际平衡状态的位解答us第五章 用差分法和变分法解平面问题 1.微分和变分各是由什么原因引起的？2.试导出式(u)3.试比较4.中变分方程(1)-(5)的不同的 物理解释4.试证明二阶变分 思考题0p2E第五章 用差分法和变分法解平面问题 位移变分法是取位移为基本未知函数位移变分法是取位移为基本未知函数的位移函数应预先满足位移函数应预先满足 上的位移边界上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程条件，然后再满足位移变分方程5-6 5-6 位移变分法位移变分法us第五章 用差分法和变分法解平面问题mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a)瑞利-里茨法（1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定位移试函数的方法设定位移试函数的方法，令 1.1.瑞利瑞利-里茨法里茨法 第五章 用差分法和变分法解平面问题其中 和 均为设定的x，y的函数，并在边界 上，令 mmvuvu,00.0)(,0)(,)(,)(00smsmssvuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b)瑞利-里茨法ususus第五章 用差分法和变分法解平面问题 所以 已满足了 上的位移边界位移边界条件条件。

而 ，用来反映位移状态的变化，故位移的变分为位移的变分为mAmB.,mmmmmmBvvAuu瑞利-里茨法(d)us,u v第五章 用差分法和变分法解平面问题()d d()d .(e)xyxyAsUfufvx yfufvs().(f)mmmmmUUUABAB瑞利-里茨法mAmB 位移的变分通过 ，的变分来反映，故形变势能的变分为（2）位移(a)还必须满足位移变分方程第五章 用差分法和变分法解平面问题将式(d)，(f)代入(e)得AsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmymymxmx0dddddd因虚位移（位移变分）中的 ，是完全任意的，独立的，为了满足上式，必须:mAmB第五章 用差分法和变分法解平面问题ddd,(1,2)(g)ddd.mmmxxAsmymyAsmUf uxyf usAmUf vxyf vsB瑞利-里茨法mAmBmAmB式(g)是瑞利瑞利-里茨变分方程里茨变分方程它是关于 ，的线性代数方程组，由上式可解出 ，,从而得到位移的解答第五章 用差分法和变分法解平面问题2.2.伽辽金法伽辽金法（1）设定位移试函数如式(a)所示，但令 u,v 不仅满足不仅满足 上的位移边界条件，上的位移边界条件，而且也满足而且也满足 上的应力边界条件上的应力边界条件 （用u,v表示）。

sus伽辽金法第五章 用差分法和变分法解平面问题 将位移的变分 ，（式(d)）代入，同样由于 ，为完全任意的和独立的变分，得到()()d d0.(h)yxyxyxxyAfufvx yxyyxu伽辽金法smAmB（2）于是，由5-5中式(u)可见，由于 上的应力边界条件已满足，设定的位移只需满足下列变分方程v第五章 用差分法和变分法解平面问题()dd0,(1,2)(i)()dd0.yxxxmAyxyymAfuxyxymfvxyyx将上式括号内的应力用位移来表示，得伽辽伽辽金变分方程金变分方程:伽辽金法22222222222211()d d0,122 (j)11()d d0.122xmymAAEuuvf uxyxyx yEvvuf vxyyxx y )2,1(m第五章 用差分法和变分法解平面问题 式(j)也是关于 ，的线性代数方程组，从上式解出 ，便得到位移的解答伽辽金法mAmBmAmB第五章 用差分法和变分法解平面问题思考题 试从位移函数的设定，应满足的变分方程和求解的计算工作量等方面对瑞利-里茨法和伽辽金法进行比较第五章 用差分法和变分法解平面问题例例1 1 图示矩形板ab，在上边及右边受有均布压力 及 ，而左边和下边受有法向连杆的约束。

1q2q5-7 5-7 位移变分法例题位移变分法例题第五章 用差分法和变分法解平面问题应用瑞利应用瑞利-里茨法里茨法，设定位移 满足两个约束边界条件 .,111111yBvBvxAuAu.0)(,0)(00yxvu例题例题 (a)(b)第五章 用差分法和变分法解平面问题其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程变分方程代替（其中 ）：0yxffssxsvfBUsufAUy.d,d1111(c)对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边界条件（当 或 处积分为0），0 yxff例题例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题且其中的 ，应代入相应的边界方程将式(a)代入 U ，计算式(c)的左边项共建立两个方程，求出 和 ，得位位移解答：移解答：1v1u11 BA例题例题 .)(1,)(11221yqqEvxqqEu(d)对于图示的简单问题，式(d)正好是其精确解第五章 用差分法和变分法解平面问题).1()(,0)(,0),(,0),(2202/bxvuvuvubybyyx例题例题 (e)例例2 2本题全部为位移边界条件：全部为位移边界条件：第五章 用差分法和变分法解平面问题本题以y轴为对称轴，所以u应为x的奇函数,v应为x的偶函数。

例题例题 (f)设定位移势函数设定位移势函数为1110111222222(1)(1),(g)(1)(1)(1).xxyyuAuAaabbxyxyyvvBvBababb第五章 用差分法和变分法解平面问题 位移(g)已满足对称性条件已满足对称性条件(f)(f)和全部边和全部边界条件界条件(e)(e)因 全部为位移边界条件且均已满足，所以从55 式(u)可见，也可应用伽辽金变分法0,usss例题例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题 将位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答与书中用瑞利-里茨法 给出的结果相同因 ，故伽辽金变分方程伽辽金变分方程为 .0dd)2121(2,0dd)2121(21122200222220022yxvyxuxvyvyxuyxvyuxuabab0yxff,11BA例题例题 (h)第五章 用差分法和变分法解平面问题例题1例题2例题3例题4例题5例题7例题6例题第五章 用差分法和变分法解平面问题例题例题1 1设图中的矩形域为 ，取网格间距为h=2m,布置网格如图，各边界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点a,b的稳定温度值mm 46 ab40353025322224222017第五章 用差分法和变分法解平面问题解：对结点a,b列出方程如下：.02220304,02235324abbaTTTT解出.(13.25 ,53.28度）baTT第五章 用差分法和变分法解平面问题例题例题2 2用差分法计算图中A和B点的应力分量。

FaBxy3aaaA.71（Z向厚度 ）1F65第五章 用差分法和变分法解平面问题 解：为反映对称性，取A为基点令 边界点的应力函数值：边界点的导数值：由上式及 .求出边界外一行虚结点的 值：.0)()(AAyxA.0432B()0,().ABFxy0)(Ay716151,2Fa第五章 用差分法和变分法解平面问题对1点列差分方程：代入各 值，解出 再求出应力分量：.0)()(;611)(,6)(ByAyBxAxaFaF)22(2)28(204231BA0.)(7652Fa1211第五章 用差分法和变分法解平面问题例题例题3 3 正方形 的板块，厚度 ，受一对集中力F的作用，如图试 取 ，应用差分法求解该问题的应力分量ll14lh1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xy1h=l/4FF第五章 用差分法和变分法解平面问题 解：本题具有的两个对称轴，为了反映对称性，在 y 向外荷载作用下，取 网格结点编号如图所示)()0.AAAxy第五章 用差分法和变分法解平面问题 计算各边界结点处的 ，值在A点及J点，各取 布置于两侧，以 反映荷载的对称性，按公式（其中 即AB之间面力对B点的力矩，图中以顺 时针方向为正）。

2F()d,()d,()d()d,BBBBBxyBBAABBxyAAfsfsyxyy fsxxfs xyB第五章 用差分法和变分法解平面问题 读者可检验，上述的值反映了边界结点和边界外一行虚结点上 值的对称性求出边界上各结点的值，如下图所示结点A B CDEGH I J 0 0 0 0 yxF/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh0000第五章 用差分法和变分法解平面问题 计算边界外一行结点的 值由 得到 由 得到,0)(,JIBAy,)()(2,3,3,212,11,7,6,2)(,FxGED.)()(3,4,310,9,8Fh第五章 用差分法和变分法解平面问题 对内结点1，2，3，4分别列出下列类型 的方程：0点：.0282012,11,10,98,7,6,54,3,2,10,4416228,2168162043214321FhFh对结点1，对结点2，第五章 用差分法和变分法解平面问题对结点3，对结点4，.2221648,78248243214213FhFh.5206.0 ,5056.0,1873.0 ,2640.03321FhFhFhFh解出第五章 用差分法和变分法解平面问题按照应力公式及 ，求得AJ及EI截面上的应力分量：),2(1)(),2(1)(03,104,22020hhyx4lh 2141()1.4984,()0.4424,()0.6136;()0.1648,()0.8912,()2.0528.xJxxyEyyFlFFllFlFFll 第五章 用差分法和变分法解平面问题例题例题4 4 试证明，在同样的应变分量 ，和 下，平面应变情况下单位厚度的形变 势能大于平面应力情况下的形变势能。

例题例题 xxyy第五章 用差分法和变分法解平面问题对于平面应变情况，只需将上式中 ，变换为22221(3).22 1xyxyxyAEUdxdy 2,.(b)1EE1E解：平面应力情况下，单位厚度的形变 势能是：例题例题 (a)第五章 用差分法和变分法解平面问题代入，得显然，方括号内将式中的 ，都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式，222222211()()(),111121EEE推出.12112AyxEU)(21)1(12222.21)211(22dxdyxyyx例题例题 E(c)第五章 用差分法和变分法解平面问题 从式可见，在平面应变情况下，形变势能 中的第1，2，3项均大于平面应力情况下的值，而第4项 不变因此，平面应变的形变势能 大于平面应力的形变势能U2xy21U例题例题 U第五章 用差分法和变分法解平面问题 例题5 图中表示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变势能将发生什么变化？例题例题 lCDEFAB第五章 用差分法和变分法解平面问题解：当AB线切开时，AB线上的应力趋于0而形变势能是正定的，当这部应力 时，相应的形变势能也失去。

因此，板的总的形变势能减少0趋近于0U例题例题 当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较两种状态：第五章 用差分法和变分法解平面问题(b)(b)AB线张开，出现裂纹这是稳定的平衡状态由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而(a)，(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势能小于(a)，即形变势能将减少例题例题 (a)AB切开后，AB线仍然处于闭合状态，不发生张开这是不稳定的平衡状态；第五章 用差分法和变分法解平面问题 例题例题6 6 单位厚度 的深梁，两侧边固定，上下边受均布荷载q作用，如图所示试用位移变分法求解其位移取 ，并设 ）)1(2.0ba例题例题 qyxbuvbaaoq第五章 用差分法和变分法解平面问题解：在图示荷载作用下，深梁的位移应对称于y轴，而反对称于x轴因此，位移分量u应为 ，的奇函数，而v为 x，y 的偶函数，x y如图所示可以设定位移势函数如下：,)1(2322122yAxAAabxyaxu.)1(2322122yBxBBaxv第五章 用差分法和变分法解平面问题 上式已满足两端的约束边界条件，以及对称和反对称性条件以下按瑞利-里茨法进行计算。

ax(,)0;u v 例题例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题假设只取u，v中一项，即将u和v代入形变势能公式（平面应力问题），得：,)1(22111abxyaxAuAu).1(22111axBvBv)961()1(24422222211axaxbayAEU)1(4421223114221axbaxBAaxB).21(442222221axaxbaxA例题例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题 在本题中体力 ，在 边界上只有 的均布荷载，由此，瑞利-里茨方程成为 abdxdyUU001421212342115412BabAabE.15781582111AbaBA0yxffbyqfy0 xf,01AU.11sydsvfBU例题例题 再积分求U，第五章 用差分法和变分法解平面问题 边界是 ，且 ，从 到 积分再将U代入上式，得到两个求 的方程：bydxds aa11,BAs,01581571621158121112BAbaAabE.38158382112112qaABabE第五章 用差分法和变分法解平面问题当取 ，且 时，上两式方程简化为由此解出 ,位移分量的解答是2.0ba,0353911 BA.565111EqaBA11.3125,qaAE.4625.11EqaB,)1(3125.1222axyaxEqau).1(4625.122axEqav例题例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题例题例题7 7 图中所示的薄板，厚度 ，三边固定，一边受到均布压力q的作用。

试用瑞利-里茨的位移变分法求解，其中取 ，10ba 例题例题 第五章 用差分法和变分法解平面问题aa b xyq第五章 用差分法和变分法解平面问题解：在瑞利-里茨法中，设定位移试函数应满 足位移边界条件，并 应反映图示问题的对称性取,)(232122xAyAAxyaxu.)(232122xByBByaxv第五章 用差分法和变分法解平面问题上式已反映了位移对称于y轴的要求：v为x的偶函数，u为x的奇函数仅取各一项进行运算，由于体力 ，面力只存在于AB边（），因此求解 的位移变分方程为：,)(22111xyaxAuAu.)(22111yaxBvBv0yxffby 例题例题 11,BA第五章 用差分法和变分法解平面问题当 ，且取泊松系数 时，形变势能简化为将u，v 代入,01AU.11ABbyydxvfBU.)(21)()(22221xvyuyvxuEU例题例题 （a）（b）0ba.221692224422122442211xaaxxAxaaxyAEU.222211yaxxBA222122442122yxBxaaxB第五章 用差分法和变分法解平面问题 aadxdyUU00121533415732212216BaAEa.15211aBA形变势能U为将U及 代入式(a)，(b)，得)(byqfy,073211 BaA.10334211EaqBaA(c)(d)第五章 用差分法和变分法解平面问题从式(c)，(d)解出,106721031EaqA.106796021EaqB),1(106721022axEaqxyu).1(106796022axEqyv例题例题 于是得到位移分量，再求应力分量，取 ，得：0第五章 用差分法和变分法解平面问题在对称轴上，x=0，,在 边界，,).1(106710522axaxqyxayqx1067210.0 xy),1(106796022axqy0y例题例题 ),31(106721022axayqxuEx),1(106796022axqyvEy.960)1(10510671)(222ayaxaxqxvyuExy第五章 用差分法和变分法解平面问题 本题中，由于u，v中各只取一项，且取 ，因此，求出的位移解的精度较低；而由近似解的位移求应力时，其应力精度要降低一阶，其精度更差些。

对于实际问题，应取更多的项数进行计算。