高斯公式和斯托克斯公式

j 2兀01、利用高斯公式计算曲面积分1)求 I = jj x2dydz + 2y2dxdz +(3z2 — 4x2y2)dxdy，其中 £ 为 z =

解：添加辅助曲面S :z = 0 x2+y22 + ^2)dxdydzy气I = -fff J + 了2 + 々2 ^)dxdydz -ff( 1 )+ 尤2《+〉2[ + _式3 dxdyI 3 )1 )工2[ +)2[ + 一[3 dxdy3 )A=-f2K JOp t/cpf1 p2p2Sincp^p-0 = --K0 x 0 522、利用斯托克斯公式计算曲线积分1) ^3ydx-xzdy + yz^dz ,其中「是圆周] r I针方向工2 + y2 = 2z z = 2解：£取并取上侧原式=jjdydzdzdxdxdy,从Oz轴正方向看去，「取逆时dxdz5dxdy 一 一20兀r去，这圆周是逆时针方向ff C2 + x)dydz 一 (z + 3)dxdy - 一 jj(z + 3)dxdy --其中「为圆周尤2 +弗+ [2 = 4,x+y + z = 0,从y轴正方向看解:£对应单位法向量为原式=jj£1dSy3z=jj —= dS = —= x 4兀=-8 (3 兀 z<3 <3。