单调与最大小值

1.1.3 3.1 .1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第一课时第一课时 函数单调性的概念函数单调性的概念问题提出问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得他经过测试，得到了以下一些数据：到了以下一些数据：时间间隔时间间隔 t刚记刚记忆完忆完毕毕20分分钟后钟后60分分钟后钟后8-9小时小时后后1天天后后2天天后后6天天后后一个一个月后月后记忆量记忆量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量以上数据表明，记忆量y y是时间是时间间隔间隔t t的函数的函数.艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩斯遗忘曲线斯遗忘曲线”,如图如图.123tyo20406080100思考思考1:1:当时间间隔当时间间隔t t逐渐增逐渐增 大你能看出对应的函数值大你能看出对应的函数值y y有什么变化趋势？通过这个有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待试验，你打算以后如何对待刚学过的知识刚学过的知识?思考思考2:2:“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123知识探究（一）知识探究（一）yxo考察下列两个函数考察下列两个函数:()f xx2()(0)f xxx （1 1）；(2)(2)xyo思考思考1 1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？共同特征？思考思考2 2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量那么当自变量x x从小到大依次取值时，函数值从小到大依次取值时，函数值y y的的变化情况如何？变化情况如何？xyox1x2()yf x1()f x2()f x思考思考4 4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义那么怎样定义“函数函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数”？()f x()f x12,x x1x2x1()f x2()f x)(xf对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 ,则称函数则称函数 在区间在区间D D上是增函数上是增函数.()f x12xx1()f x2()f x思考思考3 3:如图为函数如图为函数 在定义域在定义域I I内某个区间内某个区间D D上的图象，对于该上的图象，对于该区间上任意两个自变量区间上任意两个自变量x x1 1和和x x2 2，当当 时，时，与与 的大的大小关系如何小关系如何？知识探究（二）知识探究（二）考察下列两个函数考察下列两个函数:()f xx 2()(0)f xxx （1 1）；(2)(2)1()f x2()f x()yf xxyoxoy思考思考1 1:这两个函数的图象分别是什么？这两个函数的图象分别是什么？二者有何二者有何 共同特征？共同特征？()f x思考思考2 2:我们把具有上述特点的我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定函数称为减函数，那么怎样定义义“函数函数 在区间在区间D D上是减上是减函数函数”？2()f xxyox1x2()yf x1()f x()f x12,x x1x2x1()f x2()f x)(xf对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量 的值的值，若当，若当 ,则称函数则称函数 在区间在区间D D上是减函数上是减函数.()f x12()()fxfx思考思考3:3:对于对于函数函数定义域定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两上的任意两个自变量个自变量 的值的值，若当，若当 时，都有时，都有 ,则函数则函数 在区间在区间D D上是增函数还是上是增函数还是减函数？减函数？12,x x12xx2()(1)f xx()f x()f x思考思考4 4：如果函数如果函数y=f(xy=f(x)在区间在区间D D上是增函上是增函数或减函数，则称函数数或减函数，则称函数 在这一区间具有在这一区间具有（严格的）（严格的）单调性单调性，区间，区间D D叫做函数叫做函数 的的单调区间单调区间.那么二次函数在那么二次函数在R R上具有单调性吗？上具有单调性吗？函数函数 的单调区间如何？的单调区间如何？理论迁移理论迁移-5 5-3 31 13 36o ox xy y()yf x()yf x例例1 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间-5-5，66上的函数上的函数 的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出 的单调区间，以的单调区间，以及在每一单调区间上，及在每一单调区间上，函数函数 是增函数还是增函数还是减函数是减函数.()yf x(0,)1()xfxx 例例3 3 试确定函数试确定函数 在区间在区间上的单调性上的单调性.()kPkV为正常数 例例2 2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V V 减小时，压强减小时，压强p p将增大将增大.试用函数的单调性试用函数的单调性 证明证明.小小 结结利用定义确定或证明函数利用定义确定或证明函数f(xf(x)在给定的在给定的 区间区间D D上的单调性的一般步骤：上的单调性的一般步骤：1.1.取数取数:任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1x x2 2；2.2.作差作差:f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)；3.3.变形变形:通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方;4.4.定号定号:判断差判断差f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)的正负的正负;5.5.小结小结:指出函数指出函数f(xf(x)在给定的区间在给定的区间D D上的上的 单调性单调性.作业：作业：P P3232 练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4.第二课时第二课时 函数单调性的性质函数单调性的性质1.1.3 3.1 .1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 问题提出问题提出1.1.函数函数在区间在区间D D上是增函数、减函数的定义是什上是增函数、减函数的定义是什 么？么？)(xf3.3.增函数、减函数有那些基本性质？增函数、减函数有那些基本性质？2.2.增函数、减函数的图象分别有何特征？增函数、减函数的图象分别有何特征？知识探究（一）知识探究（一）1212()()0f xf xxx 若若 呢？呢？)(xf1212()()0f xf xxx则函数则函数 在区间在区间D D上的单调性如何？上的单调性如何？()f x思考思考1 1：对于函数对于函数 定义域内某个区间定义域内某个区间D D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值 ，若，若 ，12,x x12()xx()f x12()()f xf x()f x12xx12,x x对于函数对于函数 定义域内某个区间定义域内某个区间D D上的任意两上的任意两个自变量的值个自变量的值 ,若当若当 时，都有时，都有 (1),(1),则称函数则称函数 在区间在区间D D上是上是增函数；增函数；(2),(2),则称函数则称函数 在区间在区间D D上是上是减函数减函数.12()()f xf x()f x()f x()af x()af x0a()f x思考思考2 2：若函数若函数 在区间在区间D D上为增函数，上为增函数，为常数，则函数为常数，则函数 、的单调性如何？的单调性如何？()()f xg x()()f xg x()g x()f x思考思考3 3：若函数若函数 、在区间在区间D D上都是增函数，上都是增函数，则函数则函数 、在区间在区间D D上的单调性上的单调性能否确定？能否确定？1()f x()f x()f x思考思考4 4：若函数若函数 在区间在区间D D上是增函数，则函数上是增函数，则函数 在区间在区间D D上是增函数吗？函数上是增函数吗？函数 在区间在区间D D上是减函数？上是减函数？()f x()f x()f x如果函数如果函数y=f(xy=f(x)在区间在区间D D上是增函数或减函数，则上是增函数或减函数，则称函数称函数 在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单调性，单调性，区区间间D D叫做函数叫做函数 的的单调区间，单调区间，此时也说函数此时也说函数在这一区间上是在这一区间上是单调函数单调函数.知识探究（二）知识探究（二）()f xkxb思考思考1 1：函数函数 是单调函数吗？是单调函数吗？思考思考3 3：一个函数在其定义域内，就单调性而言一个函数在其定义域内，就单调性而言有哪几种可能情形？有哪几种可能情形？()|f xx思考思考2 2：函数函数 在在R R上具有单调性吗？上具有单调性吗？其单调区间如何？其单调区间如何？思考思考5:5:下列图象表示的函数是增函数吗？下列图象表示的函数是增函数吗？xyo图图1xyo图图2思考思考4:4:若函数若函数 在区间在区间D D上具有单调性，上具有单调性，,那么那么 分别在区间分别在区间A A、B B上具有单上具有单调性吗？调性吗？ADB)(xf)(xf)(xf思考思考6:6:一般地，若函数一般地，若函数 在区间在区间A A、B B上是上是单调函数，那么单调函数，那么 在区间在区间 上是单调函上是单调函数吗？数吗？)(xf)(xfAB理论迁移理论迁移 例例 已知函数已知函数 ，求不等式，求不等式 的解集的解集.21()xf xx(2)1f x作业作业:P P39 39 习题习题1.3A1.3A组：组：1 1，2 2，4.4.1.1.3 3.1 .1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第三课时第三课时 函数的最值函数的最值问题提出问题提出1.1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，函数图象上升与下降反映了函数的单调性，如果函数如果函数的图象存在最高点或最低点，它又的图象存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？反映了函数的什么性质？()f x知识探究（一）知识探究（一）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：图图1ox0 xMy思考思考1:1:这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？思考思考2:2:设函数设函数y=f(xy=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量则对函数定义域内任意自变量x x，f(xf(x)与与M的大小的大小关系如何？关系如何？y yx xox0图图2M函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？思考思考3:3:设函数设函数 ，则，则 成立吗？成立吗？的最大值是的最大值是2 2吗？为什么？吗？为什么？2()1f xx()2f x()f x()f x思考思考4:4:怎样定义函数怎样定义函数 的最大值？用什么符号的最大值？用什么符号表示？表示？()yf x0()f xM()f xM一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在，如果存在实数实数M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 ,都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 .那么称那么称M是函数是函数 的最大值，记作的最大值，记作0 xIxI()yf xmax()f xM思考思考5:5:函数的最大值是函数值域中的一个元函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数素吗？如果函数 的值域是的值域是(a,b(a,b)，则函，则函数数 存在最大值吗？存在最大值吗？()f x()f x思考思考6:6:函数函数 有最大有最大值吗？为什么？值吗？为什么？21,(1,)yxx 图图1yox0 xm知识探究（二）知识探究（二）观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：xyox0图图2m思考思考1:1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考思考2:2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 的最小值？的最小值？()f x()yf x0()f xm()f xm一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I I，如果存在实数如果存在实数m满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的 ,都有都有 ;（2 2）存在）存在 ，使得，使得 .那么称那么称m是函数是函数 的最小值，记作的最小值，记作0 xIxI()yf xm()inf xm知识探究（三）知识探究（三）12()()()f xf xf x思考思考1:1:如果在函数如果在函数 定义域内存在定义域内存在x x1 1和和 x x2 2，使对定义域内任意使对定义域内任意x x都有都有成立，由此你能得到什么结论？成立，由此你能得到什么结论？()f x思考思考2:2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而对一个函数就最大值和最小值的存在性而言，有哪几种可能情况？言，有哪几种可能情况？()f x思考思考3:3:如果函数如果函数 存在最大值，那么有几个？存在最大值，那么有几个？()f x思考思考4:4:如果函数如果函数 的最大值是的最大值是b b，最小值是，最小值是a a，那么函数那么函数 的值域是的值域是aa，bb吗？吗？()f x理论迁移理论迁移 2,2,61f xxx 2,2,61f xxx例例1 1已知函数已知函数 ，求函数，求函数 的最大值和最小值的最大值和最小值.2,2,61f xxx()f x例例2 2（0505年湖南卷）某公司在甲、乙两地销售一种年湖南卷）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（万元）分别为品牌车，利润（万元）分别为 和和 ，其中，其中x x为销售量（辆），若该公司在为销售量（辆），若该公司在这两地共销售这两地共销售1515辆车，则能获得的最大利润为辆车，则能获得的最大利润为()()A A、45.645.6万元万元 B B、45.60645.606万元万元 C C、45.5645.56万元万元 D D、45.5145.51万元万元215.060.15yxx22yxA A作业作业 P39 P39 习题习题1.3A1.3A组：组：5 5 B B组：组：1 1，2.2.1.1.3 3.2 .2 奇偶性奇偶性 第一课时第一课时 函数的奇偶性函数的奇偶性问题提出问题提出 1.1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学自身发展的必然结果需要，也是数学自身发展的必然结果.例如事物例如事物的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值.2.2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单我们从函数图象的升降变化引发了函数的单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什么性质？么性质？知识探究（一）知识探究（一）考察下列两个函数：考察下列两个函数：(1);(2).(1);(2).2()f xx()|f xx思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么？二者这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？有何共同特征？xyo图（图（1）xyo图（图（2）思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)，f(2)f(2)与与f(-2)f(-2)，f(3)f(3)与与f(-3)f(-3)有什么关系？有什么关系？思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(xy=f(x)的图象关于的图象关于y y轴轴对称，则对称，则f(xf(x)与与f(-xf(-x)有什么关系？反之成立有什么关系？反之成立吗？吗？思考思考4:4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？数，那么怎样定义偶函数？如果对于函数如果对于函数f(xf(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x)成立，则称函数成立，则称函数f(xf(x)为偶为偶函数函数.f(x)=f(-xf(x)=f(-x)思考思考5:5:等式等式f(-x)=f(xf(-x)=f(x)用文字语言怎样表用文字语言怎样表述？述？自变量相反时对应的函数值相等自变量相反时对应的函数值相等 思考思考6:6:函数函数 是偶函数是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？吗？偶函数的定义域有什么特征？2(),1,2f xxx 偶函数的定义域关于原点对称偶函数的定义域关于原点对称知识探究（二）知识探究（二）考察下列两个函数：考察下列两个函数：(1);(2).(1);(2).()f xx1()f xx思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么？二者这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？有何共同特征？思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)，f(2)f(2)与与f(-2)f(-2)，f(3)f(3)与与f(-3)f(-3)有什么关系？有什么关系？xyo图（图（1）xyo图（图（2）思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(xy=f(x)的图象关于坐的图象关于坐标原点对称，则标原点对称，则f(xf(x)与与f(-xf(-x)有什么关系？反有什么关系？反之成立吗？之成立吗？思考思考4:4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？数，那么怎样定义奇函数？如果对于函数如果对于函数f(xf(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x，都有都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)成立，则称函数成立，则称函数f(xf(x)为奇为奇函数函数.f(x)=-f(-xf(x)=-f(-x)思考思考5:5:等式等式f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)用文字语言怎样表用文字语言怎样表述？述？自变量相反时对应的函数值相反自变量相反时对应的函数值相反 思考思考6:6:函数函数 是奇函数吗？是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？奇函数的定义域有什么特征？(),1,2f xx x 奇函数的定义域关于原点对称奇函数的定义域关于原点对称理论迁移理论迁移 例例1 1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:(1);(2).(1);(2).1()f xxx2()1f xx 例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x)满足：对任满足：对任意实数，都有意实数，都有 成立成立.（1 1）求）求f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)的值；的值；（2 2）确定）确定f(xf(x)的奇偶性的奇偶性.()()()f a baf bbf a 例例3 3 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.2()2|3f xxx y yx xo o1 1-1-1作业:P36练习：1，21.1.3 3.2 .2 奇偶性奇偶性 第二课时第二课时 函数的奇偶性的性质函数的奇偶性的性质问题提出问题提出 1.1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？奇函数、偶函数的定义分别是什么？2.2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有奇函数和偶函数的定义域、图象分别有 何特征？何特征？3.3.函数的奇偶性有那些基本性质？函数的奇偶性有那些基本性质？知识探究（一）知识探究（一）思考思考1:1:是否存在函数是否存在函数f(xf(x)既是奇函数又是偶既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？函数？若存在，这样的函数有何特征？f(xf(x)=0)=0思考思考2:2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？情形？思考思考3:3:若若f(xf(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，那么上的奇函数，那么 f(0)f(0)的值如何？的值如何？f(0)=0f(0)=0思考思考4:4:如果函数如果函数f(xf(x)具有奇偶性具有奇偶性,a,a为非零常为非零常数，那么函数数，那么函数af(xaf(x)，f(axf(ax)的奇偶性如何？的奇偶性如何？思考思考5:5:常数函数常数函数 具有奇偶性具有奇偶性吗？吗？()(0)f xa a思考思考1:1:如果函数如果函数f(xf(x)和和g(xg(x)都是奇函数，那都是奇函数，那么么f(x)+g(xf(x)+g(x)，f(x)-g(xf(x)-g(x)，f(x)f(x)g(xg(x)，f(x)f(x)g g(x)(x)的奇偶性如何？的奇偶性如何？知识探究（二）知识探究（二）思考思考2:2:如果如果f(xf(x)是定义在是定义在R R上的任意一个函数，上的任意一个函数，那么那么f(x)+f(-xf(x)+f(-x)，f(x)-f(-xf(x)-f(-x)奇偶性如奇偶性如何？何？f(x)+f(-xf(x)+f(-x)是偶函数是偶函数f(x)-f(-xf(x)-f(-x)是奇函数是奇函数思考思考3:3:二次函数二次函数 是偶函是偶函数的条件是什么？数的条件是什么？一次函数一次函数 是奇函数的条是奇函数的条件是什么？件是什么？2()f xaxbxc()f xkxbb=0b=0理论迁移理论迁移例例1 1 已知已知f(xf(x)是奇函数，且当是奇函数，且当 时，时，,求当求当 时时f(xf(x)的解析的解析式式.0 x 2()3f xxx0 x 2()3(0)f xxx x 例例2 2 设函数设函数 ，已知，已知 是是偶函数，求实数偶函数，求实数m m的值的值.2()23f xxmx(1)f xm=-4m=-4例例3 3 已知已知f(xf(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，且对任上的奇函数，且对任意实数意实数x x都有都有 ，若当，若当 时，时，,求求 的值的值.(3)()0f xf x 3,2x ()2f xx1()2f1()52f例例4 4 已知已知f(xf(x)是定义在是定义在R R上的偶函数，且在上的偶函数，且在 上是增函数，上是增函数，f(-2)=0f(-2)=0，求不等式，求不等式 的解集的解集.(,0()0 x f x(2,0)(2,)作业作业:P39P39习题习题1.3A1.3A组：组：6 6 B B组：组：3 3。