三阶系统综合分析与设计

武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 指导教师： 工作单位： 自动化学院 题 目: 三阶系统综合分析与设计初始条件：某单位反馈系统结构图如图1所示： 图1 图2要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 试绘制随根轨迹2、 当-6为闭环系统的一个极点时，K=?3、 求取主导极点阻尼比为0.7时的K值（以下取这个值）4、 分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差5、 用Matlab绘制单位阶跃相应曲线6、 绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度7、 如在比较点与开环传递函数之间加1个非线性环节，如图2所示，其中，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性8、 认真撰写课程设计报告。

时间安排： 任务时间（天）审题、查阅相关资料1分析、计算1.5编写程序1撰写报告1论文答辩0.5指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目录摘要 11 设计意义及要求 21.1 设计意义 21.2 设计要求 22 设计过程 32.1 绘制根轨迹 32.1.1 理论计算 32.1.2 MATLAB绘制根轨迹 42.2 极点-6时的K值的求取 42.3主导极点阻尼比为0.7时的K值求取 52.4稳态误差 62.4.1 系统的误差系数分析 62.4.2 系统的稳态误差分析 62.5 用Matlab绘制单位阶跃响应曲线 62.6绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度 72.6.1 绘制Bode图 72.6.2绘制Nyquist曲线 82.6.3 幅值裕度和相角裕度 92.7 系统加入非线性环节的稳定性分析 92.7.1 非线性环节的描述函数的求取 102.7.2 负倒描述函数的求取 112.7.3 系统稳定性的判据及原理 122.7.4 系统稳定性判断 13结束语 14参考文献 15摘要《自动控制原理》是为了培养学生统筹运用自动控制原理课程中所学的理论知识，掌握反馈控制系统的基本理论和基本方法，对工程实际系统进行完整的全面的分析和综合而开设的重要教学环节，此次课程设计可以锻炼学生的动手能力和解决问题的原因，把课本知识运用的实际中，同时也以更为自主创新的形式检验了学生对所学知识的掌握程度。

三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统在控制工程中，三阶系统非常普遍，其动态性能指标的确定是比较复杂在工程上常用闭环主导极点的概念对三级系统进行分析，或直接用MATLAB软件进行高级系统分析在课程设计中，我们不仅要掌握用MATLAB绘制闭环系统根轨迹和和系统响应曲线，用系统的闭环主导极点来估算三阶系统的动态性能，还要掌握BODE图和Nyquist曲线的绘制以及在比较点与开环传递函数之间加一个非线性环节后用负倒描述函数和Nyquist曲线判断系统的稳定性关键字： 三阶系统 闭环主导极点 MATLAB 1 设计意义及要求1.1 设计意义本次设计主要是让学生将自动控制原理中所学的理论知识与实践结合起来，对工程实际系统进行完整全面分析和综合，掌握利用MATLAB对控制理论进行分析，研究和仿真技能，提高分析问题和解决问题的能力本次的课程设计是对我们平时学习的理论知识的一个检验，也是让我们更加熟练的运用MATLAB软件，更好的解决自动控制方面的一些问题1.2 设计要求初始条件：某单位反馈系统结构图如下图所示： 图1 图2要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 试绘制随根轨迹2、 当-6为闭环系统的一个极点时，K=?3、 求取主导极点阻尼比为0.7时的K值（以下取这个值）4、 分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差5、 用Matlab绘制单位阶跃相应曲线6、 绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度7、 如在比较点与开环传递函数之间加1个非线性环节，如图2所示，其中，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和Nyquist图判断系统的稳定性8、 认真撰写课程设计报告。

2 设计过程2.1 绘制根轨迹某单位反馈系统结构图如下图所示： 2.1.1 理论计算（1）根轨迹的起点和终点根轨迹起于开环极点(包括无限极点)，终于开环零点（包括无限零点）根据系统开环传递函数可得：系统的开环极点分别为0、-2、-4，开环零点为无限远2） 根轨迹的分支数n=3，m=0，所以分支数为3 且它们是连续的并且对称于实轴3） 根轨迹在实轴上的分布实轴上的某一个区域，若其右边开环零、极点的个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹因此实轴上(-，-4]、 [-2,0]必为根轨迹4）根轨迹的渐进线渐近线与实轴的交点 = = -2，即与实轴的交点为（-2,j0）,与实轴的交角为 （k=0，1，2）5）确定根轨迹的分离点 分离点的方程为: ，因此可以求得分离点d=-0.85,d=-3.15（不合题意，舍去） （6）根轨迹与虚轴的交点 由开环传递函数写出系统的闭环特征方程式为 =0 将代入上式，可得实部方程为，虚部方程为 解得 所以与虚轴的交点为。

2.1.2 MATLAB绘制根轨迹MATLAB为绘制根轨迹编程如下： num=[48]; den=[1 6 8 0]; rlocus(num,den);绘制出的根轨迹如图1所示： 图1 闭环根轨迹根据理论计算和MATLAB绘制的根轨迹示意图，可以知道理论计算和MATLAB绘制的根轨迹完全相符从而可以知道所绘制的根轨迹是正确的2.2 极点-6时的K值的求取闭环系统的特征方程为： 将闭环极点s=-6代入方程式中，从而可以得到所以当-6为闭环系统的一个极点时，等于482.3主导极点阻尼比为0.7时的K值求取当主导极点阻尼比为0.7时，先做出的等阻尼比线，使这条直线与负实轴方向的夹角为cos=,此直线的斜率为k=-tan=-1.02,在MATLAB中画出此直线，并能找到与根轨迹的交点s即是满足的闭环主导极点之一编写的此程序为：k=-1.02;x=-25:5;y=k*x; plot(x,y); hold on num=[48];den=[1 6 8 0];rlocus(num,den); 图2由图2我们可以得出s=-0.753+j0.768，由根轨迹的对称性，可求得另一个极点为=-0.753-j0.768，由幅值条件可知，闭环极点s对应的根轨迹的增益为 K= |s|| s+2|| s+4|=|-0.753+j0.768||1.247+j0.768||3.247+j0.768|=5.27经验证，s和满足主导极点的条件，另一极点实部的模比主导极点实部的模大三倍以上，不是主导极点，所以该系统可近似成一个由主导极点构成的二阶系统传递函数为：对应的系统的开环增益为K= K/8=0.66。

2.4稳态误差2.4.1 系统的误差系数分析 位置误差系数 速度误差系数 加速度误差系数 2.4.2 系统的稳态误差分析 当输入为r（t）=1（t）时，稳态误差为e= 当输入为r（t）=2t时，稳态误差为e= 当输入为r（t）=t时，稳态误差为e= 则当输入为r(t)= r（t）+ r（t）+ r（t）时，总的稳态误差为 e= e+ e+ e=.2.5 用Matlab绘制单位阶跃响应曲线 系统的闭环传递函数为其分子系数为5.27，分母系数分别为1，6，8，5.27利用MATLAB程序可编以下程序： num=[5.27];den=[1 6 8 5.27];step(num,den)在MATLAB程序中输入此程序，运行后得到单位阶跃响应曲线如图3所示图3 单位阶跃响应曲线2.6绘制Bode图和Nyquist曲线，求取幅值裕度和相角裕度2.6.1 绘制Bode图 系统的开环传递函数为其分子系数为5.27，分母系数分别为1，6，8，0。

利用MATLAB程序可编以下程序：num=[5.27];den=[1 6 8 0];bode(num,den)在MATLAB程序中输入此程序，运行后得到Bode图如图4所示 图4 Bode图2.6.2绘制Nyquist曲线 系统的开环传递函数为可得其分子系数其分子系数为5.27，分母系数分别为1，6，8，0利用MATLAB程序可编以下程序：num= [5.27];den=[1 6 8 0];nyquist(num,den)在MATLAB程序中输入此程序，运行后得到Nyquist如图5所示其中Nyquist图与实轴的交点：将代入开环传递函数中，令虚部等于0，得到，此时曲线与负实轴的交点为（-0.11，j0） 图5 Nyquist曲线2.6.3 幅值裕度和相角裕度 系统的开环传递函数为可得其分子系数其分子系数为5.27，分母系数分别为1，6，8，0利用MATLAB程序可编以下程序：num= [5.27]；den=[1 6 8 0]；[mag,phase,w]=bode(num,den)；[gm,pm]=margin(mag,phase,w)在MATLAB程序中输入此程序并运行后得到结果，相角裕度和幅值裕度分别为: 。

2.7 系统加入非线性环节的稳定性分析2.7.1 非线性环节的描述函数的求取 由下图可知非线性环节为有死区的继电特性，其描述函数的推导过程为： 首先从死区与滞环继电非线性环节分析注意到滞环与输入信号及其变化率的关系，通过作图法获得如图6所示输出的数学表达式为mhhxyM00x图6死区滞环继电特性和正弦响应曲线图6中，由于非线性特性导致产生不同线性变化的区间端点为由图6可见，为奇对称函数，而非奇函数，由式，得到死区滞环继电特性的描述函数为取m=1,得死区继电特性的描述函数为 根据已知条件可得，,代入上式中可得到此非线性系统的描述函数： 2.7.2 负倒描述函数的求取 由死区继电特性的描述函数为取，则对求导数由极值条件的得解又当时，；当时，，故为N(A)的极大值点，极大值为所以可得到负倒函数的极大值负倒函数的极小值负倒函数曲线如图7所示0.11-0.65j0图7 系统的和曲线2.7.3 系统稳定性的判据及原理 由于要求G(s)具有低通特性，故其极点均应位于s的左半平面当非线性特性采用描述函数近似等效时，闭环系统的特征方程为即在复平面上绘制曲线和曲线时，曲线上箭头表示随A增大，的变化方向。

若曲线和曲线无交点，表明无的正实数解以下为两种可能形式a. 曲线包围曲线，对于非线性环节具有任一确定振幅A的正弦输入信号， （，j0）点被曲线包围，此时系统不稳定，A将增大，并最终使A增大到极限位置或使系统发生故障b. 曲线不包围曲线，对于非线性环节的具有任一确定振幅的正弦信号，点不被曲线包围，此时系统稳定A将减小，并最终使A减小为零或使非线性环节的输入值为某定值，或位于该定值附近较小的范围综上可得非线性环节系统的稳定性判据：若曲线不包围曲线，则非线性系统稳定；若曲线包围曲线，则非线性系统不稳定2.7.4 系统稳定性判断根据原系统的Nyquist图可知，图像与实轴交于（-0.11，j0）点，负倒函数的极大值为-0.65，如图7，此时曲线不包围曲线，所以非线性系统稳定结束语通过这次自动控制原理课程设计，我掌握并巩固了自动控制原理知识 ，这次我做的是一个三阶系统的综合分析和设计，主要完成的任务是绘制根轨迹﹑绘制单位阶跃响应﹑求稳态误差﹑绘制Bode图和Nyquist曲线﹑求幅值裕度和相角裕度以及加入非线性死区利用负倒描述函数和Nyquist曲线来判断系统的稳定性这些问题在课堂上老师大部分都讲过，但是做起课程设计时还是遇到了一点困难，对于加入非线性死区利用负倒描述函数和Nyquist曲线来判断系统的稳定性这方面我比较陌生。

但是通过翻阅资料，认真分析，我最终还是解决了问题在这次设计中，我不仅学会了用理论来分析检验实践，学到了关于MATLAB方面的很多知识，MATLAB它有着强大的数据处理能力，处理速度快，精度高，它不仅可以用来绘制曲线，而且可以用来帮助解方程，以及做仿真处理，帮助验证理论分析的真确性这次课程设计是对平时学习的一个检验，也学会了用实践来验证理论，总的来说，通过这次课程设计我受益匪浅参考文献[1]胡寿松.《自动控制原理（第五版）》.科学出版社[2]王万良.《自动控制原理》.高等教育出版社[3]胡寿松.《自动控制原理习题解析（第五版）》.科学出版社[4]薛定宇.《反馈控制系统设计与分析—MATLAB语言应用》.清华大学出版社[5]张静.《MATLAB在控制系统中的应用》，电子工业出版社，2007。