312775028天津市南开区高三第二次高考模拟考试理科数学试题及答案

南开区南开区 2014201420152015 学年度第二学期学年度第二学期高三年级总复习高三年级总复习质量检质量检测（二）测（二） 数数 学学 试试 卷（理工类）卷（理工类） 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部卷（非选择题）两部分共分共 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟第分钟第卷卷 1 1 至至 2 2 页，第页，第卷卷 3 3 至至 9 9 页页祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！第第 卷卷 注意事项：注意事项：1 1答第答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；试科目涂在答题卡上；2 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号标号3 3本卷共本卷共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分参考公式：参考公式：如果事件如果事件A A，B B互斥，那么互斥，那么 如果事件如果事件A A，B B相相互独立，那么互独立，那么P P( (A AB B) )=P=P( (A A) )+P+P( (B B) ) P P( (ABAB) )=P=P( (A A) )P P( (B B) )棱柱的体积公式棱柱的体积公式V V柱体柱体=Sh=Sh， 球的体积公式球的体积公式V V球球= = RR3 3，34其中其中S S表示棱柱的底面积表示棱柱的底面积， 其中其中R R表示球表示球的半径的半径h h表示棱柱的高表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的（1 1）设）设i i是虚数单位，则复数是虚数单位，则复数= =（ ） ii 65（A A）6 65 5i i （B B）6+56+5i i （C C）6+56+5i i （D D）6 65 5i i（2 2）已知命题）已知命题p p：x x1 1，x x2 2RR，( (f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1)()(x x2 2x x1 1) )00，则，则p p是（是（ ） （A A）x x1 1，x x2 2RR，( (f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1)()(x x2 2x x1 1)0)0 （B B）x x1 1，x x2 2RR，( (f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1)()(x x2 2x x1 1)0)0（C C）x x1 1，x x2 2RR，( (f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1)()(x x2 2x x1 1) )0 0（D D）x x1 1，x x2 2RR，( (f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1)()(x x2 2x x1 1) )0 0（3 3）某单位有）某单位有 840840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取名职工，现采用系统抽样方法，抽取 4242人做问卷调查，将人做问卷调查，将 840840 人按人按 1 1，2 2，840840 随机编号，则抽随机编号，则抽取的取的 4242 人中，编号落入区间人中，编号落入区间481481，720720的人数为（的人数为（ ） （A A）1010 （B B）1111 （C C）1212 （D D）1313（4 4）如图所示的程序框图表示求算式）如图所示的程序框图表示求算式“248163264”“248163264”的值，则判断框的值，则判断框内可以填入（内可以填入（ ） （A A）k k132?132? （B B）k k70?70?（C C）k k64?64? （D D）k k63?63?（5 5）已知双曲线已知双曲线C C：= =1 1 的焦距为的焦距为 1010，点，点P P (2(2，1)1)在在22xa22ybC C的渐近线上，则的渐近线上，则C C的方程为（的方程为（ ） （A A）= =1 1 （B B）= =1 1 220 x25y25x220y（C C）= =1 1 （D D）= =1 1280 x220y220 x280y（6 6）在）在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C所对的边分别是所对的边分别是a a，b b，c c，已知已知 8 8b=b=5 5c c，C=C=2 2B B，则，则 coscosC=C=（ ） （A A）725 （B B）725 （C C）725 （D D）2425（7 7）由曲线）由曲线y=xy=x2 2，y=y=围成的封闭图形的面积为（围成的封闭图形的面积为（ ） x（A A） （B B） 6131（C C） （D D）1 132（8 8）在）在ABCABC中，若中，若| |+ +| |= =| |ABACAB| |，AB=AB=2 2，AC=AC=1 1，E E，F F为为BCBC边的三等分点，则边的三等分点，则= =（ ACAEAF） （A A） （B B） 98910（C C） （D D）925926南开区南开区 2014201420152015 学年度第二学期学年度第二学期高三年级总复习高三年级总复习质量检质量检测（二）测（二） 答答 题题 纸纸（理工类）（理工类） 三三题题 号号二二(15(15) )(16(16) )(17(17) )(18(18) )(19(19) )(20(20) )总分总分得得 分分第第 卷卷注意事项：注意事项：1 1用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2 2本卷共本卷共 1212 小题，共小题，共 110110 分分得得 分分评卷评卷人人二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 个小题，每个小题，每小题小题 5 5 分，共分，共 3030 分请将答案填分请将答案填在题中横线上。

在题中横线上9 9）若集合）若集合A=A= x x|2|2x+x+1 100，B=B= x x|x x1|21|2，则，则A AB=B= （1010）( (x x2 2 ) )6 6的展开式中的展开式中x x3 3的系数为的系数为x1_（1111）一个几何体的三视图如图所示（单位：）一个几何体的三视图如图所示（单位：m m） ，则该几何体的体积为，则该几何体的体积为 m m3 3（1212）已知圆的极坐标方程为）已知圆的极坐标方程为=4cos4cos，圆心为，圆心为C C，点，点P P的的极坐标为极坐标为(4(4， ) )，则，则| |CPCP| |= = 3（1313）如图，）如图，C C是以是以ABAB为直径的半圆为直径的半圆O O上的一点，过上的一点，过C C的直的直线交线交31363223侧 侧 侧侧 侧 侧侧 侧 侧直线直线ABAB于于E E，交过，交过A A点的切线于点的切线于D D，BCBCODOD若若AD=AB=AD=AB=2 2，则则EB=EB= （1414）已知函数）已知函数f f( (x x) )= =，若有三个不同的实，若有三个不同的实)(log0)2cos(2015，xxxx数数a a，b b，c c，使得，使得f f( (a a) )= =f f( (b b) )= =f f( (c c) )，则，则a+b+ca+b+c的取值范围为的取值范围为 三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 6 6 个小题，共个小题，共 8080 分解答应写出文分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）字说明，证明过程或演算步骤）得得 分分评卷评卷人人（1515） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分）已知函数已知函数f f( (x x) )= =sin(2sin(2x+x+) )+ +6sin6sinx xcoscosx x242cos2cos2 2x x+1+1，x xRR（）求）求f f( (x x) )的最小正周期；的最小正周期；（）求）求f f( (x x) )在区间在区间00， 上的最大值和最小值上的最大值和最小值2得得 分分评卷评卷人人（1616） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分）某商场举行的某商场举行的“三色球三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有摸奖者先从装有 3 3 个红球与个红球与 4 4 个白球的袋中任意摸出个白球的袋中任意摸出 3 3 个球，个球，再从装有再从装有 1 1 个蓝球与个蓝球与 2 2 个白球的袋中任意摸出个白球的袋中任意摸出 1 1 个球，根据个球，根据摸出摸出 4 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖奖摸出红摸出红. .蓝蓝获奖获奖级级球个数球个数金额金额一等一等奖奖3 3 红红 1 1 蓝蓝200200 元元二等二等奖奖3 3 红红 0 0 蓝蓝5050 元元三等三等奖奖2 2 红红 1 1 蓝蓝1010 元元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（）求一次摸奖恰好摸到）求一次摸奖恰好摸到 1 1 个红球的概率；个红球的概率；（）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X X的分布列与期望的分布列与期望E E( (X X ) ) 得得 分分评卷评卷人人（1717） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分）如图，在四棱锥如图，在四棱锥P P- -ABCDABCD中，底面中，底面ABCDABCD是矩形，是矩形，PAPA平面平面ABCDABCD，PA=AD=PA=AD=4 4，AB=AB=2 2若若M M，N N分别为棱分别为棱PDPD，PCPC上的点，上的点，O O为为ACAC的中点，且的中点，且AC=AC=2 2OM=OM=2 2ONON（）求证：平面）求证：平面ABMABM平面平面PCDPCD； （）求直线）求直线CDCD与平面与平面ACMACM所成的角的正弦值；所成的角的正弦值；（）求点）求点N N到平面到平面ACMACM的距离的距离得得 分分评卷评卷人人（1818） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分）已知椭圆已知椭圆C C：（a ab b0 0） ，其中，其中e=e=，焦距为，焦距为 2 2，过，过12222byax21点点M M(4(4，0)0)的直线的直线l l与椭圆与椭圆C C交于点交于点A A，B B，点，点B B在在AMAM之之间又点间又点A A，B B的中点横坐标为的中点横坐标为 ，且，且=74AMMB（）求椭圆）求椭圆C C的标准方程；的标准方程； （）求实数）求实数的值的值得得 分分评卷评卷人人（1919） （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）在等比数列在等比数列 a an n 中，已知中，已知a a1 1= =2 2，且，且a a2 2，a a1 1+a+a3 3，a a4 4成等差数成等差数列列（）求数列）求数列 a an n 的通项公式的通项公式a an n；（）设数列）设数列 a an n2 2a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，记，记b bn n= =，求证：，求证：nnS2数列数列 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n ；23南开区南开区 2014201420152015 学年度第二学期学年度第二学期高三年级总复习高三年级总复习质量检质量检测（二）测（二） 数学试卷（理工类）参考答案数学试卷（理工类）参考答案 一、选择题：一、选择题：题题 号号（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）（7 7）（8 8）答答 案案 D D C C C C B B A A A A B B B B二、填空题：二、填空题： （9 9）( ( ，33； （1010）2020； 21（1111）18+918+9； （1212）； （1313） ； （1414）2 332( (2 2，20162016) )三、解答题：（其他正确解法请比照给分）三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（1515）解解：（）f f( (x x) )= =sin2sin2x xcoscos 24cos2cos2x xsinsin+ +3sin23sin2x xcos2cos2x x24= =2sin22sin2x x2 2cos2cos2x=x=2 2sin(2sin(2x x ) ) 2466 分分所以所以，f f( (x x) )的最小正周期的最小正周期T=T= 2277 分分（）因为因为f f( (x x) )在区间在区间00， 上是增函数上是增函数，在区间在区间 83， 上是减函数上是减函数832又又f f(0)(0)= =2 2，f f( () )= =2 2，f f( ( ) )= =2 2，8322故函数故函数f f( (x x) )在区间在区间00， 上的最大值为上的最大值为 2 2，最小，最小22值为值为= =2 21313 分分（1616）解：设）解：设A Ai i表示摸到表示摸到i i个红球，个红球，B Bj j表示摸到表示摸到j j个蓝球，个蓝球，则则A Ai i（i=i=0 0，1 1，2 2，3 3）与）与B Bj j（j=j=0 0，1 1）相互独立）相互独立（）恰好摸到）恰好摸到 1 1 个红球的概率为个红球的概率为P P( (A A1 1) )= = = 372413CCC351844 分分（）X X的所有可能值为：的所有可能值为：0 0，1010，5050，200200， P P( (X=X=200200) )=P=P( (A A3 3B B1 1) )=P=P( (A A3 3) )P P( (B B1 1) )= = =，3733CC311051P P( (X=X=5050) )=P=P( (A A3 3B B0 0) )=P=P( (A A3 3) )P P( (B B0 0) )= = =，3733CC321052P P( (X=X=1010) )=P=P( (A A2 2B B1 1) )=P=P( (A A2 2) )P P( (B B1 1) )= = = =，371423CCC3110512354P P( (X=X=0 0) )= =1 1= = 10511052354761111 分分所以所以X X的分的分布列为布列为所以所以X X的数学期望的数学期望E E( (X X) )= =00+ +1010+ +5050+ +200200= =4 41313 分分7635410521051（1717）解：（）解：（）依题设知，）依题设知，AC=AC=2 2OMOM，则，则AMAMMCMC又因为又因为PAPA平面平面ABCDABCD，则，则PAPACDCD，又，又CDCDADAD，所以所以CDCD平面平面PADPAD，则，则CDCDAMAM，所以所以AMAM平面平面PCDPCD，所以平面所以平面ABMABM平面平面PCDPCD 44 分分X X0 01010505020200 0P P7635410521051（）如图所示，建立空间直角坐标系，）如图所示，建立空间直角坐标系，则则A A(0(0，0 0，0)0)，P P(0(0，0 0，4)4)，B B(2(2，0 0，0)0)，C C(2(2，4 4，0)0)，D D(0(0，4 4，0)0)，M M(0(0，2 2，2)2)；设平面设平面ACMACM的一个法向量的一个法向量n=n=( (x x，y y，z z) )，由由n n，n n可得：可得：240220 xyyz，ACAM令令z=z=1 1，则，则n=n=(2(2，1 1，1)1)设所求角为设所求角为，则，则6sin3CD nCD n 99 分分 （）由条件可得，）由条件可得，ANANNCNC设设= =(2(2，4 4，4 4) )，则，则PNPC= =+ += =(2(2，4 4，4 44 4) )，ANAPPN所以所以= =(2(2，4 4，4 44 4) )(2(2，4 4，4)4)= =3636ANPC1616= =0 0解得解得= = ，所以，所以=(=( ，) )，94AN98916920设点设点N N到平面到平面ACMACM距离为距离为h h，则，则h=h= = |nnAN 276101313 分分（1818）解：）解：（）由条件可知，）由条件可知，c=c=1 1，a=a=2 2，故，故b b2 2=a=a2 2c c2 2=3=3，椭圆的标准方程是椭圆的标准方程是 13422yx44 分分zyxNODMCBPA（）由）由=，可知，可知A A，B B，M M三点共线，三点共线，AMMB设点设点A A( (x x1 1，y y1 1) )，点，点B B( (x x2 2，y y2 2) )若直线若直线ABABx x轴，则轴，则x x1 1=x=x2 2=4=4，不合题意，不合题意 55 分分当当ABAB所在直线所在直线l l的斜率的斜率k k存在时，设直线存在时，设直线l l的方程的方程为为y=ky=k( (x x4 4) )由由消去消去y y得，得，( (3+43+4k k2 2) )x x2 23232k k2 2x+x+6464k k2 21243)4(22yxxky12=012=0 77 分分由由的判别式的判别式=32=322 2k k4 44 4( (4 4k k2 2+3+3)()(6464k k2 21212) )=144=144( (1 14 4k k2 2) )0 0，解得，解得k k2 2 ，41x x1 1+x+x2 2= =，x x1 1x x2 2= = 343222kk34126422kk9 9 分分由由= = =，可得可得k k2 2= =，即有即有k=k= 221xx 341622kk7481421010 分分将将k k2 2= =代入方程代入方程，得，得 7 7x x2 28 8x x8=08=0，81则则x x1 1= =，x x2 2= = 726472641111 分分又因为又因为= =(4(4x x1 1，y y1 1) )，= =( (x x2 24 4，y y2 2) )，=AMMBAM，MB所以所以= = 4421xx72491313 分分（1919）解：）解：（）设等比数列的公比为）设等比数列的公比为q q，由已知得：，由已知得：2(2(a a1 1+a+a3 3) )=a=a2 2+a+a4 4，即即 2(2(a a1 1+a+a1 1q q2 2) )= =a a1 1q+q+a a1 1q q3 3，解得，解得q=q=2 2，又又a a1 1= =2 2，a an n= =a a1 1q qn n1 1=2=2n n； 55 分分（）由由（）得得：S Sn n= =( (a a1 12 2+a+a2 22 2+a+a3 32 2+ +a+an n2 2) )( (a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an n) ) = =( (4 4+ +4 42 2+ +4 43 3+ + +4 4n n) )( (2 2+ +2 22 2+ +2 23 3+ + +2 2n n) )= = =( (2 2n n1 1)()(2 2n+n+1 11 1) ) 41)41 (4n21)21 (2n3299 分分b bn n= = =( () ) nnS223121n1211n1111 分分T Tn n= =( (+ + + + +231211121212121213121312141211n121n+ +) )121n1211n= =( (1 1) ) 231211n231414 分分（2020）解解：（）由由ff( (x x) )= =a a0 0 即即 a a对对x x(1(1，+ +)恒恒x1x1成立，成立， max1xa而由而由x x(1(1，+ +)知知 1 1，a a1 1 x1由由gg( (x x) )=e=ex xa a令令gg( (x x) )= =0 0 则则x=x=lnlna a 当当x xlnlna a时，时，gg( (x x) )0 0，g g( (x x) )在在( (，lnlna a) )单调递单调递减，减，当当x xlnlna a时，时，gg( (x x) )0 0，g g( (x x) )在在(ln(lna a，+ +)单调递单调递增，增，g g( (x x) )在在(1(1，+ +)上有最小值，上有最小值， lnlna a1 1，a ae e 综上所述：综上所述：a a的取值范围为的取值范围为( (e e，+ +) 44 分分（）g g( (x x) )在在( (1 1，+ +)上是单调增函数，上是单调增函数， gg( (x x) )=e=ex xa a0 0 即即a ae ex x对对x x( (1 1，+ +)恒成立，恒成立，a a( (e ex x) )minmin，而当，而当x x( (1 1，+ +)时，时，e ex x ，a ae1 66 分分e1f f( (x x) )的零点个数的零点个数f f( (x x) )= =lnlnx xax=ax=0 0 的根的个数的根的个数 a=a=的根的个数，的根的个数，xxln设设h h( (x x) )= =，则，则hh( (x x) )= =，xxln2ln1xx当当x xe e时，时，hh( (x x) )0 0，h h( (x x) )在在( (e e，+ +)单调递减，单调递减，且且h h( (x x) )0 0，当当x xe e时，时，hh( (x x) )0 0，h h( (x x) )在在(0(0，e e) )单调递增，单调递增，且当且当x x趋向于趋向于 0 0 时，时，h h( (x x) )趋向于趋向于， h h( (x x) )h h( (e e) )= =，e1当当a a00 或或a=a=时，时，f f( (x x) )的零点个数为的零点个数为 1 1；e1当当 0 0a a 时，时，f f( (x x) )的零点个数为的零点个数为 2 2 e199 分分（）证明：设）证明：设( (x x) )= =，则，则( (x x) )= =，xexxex1当当x x1 1 时，时，( (x x) )0 0，( (x x) )在在(1(1，+ +)单调递减，单调递减，且且( (x x) )0 0，当当x x1 1 时，时，( (x x) )0 0，( (x x) )在在( (，1)1)单调递增，单调递增， ( (x x) )(1)(1)= =，e1由题意可知由题意可知 ，有，有( (x x1 1) )=( (x x2 2) )，即即a ae e时，时，a1e1g g( (x x) )有两个零点有两个零点x x1 1，x x2 2设设( (x x) )=(2(2x x) )= =(2(2x x) )e ex x2 2，下证当，下证当x x1 1 时，时，( (x x) )( (x x) )设设F F( (x x) )=( (x x) )( (x x) )= =(2(2x x) )e ex x2 2（x x1 1） ，xexFF( (x x) )= =+x+xe ex x2 2+ +( (x x2)2)e ex x2 2= =( (x x1)(21)(2e ex x2 2 xex1) )0 0，xe1F F( (x x) )在在(1(1，+ +)单调递增，单调递增，F F( (x x) )F F(1)(1)= =0 0，即，即( (x x) )( (x x) )不妨设不妨设x x1 11 1x x2 2，可知，可知( (x x2 2) )( (x x2 2) )，则，则( (x x2 2) )=(2(2x x2 2) )，所以所以(2(2x x2 2) )( (x x2 2) )，从而从而( (x x1 1) )(2(2x x2 2) ). .因为因为x x2 21 1，所以，所以 2 2x x2 21 1，又又函数函数( (x x) )在区间在区间( (，1)1)单调递增，单调递增，所以所以x x1 12 2x x2 2，即，即x x1 1+x+x2 22 2 1414 分分得得 分分评卷评卷人人（2020） （本小题满分（本小题满分 1414 分）分）设函数设函数f f( (x x) )= =lnlnx xaxax，g g( (x x) )=e=ex xaxax，其中，其中a a为实数为实数（）若）若f f( (x x) )在在(1(1，+ +)上是单调减函数，且上是单调减函数，且g g( (x x) )在在(1(1，+ +)上有最小值，求上有最小值，求a a的取值范围；的取值范围；（）若）若g g( (x x) )在在( (1 1，+ +)上是单调增函数，试求上是单调增函数，试求f f( (x x) )的零的零点个数，并证明你的结论点个数，并证明你的结论（）若）若 g(g(x x) )有两个零点有两个零点x x1 1、x x2 2，证明，证明x x1 1+ +x x2 22.2.。