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《弹性地基梁理论》PPT课件

文档格式:PPT| 47 页|大小 1.58MB|积分 15|2021-05-02 发布|文档ID:21488836
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  • 弹 性 地 基 梁 理 论 本 讲 内 容 弹 性 地 基 梁 理 论概 述弹 性 地 基 梁 的 计 算 模 型弹 性 地 基 梁 的 挠 度 曲 线 微 分 方 程 及 其 初参 数 解弹 性 地 基 梁 短 梁 、 长 梁 及 刚 性 梁算 例 1 . 概 述定 义 :弹 性 地 基 梁 , 是 指 搁 置 在 具 有 一 定 弹 性 地 基 上 , 各 点 与地 基 紧 密 相 贴 的 梁 如 铁 路 枕 木 、 钢 筋 混 凝 土 条 形 基 础梁 , 等 等 通 过 这 种 梁 , 将 作 用 在 它 上 面 的 荷 载 , 分 布 到 较 大 面 积的 地 基 上 , 既 使 承 载 能 力 较 低 的 地 基 , 能 承 受 较 大 的 荷载 , 又 能 使 梁 的 变 形 减 小 , 提 高 刚 度 降 低 内 力 地 下 建 筑 结 构 弹 性 地 基 梁 可 以 是 平 放 的 , 也 可 以 是 竖 放的 , 地 基 介 质 可 以 是 岩 石 、 粘 土 等 固 体 材 料 , 也 可 以 是水 、 油 之 类 的 液 体 介 质 弹 性 地 基 梁 是 超 静 定 梁 , 其 计算 有 专 门 的 一 套 计 算 理 论 。

    1 . 荷 载 种 类 和 组 合弹 性 地 基 梁 与 普 通 梁 的 区 别 :普 通 梁 只 在 有 限 个 支 座 处 与 基 础 相 连 , 梁 所 受 的 支 座 反 力 是 有限 个 未 知 力 , 因 此 , 普 通 梁 是 静 定 的 或 有 限 次 超 静 定 的 结 构 弹 性 地 基 梁 与 地 基 连 续 接 触 , 梁 所 受 的 反 力 是 连 续 分 布 的 , 弹性 地 基 梁 具 有 无 穷 多 个 支 点 和 无 穷 多 个 未 知 反 力 弹 性 地 基 梁 是 无 穷 多 次 超 静 定 结 构 超 静 定 次 数 是 无 限 还 是 有 限 ,这 是 它 们 的 一 个 主 要 区 别 普 通 梁 的 支 座 通 常 看 作 刚 性 支 座 , 弹 性 地 基 梁 则 必 须 同 时 考 虑地 基 的 变 形 一 方 面 梁 给 地 基 以 压 力 , 使 地 基 沉 陷 , 反 过 来 ,地 基 给 梁 以 相 反 的 压 力 , 限 制 梁 的 位 移 而 梁 的 位 移 与 地 基 的 沉 陷 在 每 一 点 又 必 须 彼 此 相 等 , 才 能 满 足 变 形 连 续 条 件 。

    地 基 的 变 形 是 考 虑 还 是 略 去 , 这 是 它 们 的 另 一 个 主 要 区 别 2 . 弹 性 地 基 梁 的 计 算 模 型计 算 模 型 分 类 :. 由 于 地 基 梁 搁 置 在 地 基 上 , 梁 上 作 用 有 荷 载 , 地 基 梁 在 荷 载 作用 下 与 地 基 一 起 产 生 沉 陷 , 因 而 梁 底 与 地 基 表 面 存 在 相 互 作 用 反 力 ,的 大 小 与 地 基 沉 降 y 有 密 切 关 系 , 很 显 然 , 沉 降 越 大 , 反 力 也 越大 , 因 此 在 弹 性 地 基 梁 的 计 算 理 论 中 关 键 问 题 是 如 何 确 定 地 基 反 力与 地 基 沉 降 之 间 的 关 系 , 或 者 说 如 何 选 取 弹 性 地 基 的 计 算 模 型 问 题 1. 局 部 弹 性 地 基 模 型2. 半 无 限 体 弹 性 地 基 模 型 1. 局 部 弹 性 地 基 模 型 1867年 前 后 , 温 克 尔 ( E.Winkler) 对 地 基 提 出 如 下 假 设 :地 基 表 面 任 一 点 的 沉 降 与 该 点 单 位 面 积 上 所 受 的 压 力 成 正 比 。

    即 kpy 式 中 ,y 为 地 基 的 沉 陷 , m ; k 为 地 基 系 数 , , 其 物 理 意 义 为 :使 地 基 产 生 单 位 沉 陷 所 需 的 压 强 ; p为 单 位 面 积 上 的 压 力 强 度 , 这 个 假 设 实 际 上 是 把 地 基 模 拟 为 刚 性 支 座 上 一 系 列 独 立 的 弹 簧 当 地基 表 面 上 某 一 点 受 压 力 p时 , 由 于 弹 簧 是 彼 此 独 立 的 , 故 只 在 该 点 局部 产 生 沉 陷 y, 而 在 其 他 地 方 不 产 生 任 何 沉 陷 因 此 , 这 种 地 基 模 型称 作 局 部 弹 性 地 基 模 型 mkpa / akp 弹 性 底 座图 3.1 局 部 弹 性 地 基 模 型 ( 3.1) 优 点 : 可 以 考 虑 梁 本 身 的 实 际 弹 性 变 形 , 消 除 了 反 力 直 线 分 布 假 设 中 的 缺 点 1. 局 部 弹 性 地 基 模 型缺 点 : p没 有 反 映 地 基 的 变 形 连 续 性 , 当 地 基 表 面在 某 一 点 承 受 压 力 时 , 实 际 上 不 仅 在 该 点 局部 产 生 沉 陷 , 而 且 也 在 邻 近 区 域 产 生 沉 陷 。

    由 于 没 有 考 虑 地 基 的 连 续 性 , 故 温 克 尔 假 设不 能 全 面 地 反 映 地 基 梁 的 实 际 情 况 , 特 别 对于 密 实 厚 土 层 地 基 和 整 体 岩 石 地 基 , 将 会 引起 较 大 的 误 差 p但 是 , 如 果 地 基 的 上 部 为 较 薄 的 土 层 , 下部 为 坚 硬 岩 石 , 则 地 基 情 况 与 图 中 的 弹 簧 模型 比 较 相 近 , 这 时 将 得 出 比 较 满 意 的 结 果 图 3.2 弹 性 地 基 梁 的 受 力 和 变 形 2. 半 无 限 体 弹 性 地 基 模 型 把 地 基 看 作 一 个 均 质 、 连 续 、 弹 性 的 半 无 限 体 ( 半 无 限 体 是 指 占 据 整个 空 间 下 半 部 的 物 体 , 即 上 表 面 是 一 个 平 面 , 并 向 四 周 和 向 下 方 无 限延 伸 的 物 体 ) 优 点 : 缺 点 : 一 方 面 反 映 了 地 基 的 连 续 整 体 性 , 另 一 方 面 又 从 几 何 上 、 物 理 上 对 地 基 进 行 了简 化 , 可 以 把 弹 性 力 学 中 有 关 半 无 限 弹 性 体 这 个 古 典 问 题 的 已 知 结 论 作 为 计 算的 基 础 。

    其 中 的 弹 性 假 设 没 有 反 映 土 体 的 非 弹 性 性 质 , 均 质 假 设 没 有 反 映 土 体 的 不 均 匀 性 , 半 无 限 体 的 假 设 没 有 反 映 地 基 的 分 层 特 点 等 此 外 , 这 个 模 型 在 数 学 处 理上 比 较 复 杂 , 因 而 在 应 用 上 也 受 到 一 定 的 限 制 本 章 所 讨 论 的 弹 性 地 基 梁 计 算 理 论 采 用 局 部 弹 性 地 基 模 型 3.弹 性 地 基 梁 的 挠 度 曲 线 微 分 方 程式 及 其 初 参 数 解 基 本 假 设 :除 局 部 弹 性 地 基 模 型 假 设 外 , 还 需 作 假 设 :( 1 ) 地 基 梁 在 外 荷 载 作 用 下 产 生 变 形 的 过 程 中 , 梁 底 面 与 地 基表 面 始 终 紧 密 相 贴 , 即 地 基 的 沉 陷 或 隆 起 与 梁 的 挠 度 处 处 相 等 ;( 2 ) 由 于 梁 与 地 基 间 的 摩 擦 力 对 计 算 结 果 影 响 不 大 , 可 以 略 去不 计 , 因 而 , 地 基 反 力 处 处 与 接 触 面 相 垂 直 ; ( 3 ) 地 基 梁 的 高 跨 比 较 小 , 符 合 平 截 面 假 设 , 因 而 可 直 接 应 用材 料 力 学 中 有 关 梁 的 变 形 及 内 力 计 算 结 论 。

    1.弹 性 地 基 梁 的 挠 度 曲 线 微 分 方 程 式 图 3.3 弹 性 地 基 梁 的 微 元 分 析 左 图 所 示 为 局 部 弹 性 地 基 梁上 的 长 为 l、 宽 度 b为 单 位 宽 度 1的等 截 面 直 梁 , 在 荷 载 及 Q作 用下 , 梁 和 地 基 的 沉 陷 为 , 梁 与地 基 之 间 的 反 力 为 在 局 部 弹 性 地 基 梁 的 计 算 中 ,通 常 以 沉 陷 函 数 作 为 基 本 未 知量 , 地 基 梁 在 外 荷 载 、 Q作用 下 产 生 变 形 , 最 终 处 于 平 衡 状态 , 选 取 坐 标 系 xoy, 外 荷 载 , 地基 反 力 , 梁 截 面 内 力 及 变 形 正 负号 规 定 如 右 图 所 示 xq xy x xy xq 1.弹 性 地 基 梁 的 挠 度 曲 线 微 分 方 程 式 为 建 立 应 满 足 的 挠 曲 微 分 方 程 , 在 梁 中 截 取 一 微 段 , 考 察 该 段的 平 衡 有 : xy xd0)( )( xx dqkydxdQQQ 得 : 0M 2)()()( 2)( dxqddQQdMMM xx 02)( 2 dxdxdMQ xqkydxMddxdQ 22 ,0Y 得 : )(xqkydxdQ 化 简 得 : 将 上 式 对 于 x求 导 得 :略 去 二 阶 微 量 得 : ( 3.2) ( 3.3) ( 3.4) 图 3.3 弹 性 地 基 梁 的 微 元 分 析 如 果 梁 的 挠 度 已 知 , 则 梁 任 意 截 面 的 转 角 Q, 弯 矩 M, 剪 力 Q可 按 材 料力 学 中 的 公 式 来 计 算 , 即 :1.弹 性 地 基 梁 的 挠 度 曲 线 微 分 方 程 式 22332 42 444 3.53.5 , , 3.4 3.6x dydx d d yM EI EIdx dxdM d yQ EIdx dxd M d yEIdx dxd yEI ky qdx 由 式 有 代 入 式 得此 即 为 弹 性 地 基 梁 的 挠曲 微 分 方 程 式 令 , 若 地 基 梁 宽 度 为 b, 则 有 2. 对 应 齐 次 微 分 方 程 的 通 解 上 面 推 导 得 弹 性 地 基 梁 的 挠 曲 微 分 方 程 式 是 一 个 四 阶 常 系 数 线 性 非齐 次 微 分 方 程 , 令 式 中 oqx , 即 得 对 应 齐 次 微 分 方 程 :044 kydxydEI由 微 分 方 程 理 论 知 , 上 述 方 程 的 通 解 由 四 个 线 性 无 关 的 特 解 组 合 而 成 。

    为寻 找 四 个 线 性 无 关 的 特 解 , 令 rxey 并 代 入 上 式 有 :EIK4 或 sincos4 iEIK由 复 数 开 方 根 公 式 得 : 3,2,1,0 42sin424 kkikCOSEIKrk 是 与 梁 和 地 基 的 弹 性 性 质 相 关 的 一 个 综 合 参 数 , 反 映 了 地 基 梁 与 地 基的 相 对 刚 度 , 对 地 基 梁 的 受 力 特 性 和 变 形 有 重 要 影 响 , 通 常 把 称 为 特 征 系 数 , 称 为 换 算 长 度 ( 3.7)( 3.8)( 3.9)4 4EIkb 2. 对 应 齐 次 微 分 方 程 的 通 解 由 上 式 ( 3.8) , 分 别 令 时 k=1,2,3时 , 即 可 得 四 个 线 性 无 关 的 特 解 , 将 其 进 行组 合 并 引 入 四 个 积 分 常 数 , 即 得 齐 次 微 分 方 程 式 ( 3.7) 的 通 解 ; xAxAexAxAey xx sincossincos 4321 利 用 双 曲 函 数 关 系 : ,x xe ch x sh x e ch x sh x 且 令 424213 322211 21,21 21,21 BBABBA BBABBA 则 有 xxshBxxshBxxchBxxchBy sincossincos 4321 式 中 B1、 B2、 B3、 及 B4均 为 待 定 积 分 常 数式 ( 3.10) 和 式 ( 3.11) 均 为 微 分 方 程 ( 3.7) 的 通 解 , 在 不 同的 问 题 中 , 有 各 自 不 同 的 方 便 之 处 。

    ( 3.10)( 3.11) ( 一 ) 初 参 数 法 3. 初 参 数 解 由 式 ( 3.11) , 再 据 式 ( 3.5) 有 xxshxxchBxxshxxchB xxshxxchBxxshxxchBEIQ xxchBxxchBxxshBxxshBEIM xxchxxshBxxchxxshB xxshxxchBxxshxxchB xxshBxxshBxxchBxxchBy cossinsincos sincoscossin2 cossincossin2 sincoscossin sincoscossin2 sincossincos 43 213 43212 43 21 4321 ( 3.12) 式 ( 3.12) 中 积 分 常 数 B1、 B2、 B3、 B4的 确 定 是 一 个 重 要 环 节 , 梁 在 任 一截 面 都 有 四 个 参 数 量 , 即 挠 度 y、 转 角 、 弯 矩 M、 剪 力 Q、 而 初 始 截 面( x=o) 的 四 个 参 数 、 、 、 就 叫 做 初 参 数 oy o oM oQ 用 初 参 数 法 计 算 了 弹 性 地 基 梁 的 基 本 思 路 是 , 把 四 个 积 分 常 数 改用 四 个 初 参 数 来 表 示 , 这 样 做 的 好 处 是 :l使 积 分 常 数 具 有 明 确 的 物 理 意 义 ;l根 据 初 参 数 的 物 理 意 义 来 寻 求 简 化 计 算 的 途 径 。

    3. 初 参 数 解 ( 二 ) 用 初 参 数 表 示 积 分 常 数 如 图 3.4所 示 , 梁 左 端 的 四 个 边 界条 件 ( 初 参 数 ) 为 ox ox ox ox QoQ MoM o yoy ( 3.13) 将 上 式 代 入 式 ( 3.12) , 解 出积 分 常 数 得 : o oo ooo MEIB QEIB QEIB yB 34 33 321 2 1 4 121 4 121 ( 3.14) 3. 初 参 数 解 再 将 式 ( 3.14) 代 入 式 ( 3.12) , 并 注 意 , 则 有4 4EIkb 143322 214332 322314 43221 42 2142 22221 oooo oooo oooo oooo QMbkbkyQ QMbkbkyM bkQbkMy bkQbkMyy ( 3.15) 3. 初 参 数 解 xxshxxch xxsh xxshxxch xxch cossinsin cossincos4321 34 23 12 41 22 dddddddd 其 中 、 、 、 称 为 双 曲 线 三 角 函 数 , 它 们 之 间 有 如 下 微 分 关 系 :1 2 3 4 u式 ( 3 .1 5 ) 即 为 用 初 参 数 表 示 的 齐 次 微 分 方 程 的 ;,u该 式 的 一 个 显 著 优 点 是 式 中 每 一 项 都 具 有 明 确 的 物 理意 义 ;u如 式 ( 3 .1 5 ) 中 的 第 一 式 中 , 表 示 当 原 点 有 单 位 挠度 ( 其 他 三 个 初 参 数 均 为 零 ) 时 梁 的 挠 度 方 程 , u 122 表 示 原 点 有 单 位 转 角 时 梁 的 挠 度 方 程 , 等 等 ;u 另 一 个 显 著 优 点 是 , 在 四 个 待 定 常 数 、 、 、 中 有 两 个 参 数 可 由 原 点 端 的 两 个 边 界 条 件 直 接 求 出 , 另两 个 待 定 初 参 数 由 另 一 端 的 边 界 条 件 来 确 定 。

    这 样 就 使确 定 参 数 的 工 作 得 到 了 简 化 表 3.1列 出 了 实 际 工 程 中常 遇 到 的 支 座 形 式 反 荷 载 作 用 下 梁 端 参 数 的 值 oyo oM oQ 3. 初 参 数 解 3. 初 参 数 解 式 ( 3.7) 等 价 于 地 基 梁 仅 在 初 参 数 作 用 下 的 挠 曲 微 分 方 程 , 式 ( 3.6) 等价 于 地 基 梁 既 有 初 参 数 作 用 , 又 有 外 荷 载 作 用 的 挠 曲 微 分 方 程 , 其 特 解 项 就 是仅 在 外 荷 载 作 用 下 引 起 的 梁 挠 度 的 附 加 项 下 面 根 据 梁 上 作 用 的 各 种 形 式 荷 载分 别 加 以 讨 论 4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 ( 一 ) 集 中 荷 载 作 用 的 特 解 项1、 集 中 力 作 用 的 特 解 项 如 图 3.5为 一 弹 性 地 基 梁 , O端 作 用 有 初 参 数 、 、 、 , A点 有集 中 力 p 设 y 1为 OA段 的 挠 度 表 达 式 , y2为 AB段 的 挠 度 表 达 式 , 由 梁 上 无分 布 荷 载 作 用 , 故 OA和 AB段 的 挠 曲 微 分 方 程 分 别 为 oyo oM oQ图 3.5 集 中 力 作 用 于 地 基 梁 4 41 144 42 24 4 3.164 3.16d y y o adxd y y o bdx 4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 其 中 pxxx 式 ( 3.16a) 的 解 可 用 梁 端 初 参 数 来 表 示 , 即 432211 221 bkQbkMyy oooo ( 3.17) 式 ( 3.16b) 的 解 可 用 初 参 数 作 用 下 的 解 y1与 集 中 力 pi单 独 作 用 下 引起 的 附 加 项 叠 加 , 即 将 式 ( 3.18) 代 入 式 ( 3.16b) , 并 注 意 式 ( 3.16a) 有ypyy 12oyxd ypd p 444 4 ( 3.19) 比 较 式 ( 3.16a) 和 式 ( 3.16b) 知 , 式 ( 3.19) 解 的 形 式 与 式 ( 3.17) 相 同 ,不 同 之 处 是 将 x换 为 , 四 个 初 参 数 应 解 释 为 处 的 突 变 挠 度 , 转角 , 弯 矩 , 剪 力 , 故 有 x pxx 1Ay1A 1AM 1AQ pApA pApAp xxbkQxxbkM xxxxyy 41321 21112 21 ( 3.20) 4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 由 A点 的 变 形 连 续 条 件 和 受 力 情 况 有1 1 1 1,A A Ay MA o Q pi 代 入 式 ( 3.20) ,并 据 式 ( 3.5) 得 pxxp xxp xxp xxp xxpiQ piM bkpibkpiy p p pp 1 232 422 ( 3.21) 当 时 , 取 特 解 项 为 零 。

    xpx 4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 2、 集 中 力 偶 mi作 用 的 特 解 项 由 pi作 用 下 特 解 项 的 推 导 结 果 可 知 ,挠 度 附 加 项 形 式 与 初 参 数 Q 作 用 下 的 挠度 相 同 , 只 是 坐 标 起 点 与 符 号 不 同 同 理 ,在 集 中 力 偶 mi作 用 下 挠 度 附 加 项 与 初 参 数M 作 用 下 挠 度 也 具 有 相 同 的 形 式 , 如 图3.6所 示 , Mo=Mi, 故 有 mxxm xxm xxm xxm xxmiQ miM bkmibkmy mm m m 41 23 3222当 时 , 取 特 解 项 为 零 mxx 4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 ( 二 ) 分 布 荷 载 作 用 下 的 特 解 项 分 布 荷 载 可 分 解 成 多 个 集 中 力 , 按 集 中 力 求 特 解 项 , 为 此 , 在 x截 面 左边 , 离 端 点 的 距 离 为 u处 取 微 段 du, 微 段 上 荷 载 为 qdu, 此 微 荷 载 在 它 右 边的 截 面 x处 引 起 的 挠 度 特 解 项 为 ( 如 图 3.7)而 x截 面 以 左 所 有 荷 载 引 起 的 特 解 项 为 uxbkqdudy 42 2 duuxxxq a bkqy 42 ( 3-23)下 面 讨 论 分 布 荷 载 的 几 种 特 殊 情 况 。

    4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 1、 均 布 荷 载 如 图 3.7, 荷 载 均 布 于 ab段 , 对 于 oa段 显 然 没 有 附 加 项 , 当 时 ,积 分 限 是 , 由 式 ( 3.23) 及 式 ( 3.5) 有 ba xxx xxa, a aa axxq xxq xxq xxq qQ qM bkbkqy 2 224 1222 1 ( 3.24)当 时 , 积 分 限 是 ( xa、 xb) , 由 式 ( 3.23) 及 式 (3.5)有bxx ab ab ab ab xxxxq xxxxq xxxxq xxxxq qQ qM bkbkqy 222 332 44 11222 ( 3.25) 4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 当 荷 载 满 跨 均 布 时 , 积 分 限 是 ( o、 x) , 故 有 2 324 1222 1 qQ qM bkbkqy qqqq ( 3.26) 2、 三 角 形 分 布 荷 载如 图 3.8所 示 , 三 角 形 荷 载 分 布 于 ab段 , 有 duxx quq uxbky a 42 (3.27) 当 时 , 积 分 限 为 ,由 式 ( 3.27) 及 式 ( 3.5) 得4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 ba xxx aaa axxabq xxabq xxabq xxaabq xx qQ xx qM bkxx q xxxxk qy 32 23 1 2214111 21 ( 3.28) xxa,当 时 , 积 分 限 是 , 同 理 得bxx ba xx , abb abb abb abb xxxxxxababq xxxxxxababq xxxxxxababq xxxxxxababq xxxx qQ xxxxqM xxxxk q xxxxk qy 332 4432 114 221 212 212 2121 ( 3.29) 当 三 角 形 荷 载 布 满 全 跨 时 , 积 分 限 是 ( o、 x) 有 32 43 1 2241 21 lqQ lqM bklq xbklqy qqqq ( 3.30)3、 梁 全 跨 布 满 梯 形 荷 载 的 特 解 项 。

    如 图 3.9所 示 的 地 基 梁 在 梯 形 荷 载 作 用 下 的 特 解 项 只 须 把 式(3.26)与 式 ( 3.30) 两 式 叠 加 即 可 4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 ( 三 ) 弹 性 地 基 梁 在 、 、 、 、 、 、 、 共 同 作 用 下挠 曲 微 分 方 程 的 通 解 oyo oM oQ pi Mi q q 如 图 3.10所 示 的 弹 性地 基 梁 , 同 时 作 用 有 集 中力 、 力 偶 、 均 布 载 、 三 角载 时 , 综 合 各 种 荷 载 的 影响 , 就 可 得 出 挠 度 的 一 般公 式 , 进 行 微 分 运 算 后 ,还 可 得 出 转 角 、 弯 矩 及 剪力 的 一 般 公 式 , 即 图 3.9 梯 形 荷 载 作 用 于 地 基 梁 图 3.10 综 合 荷 载 作 用 于 地 基 梁 4. 弹 性 地 基 梁 挠 曲 微 分 方 程 的 特 解 式 ( 3.31) 中 , 当 , 时 , pi 、 mi两 项 取 值 为 零 。

    bxx mxx 3324 1143222 4332 2214332 142 3 32322314 2132 4421 422 22 42 2242 122 222 2112 222 lqqmi pQMbkbkyQ lqqmi pQMbkbkyM bklqbkqbkmi pbkbkQbkMy xbklqbkqbkmi bkpbkQyy m pm p mmxx xxioooo xxi xxioooo xx xpxioooo xx xpxiooo ( 3.31) 4.弹 性 地 基 短 梁 、 长 梁 及 刚 性 梁 短 梁 ( 又 称 有 限 长 梁 ) ( 图 3 .1 1 ( a) ) , 当 弹 性 地 基 梁 的 换 算 长 度 时 , 属 于 短 梁 , 它 是 弹 性 地 基 梁 的 一 般 情 况 长 梁 : 无 限 长 梁 ( 图 3 .1 1 ( b) ) 、 半 无 限 长 梁 ( 图 3 .1 1 ( c) ) 当 换 算长 度 时 , 属 于 长 梁 ; 若 荷 载 作 用 点 距 梁 两 端 的 换 算 长 度 均 时 , 可 忽 略 该 荷 载 对 梁 端 的 影 响 , 这 类 梁 称 为 无 限 长 梁 ; 若 荷 载 作 用 点 仅 距 梁 一 端 的 换 算 长 度 时 , 可 忽 略 该 荷 载 对 这 一 端 的 影 响 , 而 对 另 一端 的 影 响 不 能 忽 略 , 这 类 梁 称 为 半 无 限 长 梁 , 无 限 长 梁 可 化 为 两 上 半 无 限长 梁 。

    刚 性 梁 ( 3 .1 1 ( b) ) , 当 换 算 长 度 时 , 属 于 刚 性 梁 这 时 , 可 认 为 梁是 绝 对 刚 性 的 , 即 EI或 2 0 上 节 的 结 果 , 能 直 接 用 于 计 算 各 种 几 何 尺 寸 及 弹 性 特 征 值 的 弹 性地 基 等 截 面 直 梁 在 工 程 实 践 中 , 经 计 算 比 较 及 分 析 表 明 , 可 根 据 不 同的 换 算 长 度 , 将 地 基 梁 进 行 分 类 , 然 后 采 用 不 同 的 方 法 进 行 简 化 通 常 将 弹 性 地 基 梁 分 为 三 种 类 型 l 弹 性 地 基 梁 的 分 类 75.21 75.2 75.275.2 1 长 梁 、 短 梁 和 刚 性 梁 的 划 分 标 准 主 要 依 据 梁 的 实 际 长 度 与梁 和 地 基 的 相 对 刚 度 之 乘 积 , 划 分 的 目 的 是 为 了 简 化 计 算 事 实 上 , 长 梁 和 刚 性 梁 均 可 按 上 一 节 介 绍 的 公 式 进 行 计 算 ,但 长 梁 、 刚 性 梁 与 短 梁 相 比 有 其 自 身 的 一 些 特 点 , 较 短 梁相 比 , 计 算 可 以 进 一 步 简 化 。

    1.长 梁 的 计 算 ( 一 ) 无 限 长 梁 作 用 集 中 力 Pi的 计 算 如 图 3.12所 示 , 梁 上 作 用 有 集 中 力 Pi, 由 于 力 作 用 点 至 两 端 点 均 满足 , 故 把 梁 看 作 无 限 长 梁 又 因 梁 上 分 布 荷 载 , 为 便 于 分析 , 现 采 用 梁 挠 曲 方 程 齐 次 解 式 的 形 式 , 即 由 条 件 ; 又 由 对 称 条 件 知 : 考 虑 地 基 反 力 与 外 载 Pi的 平 衡 条 件 :75.22 oq x xAxAexAxAey xx sincossincos 4321 oAAoxy 21:| 有 AAAoxdxdy 43,| 故 kbPA PdxxxekbA i io x 2 sincos2 式 ( 3.10) 可 写 为 xxekbPy xi sincos2 ( 3.32) 最 后 可 得 无 限 长 梁 右 半 部 分 的 挠 度 、 转 角 、 弯 矩 及 剪 力 :1.长 梁 的 计 算 65 82 7242 ii iiPQ PM kbPkbPy ( 3.33)其 中 xxe x sincos5 xe xxe xe xxx sin sincoscos876 对 于 梁 的 左 半 部 分 , 只 需 将 式 ( 3.33) 中 Q和 改 变 符 号 即 可 。

    ( 二 ) 无 限 长 梁 在 集 中 力 偶 mi作 用 下 的 计 算 如 图 3.13(a)所 示 无 限 长 梁 , 作 用 集 中 力 偶 ,尽 管 mi作 用 点 并不 一 定 在 梁 的 对称 截 面 上 , 但 只要 mi作 用 点 到 两端 满 足 ,则 mi作 用 点 , 就可 看 作 是 梁 的 对称 点 , 因 而 可 把梁 分 为 两 根 半 无限 长 梁 ( 图3.13(b)、 ( c) ) 梁 对 称 截 面 上 的反 对 称 条 件 为 75.2 2| ioxox mM oy 代 入 式 ( 3.10) 得 A1=A2=A3=0及 , 最 后 得 无 限 长 梁 右 半 部 分的 变 形 及 内 力 为 : bkmA i24 76 53 8 2 22 ii iimQ mM kbmkbmy ( 3.34)对 于 左 半 部 分 , 只 需 将 上 式 中 y与 M变 号 即 可 二 ) 无 限 长 梁 在 集 中 力 偶 mi作 用 下 的 计 算 ( 三 ) 半 无 限 长 梁 作 用 初 参 数 的 计 算如 图 ( 3.14) 所 示 的 半 无 限 长 梁 , 梁 端 作 用有 初 参 数 , 因 , 故 可 借助 挠 曲 方 程 齐 次 解 的 结 果 , 为 了方 便 分 析 , 采 用 式 ( 3.11) 的 形 式 : oxq xxshBchBxxshBchBy sincos 4231 由 代 入 上 式 得oy x oxshBxchB oxshBxchB 42 31 故 有 B1=-B3, B2=-B4 再 由 得, oxox QoQMoM 22 231 2 22 EIMB EIMEIQB o oo 最 后 得 85 78 672 5621 222 oo oo oo oo MQQ MQM MQk MQbky ( 3.35)如 梁 端 作 用 有 初 参 数 、 , 则 可 得 、 与 、 之 间 的 关 系 为oy o oy o oM oQ oo ooo MQbko MQbky 2222 ( 三 ) 半 无 限 长 梁 作 用 初 参 数 的 计 算 ( 四 ) 半 无 限 长 梁 在 梯 形 荷 载 作 用 下 的 计 算 如 图 3.15所 示 的 半 无 限 长 梁 , 作 用 分 布 荷 载 q、 q, 挠 曲 方 程 为 式( 3.7) 。

    容 易 验 证 , 是 式 ( 3.7) 的 一 个 特 解 , 故 在 梯 形 分 布 荷 载 作 用下 半 无 限 长 梁 任 一 截 面 的 变 形 与 内 力 为 : bkqy x 2. 刚 性 梁 的 计 算 如 图 3.16所 示 的 则 性 梁 , 梁 端 作 用 有 初 参 数 和 , 并 有 梯 形 分 布 的 荷载 作 用 , 显 然 , 地 基 反 力 也 呈 梯 形 分 布 , 按 静 定 梁 的 平 衡 条 件 , 可 得 刚 性 梁 的变 形 与 内 力 为 : oy o xqqxkxkxyQ xqqxxkxkyM xyy oo ooo oo 221 62621 2 3232 ( 3.37) 5.算 例例 题 3.1如 图 3.17所 示 , 两 端 自 由 的 弹 性 地 基 梁 , 长 l=4m,宽 b=0.2m, EI=1333 103N m2, 地 基 的 弹 性 压 缩 系 数K =4.0 104kN/m3,求 梁 1、 2及 3截 面 的 弯 矩 解 : ( 1) 判 断 梁 的 类 型 mEIbk /11067.144 考 虑 集 中 载 距 右 端 为 1m, , 故 属 短 梁 。

    75.2( 2) 计 算 初 参 数 oQ oM oQ oM oo梁 右 端 条 件梁 左 端 条 件据 式 ( 3.31) 中 M、 Q表 达 式 为 oq pbkybkQ oq pbkybkM o ioo o ioo 222 31322 3232 3243322 222 242 oy oy oo oo 412.992913041601 492.781034332238 radmyo o 43101891.1 104729.2解 之 得将 各 数 值 代 入 后 得( 3) 计 算 各 截 面 的 弯 矩 oq pyM mNq pyM mNqyM o iobkobk o iobkobk oobkobk 432432 34242444232#3 332332 33232443232#2 13212441232#1 2 281352 2 266232 32 32 例 题 3.2已 知 弹 性 地 基 梁 DE, 长 度 l及 弹 性 特 征 系 数 为 已知 , 作 用 荷 载 如 图 3.18所 示 , 如 果 , 试 求截 面 的 挠 度 、 转 角 、 弯 矩 及 剪 力 75.2均与 CEDA iy i iM iQ 解 : ( 1) 由 于 , 故 为 无 限 长 梁 。

    75.275.2 均及 CEDA ( 2) 求 出 每 一 荷 载 单 独 作 用 下 地 基 梁 的 内 力 和 变 形 , 然 后 再 叠 加 得 出地 基 梁 总 内 力 和 总 变 形 应 当 注 意 , 对 于 集 中 力 作 用 情 况 , 要 分 清 所 求截 面 是 作 用 点 左 边 , 还 是 右 边 , 如 所 求 截 面 在 作 用 点 左 边 , 则 需 将 所 求得 的 相 应 项 改 变 符 号 由 式 ( 3.33) 和 式 ( 3.34) 得 cacbabaaaaaai cacbabaaaaaai cac babaaaaaai cac babaaaaaai mpmpQ mpmpM bkqbkm bkpbkmbkp dbkqbkqbkm bkpbkmbkpy 7676 6565 53 825382 82 7827 2222 2424 22 谢 谢 。

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