人教课标版高中数学选修4-4《曲线的参数方程》教案-新版

第二讲 参数方程2.1 曲线的参数方程一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解参数方程的概念、体会参数的意义，会进行参数方程和普通方程的互化，在直观想象、数学抽象中感受不同参数方程的特点．（二）学习目标1．通过实例，了解参数方程的含义，体会参数的意义． 2．能求解圆的参数方程并用圆的参数解决有关问题，了解圆的参数方程中参数的意义．3．掌握基本的参数方程与普通方程的互化，，感受集合语言的意义和作用．（三）学习重点1．参数方程的概念．2．圆的参数方程及其应用．3．参数方程与普通方程的互化．（四）学习难点1．参数方程与普通方程的互化的等价转化．2．根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第21页至第26页，填空：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变数的函数： ①且对于的每一个允许值，由方程组①确定的点都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标之间关系的方程叫普通方程．（2）想一想：参数方程与普通方程如何转化？一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数中的一个与参数的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程．（3）写一写：圆的一般参数方程是什么？①圆心在原点,半径为的圆的参数方程为(θ为参数);②圆心在,半径为的圆的参数方程为(θ为参数).2．预习自测（1）方程(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的(　　)A.(1,1) B.C. D.【知识点】参数方程的定义【解题过程】将选项中的点一一代入曲线的参数方程中，显然选项C满足题意【思路点拨】根据参数方程的定义求解【答案】C．（2）下列方程：①(m为参数) ②(m，n为参数) ③④x＋y＝0中，参数方程的个数为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4【知识点】参数方程的定义【解题过程】根据参数方程的定义，只有①是参数方程【思路点拨】由参数方程的定义求解【答案】A（3）参数方程(α为参数)化成普通方程为_______________.【知识点】参数方程与普通方程互化【解题过程】由变形整理得，两式分别平方相加得【思路点拨】利用三角恒等变换消去参数 【答案】.（4）P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的距离的最小值是________．【知识点】参数方程的应用【解题过程】由P在曲线上可得P的坐标为(2＋cos α，sin α)，由点到直线的距离公式得d＝＝，当cos＝－1时，d最小，dmin＝＝－1＋3.【思路点拨】根据参数方程的应用得到点设置，再转化为三角函数的最值问题求解【答案】－1＋3(二)课堂设计1．问题探究探究一 结合实例，认识参数方程★●活动① 归纳提炼概念 在过去的学习中，我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，但在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标的关系并不容易，我们先看下来的例子：一架救援飞机在离灾区底面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行．为使投放的救援物质准确落于灾区指定的地面飞行员应如何确定投放时机？（不计空气阻力，重力加速度） 设飞机在点A将物质投出机舱，在过飞机航线且垂直于底面的平面上建立如右图的平面直角坐标系，其中轴为该平面与地面的交线，轴经过A点．记物质从被投出到落地这段时间内的运动曲线为C，为C上任意点，设时刻时，表示物质的水平位移，表示物质距地面的高度.由物理知识，物资投出机舱后，沿方向以的速度作匀速直线运动，沿反方向作自由落体运动，即：令，代入，解得.所以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，，可以使其准确落在指定地点.由上可知：在的取值范围内，给定的一个值，就可以惟一确定的值，反之也成立.一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变数的函数： ①且对于的每一个允许值，由方程组①确定的点都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标之间关系的方程叫普通方程．参数是联系变数的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义，也可以没有明显实际意义的变数.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动② 巩固基础，检查反馈例1 已知曲线的参数方程是（1）判断点与曲线的位置关系；（2）已知点在曲线上，求的值.【知识点】参数方程．【解题过程】（1）把点的坐标代入方程组，解得，所以在曲线．把点的坐标代入方程组，得，无解，所以不在曲线.（2）因为点在曲线上，所以，解得【思路点拨】根据参数方程与曲线的关系来求解．【答案】（1） 在曲线，不在曲线； （2） ．同类训练 已知某条曲线的参数方程为且点在该曲线上.(1)求常数a的值；(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？ 【知识点】参数方程．【解题过程】(1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.(2)由上述可得，曲线C的参数方程是把点P的坐标(1,0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上．【思路点拨】根据参数方程和曲线的关系来求解．【答案】(1)； (2) P在曲线C上，点Q不在曲线C上．【设计意图】巩固基础，加深理解与应用．探究二 探究圆的参数方程●活动① 互动交流、初步实践结合以上参数方程的定义，你能的得到圆的参数方程吗？先看下面例子当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如右图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？图1 如图1，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0(t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为ω.以圆心O为原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系．显然，点M的位置由时刻t惟一确定，因此可以取t为参数． 【设计意图】通过现实问题的求解，加深对参数方程中参数的意义的理解．●活动② 建立模型，加深认识如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x，y)，那么θ＝ωt.设|OM|＝r，如何用r和θ表示x，y呢？ 由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即(t为参数)考虑到θ＝ωt，也可以取θ为参数，于是有(θ为参数)这就得到了以原点为圆心，半径为的圆参数方程.其中θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．【设计意图】通过对问题的求解，得出圆的参数方程，同时为求圆的标准方程的参数方程作铺垫．●活动③ 归纳梳理、灵活应用若圆的圆心坐标为，半径为的圆的参数方程是什么呢？此时圆的标准方程为：，由，故令，整理得：一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围.【设计意图】由特殊到一般，体会培养学生数学抽象、归类整理意识．探究三 探究参数方程和普通方程的互化★▲●活动① 归纳梳理、体会内在联系我们除了用普通方程表示曲线外，还可以用参数方程表示曲线，它们是同一曲线的两种不同的表达形式.但由参数方程直接判断曲线的类型不太容易，例如为何曲线？这就需要我们转化为普通再判断，那么两者如何转化？由 得 ， 所以，表示以为圆心，半径为1的圆.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数中的一个与参数的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致，即等价转化.【设计意图】通过实例体会参数方程与普通方程的互化，培养学生数学抽象意识．●活动② 巩固基础，检查反馈例2 如图，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12,0)，当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹.【知识点】圆的参数方程、点的轨迹方程．【数学思想】数形结合【解题过程】设动点M(x，y)，∵圆x2＋y2＝16的参数方程为(θ为参数)，∴设点P(4cos θ，4sin θ)，由线段的中点坐标公式，得x＝，且y＝，∴点M的轨迹方程为转化为普通方程得因此点M的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．【思路点拨】借助于圆的参数方程来得到点的轨迹方程，即代入法．【答案】点M的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．同类训练 将例1中的定点的坐标改为，其它条件不变，求线段PA的中点M的轨迹【知识点】圆的参数方程、点的轨迹方程．【解题过程】设动点M(x，y)，∵圆x2＋y2＝16的参数方程为(θ为参数)，∴设点P(4cos θ，4sin θ)，由线段的中点坐标公式，得，且y＝，∴点M的轨迹方程为，转化为普通方程得因此点M的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．【思路点拨】借助于圆的参数方程来得到点的轨迹方程，即代入法．【答案】点M的轨迹是以点(2,0)为圆心，以2为半径的圆．【设计意图】巩固检查参数方程与曲线的关系．例3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？（1）（2）【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】（1）由，有，代入，得到.又因为，所以与参数方程等价的普通方程是，即以为端点的一条射线（包括端点）.（2）把平方后减去，得到 ，又因为，所以，即与参数方程等价的普通方程是，，即开口向上的抛物线的一部分.【思路点拨】先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，或者利用三角恒等变换消去参数．【答案】（1）；（2），．同类训练 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线．(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)．【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】(1)∵x＝1＋2，∴2＝x－1.∵－4＝－2x＋2，∴y＝3－4＝3－2x＋2.即y＝－2x＋5(x≥1)，它表示一条射线．(2)∵x＝cos θ＋sin θ＝sin，∴x∈[－，]．x2＝1＋2sin θcos θ，将sin θcos θ＝y代入，得x2＝1＋2y.∴普通方程为y＝x2－，它是抛物线的一部分．【思路点拨】先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，或者利用三角恒等变换消去参数．【设计意图】巩固检查参数方程与普通方程的互化．●活动③ 强化提升、灵活应用例4 若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．【知识点】参数方程的应用、三角函数．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)．∴－2≤2x＋y≤2.即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．【答案】2x＋y的最大值为2，最小值为－2.同类训练 已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围．【知识点】参数方程的应用、三角函数．．【数学思想】转化化归思想．【解题过程】由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ，因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝确定)∴4x＋3y的最大值为1.若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．【思路点拨】考虑利用圆的参数方程将恒成立问题转化为最值，在利用求三角函数最值问题．【答案】[1，＋∞)．【设计意图】熟练利用参数方程求解某些最值问题．3.课堂总结知识梳理（1）一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标都是某个变数的函数： ①且对于的每一个允许值，由方程组①确定的点都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点坐标之间关系的方程叫普通方程．（2）一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.反之，如果知道变数中的一个与参数的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程．（3）①圆心在原点,半径为的圆的参数方程为;②圆心在,半径为的圆的参数方程为.重难点归纳（1）参数（也可用其它小写字母表示）是联系变数的桥梁，它可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数；参数方程和普通方程都是在直角坐标系之下同一曲线的两种不同表的形式．（2）参数方程和普通方程互化时，一定使的取值范围保持一致，即等价转化．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列方程中能表示曲线参数方程的是(　　)A.　　 B. C. D.【知识点】参数方程的含义．【解题过程】A是含参数的方程,B中的并不都由参数t确定,C中的不是由同一个参数确定,D正确.【思路点拨】根据参数方程的含义进行判断．【答案】D2．曲线与x轴交点的直角坐标是(　　)A．(0,1) B．(1,2) C．(2,0) D．(±2,0)【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)．【思路点拨】根据曲线与参数方程的关系判断．【答案】C3．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上 C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上【知识点】圆的参数方程．【解题过程】由得所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上.故选B． 【思路点拨】将圆的参数方程化为圆的标准方程．【答案】B4．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4【知识点】参数方程的应用．【解题过程】由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin，故x＋y的最大值为2.故选B.【思路点拨】利用三角代换求解．【答案】B．5．圆心在点(-1,2),半径为5的圆的参数方程为________.【知识点】普通方程化为参数方程．【解题过程】因为是圆心在点(-1,2),半径为5的圆，所以参数方程为．【思路点拨】根据三角代换公式来求解．【答案】．6．设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是_________．【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝，∴参数方程为(t为参数)．【思路点拨】利用代入法求解．【答案】(t为参数)能力型 师生共研7．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)A．y＝x－2 B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)【知识点】参数方程化为普通方程．【解题过程】消去sin2θ，得x＝2＋y，又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.【思路点拨】注意三角函数的有界性，参数方程的等价转化．【答案】C8．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A(2,0)，B是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】把点A(2,0)的坐标代入得cos θ＝1且sin θ＝0，由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0.同理，把B代入参数方程，得∴又0≤θ<2π，∴θ＝π，所以点B在曲线C上，对应θ＝π.【思路点拨】利用曲线与参数方程的关系求解．【答案】A，B是在曲线C上，A，B对应的参数的值分别为θ＝0、θ＝π．探究型 多维突破9．在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－8xcos θ－6ysin θ＋7cos2θ＋8＝0(θ∈R)的圆心为P(x，y)，求2x－y的取值范围．【知识点】参数方程的应用．【解题过程】由题设得(θ为参数，θ∈R)．于是2x－y＝8cos θ－3sin θ＝sin(θ＋φ)，所以－≤2x－y≤.所以2x－y的取值范围是[－，]．【思路点拨】利用参数方程，转化为三角函数的最值来求解．【答案】[－，]．10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M是曲线C1上的动点．(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．【知识点】参数方程、极坐标、点到直线的距离．【解题过程】(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.又由(1)知，点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，所以点P到直线l距离的最大值为2＋.【思路点拨】普通方程侧重于判断曲线的形状,参数方程侧重于表示曲线上的点．【答案】（1）P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4；（2）2＋．自助餐1．下列点在方程所表示的曲线上的是(　　)A. B. C. D.【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】选D.由方程(θ为参数),令,得.【思路点拨】利用曲线点的与参数方程的关系求解．【答案】D2．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是(　　)A. B. C. D.【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】A显然代入不成立，B,C选项中，不成立，D选项满足要求．【思路点拨】把选项的参数方程转化为普通方程，注意等价转化．【答案】D3．圆的参数方程为(0≤θ<2π)，若圆上一点P对应参数θ＝π，则P点的坐标是________．【知识点】曲线与参数方程．【解题过程】将θ＝π代入参数方程中，解得，所以．【思路点拨】利用曲线上的点与参数方程的关系．【答案】(0，－3)．4．点(x，y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则的取值范围是________．【知识点】圆的参数方程、直线斜率．【数学思想】数形结合思想【解题过程】曲线C：是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.设＝k，∴y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，k取得最小值与最大值，∴＝1，k2＝，∴的范围为.【思路点拨】利用数形结合的思想求解．【答案】 ．5．根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程：（1），设为参数；（2），设为参数.【知识点】普通方程与参数方程互化．【解题过程】（1）将代入方程，解得，所以参数方程为（2）将代入方程，由于参数的任意性，可取，所以参数方程为．【思路点拨】普通方程化为参数方程，注意等价转化．【答案】（1）；（2）6．在方程(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【知识点】参数方程的含义．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】（1）方程(a，b是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得 xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t为非零常数时，原方程组为③2＋④2得＋＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．【思路点拨】(1)运用加减消元法，消t；(2)当t＝0时，方程表示一个点，当t为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【答案】（1）方程表示一条直线；（2）(ⅰ)当t为非零常数时，它表示一个圆，(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．。