2021—2022学年北师大版数学九年级上册第4章图形的相似热门考点整合应用练习【含答案】

《图形的相似》热门考点整合应用本章主要内容为平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为三个概念、两个性质、一个判定、两个应用、一个作图、一个技巧． 考点1： 三个概念 成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是(　　)A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，6 cm，1.8 dmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两条边的实际长度都是________． 相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠C′＝∠C，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．(第3题) 位似图形4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．(第4题) 考点2： 两个性质 平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x s，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？(第5题) 相似三角形的性质6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．(第6题) 考点3： 一个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，CE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.(第7题) 考点4： 两个应用 测高的应用8．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？(第8题) 测宽的应用9．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．(第9题) 考点5： 一个作图——作一个图形的位似图形10．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形(△A′B′C′)．(第10题) 考点6： 一个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧11．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与△ABC的外角∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.(1)求∠PAQ的度数；(2)若点M为PQ的中点，连接AM，求证：PM2＝CM·BM.(第11题)答案1．C　2.20 m3．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠ADC＝∠A′D′C′，∠C＝∠C′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠A＝∠A′，且＝＝＝＝，所以四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．4．解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点B′作B′N⊥x轴于点N，则△CBM∽△CB′N.所以MCNC＝BMB′N＝BCB′C.又由已知条件知NC＝a＋1，B′N＝－b，BCB′C＝12，所以MC(a＋1)＝BM(－b)＝12.所以MC＝(a＋1)，BM＝－.所以MO＝(a＋1)＋1＝.所以点B的坐标为.(第4题)5．解：(1)∵DE∥BC，∴＝.∴＝.∴y＝－x＋6(0≤x≤4)．(2)∵S△BDE＝·2x·y＝·2x·＝－(x－2)2＋6，且－(x－2)2≤0，∴－(x－2)2＋6≤6.∴当x＝2时，S△BDE有最大值，最大值为6.6．(1)证明：如图，∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC.∴∠B＝∠1.又∵AD＝AC，∴∠ACB＝∠2.∴△ABC∽△FCD.(第6题) (2)解：如图，过点A作AM⊥CB于点M.∵D是BC边上的中点，∴BC＝2CD.由(1)知△ABC∽△FCD，∴＝＝.又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC＝BC·AM，∴AM＝＝＝4.∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴∠EDB＝∠AMB.又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BMA.∴＝.由AD＝AC，AM⊥BC，知DM＝CD＝BC＝.又∵BD＝BC＝×10＝5，∴＝.∴DE＝.7．证明：∵△ACB为等腰直角三角形，AB为斜边，∴∠CAB＝45°.∵CO⊥AB，∴∠AOC＝90°.又∵DE⊥CD，DE＝CD，∴∠CED＝45°，∠CDE＝90°.∴∠CAO＝∠CED，∠AOC＝∠EDC.∴△ACO∽△ECD.∴∠ACO＝∠ECD，＝.∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.8．解：(方法一：作延长线)延长AD，与地面交于点M，如图①所示．(第8题)由AM∥FH知∠AMB＝∠FHG.因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，所以∠ABC＝∠DCM＝∠FGH＝90°.又因为∠AMB＝∠DMC，所以△ABM∽△DCM∽△FGH.所以＝＝.因为CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m，所以＝.解得CM＝ m.因为BC＝4 m，所以BM＝BC＋CM＝4＋＝(m)．所以＝.解得AB＝4.4 m.故这棵树的高度是4.4 m.(方法二：作垂线)过点D作DM⊥AB于点M，如图②所示．易知△AMD∽△FGH.所以＝.而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝(AB－2)m，FG＝1.2 m，GH＝2 m，所以＝，解得AB＝4.4 m.故这棵树的高度是4.4 m.9．解：如图，过点A作AF⊥DE，垂足为F，并延长AF交BC于点G.由题意知DE＝24 m，BC＝60 m，AF＝30 m.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.∴△ADE∽△ABC.∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC.∴＝，即＝.解得AG＝75 m，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45(m)．即河的宽度为45 m.10．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．11．(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝∠BAC.又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝∠CAD.∴∠PAC＋∠CAQ＝∠BAC＋∠CAD＝(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°，又∵M是线段PQ的中点，∴PM＝AM.∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.∴＝.∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.。