万有引力定律及其应用教学设计

万有引力定律及其应用教学设计--------------------------------------------------------------------------作者: _____________--------------------------------------------------------------------------日期: _____________万有引力定律及其应用高三物理 张翠云 4 月 18 日知识网络:万有引力定 天体运地球卫教学目标：1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题2．掌握宇宙速度的概念3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能教学重点：万有引力定律的应用教学难点：宇宙速度、人造卫星的运动教学方法：讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、万有引力定律：（1687 年）F Gm m1r 22适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）G = 6.67 ´ 10 -11 N × m 2 / kg 2二、万有引力定律的应用1．解题的相关知识：（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 GMm    v 2= m2r      r 2＝m4p 2                                                           mMr = mw 2r ；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即 GT 2 R 2＝mg 从而得出 GM＝R 2 g。

2）圆周运动的有关公式： w ＝讨论：2pT，v= w r①由 GMm    v 2            GM= m 可得： v =       r 越大，v 越小r 2 r 2 r②由 G Mmr 2= mw 2 r 可得： w = GMr3 r 越大，ω越小 mç   ÷  r 可得： T = 2p r 3 GM   r 越大，T 越大③由 GMm   æ 2p ö 2r 2 è T ør 2 r 2r 越大，a   越小④由 GMm                GM= ma 可得： a =向 向向点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动2．常见题型万有引力定律的应用主要涉及几个方面：（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）= mç   ÷  r   得 M =由 GMm   æ 2p ö 2r 2 è T ø4p 2 r 3GT 24又 M = pR 3 × r 得 r =33pr 3GT 2 R 3【例 1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，观测到它的自转周期为 T= 1 s问该中子星的最小密度应是多少才能维持30该星的稳定，不致因自转而瓦解计算时星体可视为均匀球体引力常数G=6.67 ´ 10 -11 m 3 /kg.s 2 )解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解设中子星的密度为 r ，质量为 M ，半径为 R，自转角速度为 w ，位于赤道处M = pR 3 r的小物块质量为 m，则有GMm            2p= mw 2 R w =R 2 T43由以上各式得 r =3pGT 2，代入数据解得： r = 1.27 ´ 1014 kg / m 3 点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）表面重力加速度：Q G  MmR 2              R 2轨道重力加速度：Q    GMm   = mg  \ g   =   GM(R + h)2          (R + h)2r 2  = mg  ……GM= mg \ g =0 0h h【例 2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量 M 与卫星的质量 m 之比 M/m=81，行星的半径 R0 与卫星的半径 R之比 R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离 r 与行星的半径 R0 之比 r/R0＝60。

设卫星表面的重力加速度为 g，则在卫星表面有 GMm经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的 1/3600上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果解析：题中所列关于 g 的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度正确的解法是R 2   ＝g   行星表面R=g0   即 (  R0 ) 2   m卫星表面 GmGM20g=R  M  g0即 g =0.16g03）人造卫星、宇宙速度：人造卫星分类（略）：其中重点了解同步卫星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别）【例 3】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的一号”是极地圆形轨道卫星其轨道平面与赤道平面垂直，周期是 12h；“二号”是地球同步卫星两颗卫星相比 号离地面较高； 号观察范围较大； 号运行速度较大若某天上午 8 点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是 解析：根据周期公式 T= 2 r3GM知，高度越大，周期越大，则“风云二号” 气象卫星离地面较高；根据运行轨道的特点知，“风云一号” 观察范围较大；根据运行速度公式 V=GMr知，高度越小，速度越大，则“风云一号” 运行速度较大，由于“风云一号”卫星的周期是 12h，每天能对同一地区进行两次观测，在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度的地方时时间保持不变。

则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午 8 点例 4】可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（ ）A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的解析：卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供,且万有引力始终指向地心，因此卫星的轨道不可能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故A 是错误的由于地球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故 B 是错误的赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动的，故 C、D 是正确的例 5】侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为 h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都设上星运行周期为 T1，则有 G      = m拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为 R，地面处的重力加速度为 g，地球自转的周期为T解析：如果周期是 12 小时，每天能对同一地区进行两次观测。

如果周期是 6小时，每天能对同一纬度的地方进行四次观测如果周期是 24 小时，每天能对同n一纬度的地方进行 n 次观测Mm 4p 2 (h + R)(h + R) 2 T 21R 2GMm0  = m g物体处在地面上时有 解得： T =0 12pR(h + R) 3g在一天内卫星绕地球转过的圈数为 TT1T，即在日照条件下有  次经过赤道上T1空，所以每次摄像机拍摄的赤道弧长为 S =  2pR=     T ，将 T1 结果代入得T     T2pR1T1S =4p 2T(h + R) 3g【例 6】在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ）A．它们的质量可能不同C．它们的向心加速度可能不同B．它们的速度可能不同D．它们离地心的距离可能不同解析：同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引力提供设地球的质量为 M，同步卫星的质量为 m，地球半径为 R，同步卫星距离地面的高度为 h，由 F 引=F 向， GmM(R + h) 2=m4p 2T 2（R+h）得：GMT 2h= 3 -R，可见同步卫星离地心的距离是一定的。

4p 2由 GmM( R + h)2v 2 GM=m     得：v=      ,所以同步卫星的速度相同R + h R + h( R + h) 2  =ma 得：a= G由 G mMM( R + h) 2 即同步卫星的向心加速度相同由以上各式均可看出地球同步卫星的除质量可以不同外，其它物理量值都应是固定的所以正确选项为 A点评：需要特别提出的是：地球同步卫星的有关知识必须引起高度重视，因为在高考试题中多次出现所谓地球同步卫星，是相对地面静止的且和地球有相同周期、角速度的卫星其运行轨道与赤道平面重合a 2b 2 c【例 7】地球同步卫星到地心的距离 r 可由 r 3 = 求出，已知式中 a 的单4p 2位是 m，b 的单位是 s，c 的单位是 m/s2，则：A．a 是地球半径，b 是地球自转的周期，C 是地球表面处的重力加速度；B．a 是地球半径b 是同步卫星绕地心运动的周期，C 是同步卫星的加速度；C．a 是赤道周长，b 是地球自转周期，C 是同步卫星的加速度D．a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，C 是地球表面处的重力加速度解析：由万有引力定律导出人造地球卫星运转半径的表达式，再将其与题给表达式中各项对比，以明确式中各项的物理意义。

AD 正确例 8】我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空 t＝7 天后又顺利返回地面飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功①设飞船轨道离地高度为 h，地球半径为 R，地面重力加速度为 g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈?(用给定字母表示)②若 h＝600 km，R＝6400 km，则圈数为多少?解析：（1）在轨道上v= 2p ( R + h) ②TGmM      v 2= m(R + h) 2 R + h①在地球表面：GmMR 2=mg ③联立①②③式得：T=  2p (R + h)故 n=  tR + h×R gtR g=T 2p ( R + h) R + h②代人数据得：n=105 圈（4）双星问题：【例 9】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动现测得两星中心距离为 R，其运动周期为 T，求两星的总质量解析：设两星质量分别为 M1 和 M2，都绕连线上 O 点作周期为 T 的圆周运动，星球 1 和星球 2 到 O 的距离分别为 l1 和 l2。

由万有引力定律和牛顿第二定律4p 2 R 2l1＝M1 （   ）2 l1  ∴M2＝及几何条件可得 M1：GM 1M 2R 22pT               GT 24p 2 R 2l2＝M2（   ）2 l2    ∴M1＝对 M2：GM 1M 2R 22pT                  GT 2两式相加得 M1＋M2＝      （l1＋l2）＝  4p 2 R 34p 2 R 2GT 2 GT 2 5）有关航天问题的分析：【例 10】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为 H＝3. 4 ´105m 的圆轨道上运行了 47 小时求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径 R=6.37 ´106m，重力加速度 g＝9.8m/s2）解析：用 r 表示飞船圆轨道半径 r=H+ R==6. 71 ´106m M 表示地球质量，m 表示飞船质量， w 表示飞船绕地球运行的角速度，G 表r 2  = mw 2 r示万有引力常数由万有引力定律和牛顿定律得GMm利用 G    ＝g 得   gR 2MR 2 r 3 ＝ w 2 由于 w ＝2pT，T 表示周期解得T＝ 2p rRrgt，又 n=  代入数值解得绕行圈数为 n=31。

T（6）天体问题为背景的信息给予题近两年，以天体问题为背景的信息给予题在全国各类高考试卷中频频出现，不仅考查学生对知识的掌握，而且考查考生从材料、信息中获取有用信息以及综合能力这类题目一般由两部分组成：信息给予部分和问题部分信息给予部分。