平行四边形培优讲义新打印版

学习必备 欢迎下载平边四边形知识点.知识框架.知识概念平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点 连成的线段叫做它的对角线平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等,对角线互相平分 平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形矩形是特殊的平行四边形矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角矩形是轴对称图形, 有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 （根据定义）对角线相等的平行四边形是矩形 四个角都相等的四边形是矩形推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角 线平分一组对角菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形S菱形=1/2X ab （a b为两条对角线） 或底x高正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形；（正方形是轴对称图形，有堂m艺命 一炎世上我梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形梯形常用辅助线：学习必备 欢迎下载平行四边形的判定及性质巩固练习题1、如图，已知在四边形 ABCD中, AD=BCZ D=Z DCE求证：四边形 ABCD是平行四边形.2、如图，在 口ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且 AE // CF , AE与CF相等吗？说明理由3、有一个四边形的四边长分别是a, b, c, d,且有a2+b2+c2+d2=2 （ac+bd）.求证：此四边形是平行四边形.4、□ ABCD中 ,AC、BD交于点 O, AE=CF 求证：BE=DF5、（变式练习 2） □ ABCD中 ,AC、BD交于点O, AE=CF BM=DN求证：四边形MFNE!平行四边形6、（变式练习3）如图，平行四边形 ABCD中, E、F是AC上两点，且 AE=CF又点M N分别在AB CD上 , 且MF// EN MN交AC于O。

求证：EF与MN互相平分7、（变式练习4）如图所示，口ABCD的对角线 AC、BD交于O, EF过点O交AD于E，交BC于F , G是OA的中点，H是0C的中点，四边形 EGFH是平行四边形，说明理由8 （变式练习）口 ABCD中, DE平分/ ADC交BC的延长线于 E, BF平分/ ABC交AB的延长线于F,求证：四边形 DEBF是平行四边形9、（变式练习1）如图所示，平行四边形 ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM ,且AN、BM交于点P, CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么?10、（变式练习2）如图，E、F分别为口 ABCD的边AD BC的中点求证：（1） BE=DF（2） O为GH的中点11、□ ABCD中, E在 AB上, F 在 CD上，且 AE=CF,M为 DE中点，N为 FB 中点，求证：FM=NE ME=NFC12、已知如图：在 ABCD中，延长 AB到E,延长CD到F,使BE=DF ,则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.13、•如图所示，已知点 D是厶ABC的边AB上的中点，点 E是AC上的一点，DF// BE,EF// AB,证明：AE、DF 互相平分14、如图,结AE,已知人。

是厶ABC的边BC上的中线，△求证：DE=AC15、如图，在 口ABCD中，/ DAB=60，点E、F分别在 CD AB的延长线上，且 AE=AD CF=CB求证：四边形 AFCE是平行四边形.16、如图所示，某城市部分街道示意图， AF // BC , EC丄BC, BA // DE , BD // AE , EF=FC，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是 BtAtEtF,乙乘2路，路线是 B宀D宀C宀F,假设两车速 度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达 F站，请说明理由• 」R (:17、在平行四边形 ABCD中，BN = DM , BE = DF，求证：四边形 MENF是平行四边形•18、如图，在二ABCD 中，AB=2AD，延长 AD至U F,使DF=AD,再延长 DA至U E,使AE=AD,求证：BF丄CE.F19、如图19- 1 — 30,分别以△ ABC的三边为边长，在 BC的同侧作等边三角形 ABD，等边三角形 BCE , 等边三角形ACF，连接DE , EF求证：四边形 ADEF是平行四边形图 19-1-30图220、如图3，在△ ABC中，D是BC边的中点，F , E分别是AD及其延长线上的点， CF // BE，连结BF, CE，试判断四边形 BECF是何种特殊四边形，并说明理由。

21、如图2,平行四边形 ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且 AE = CF, BG = DH，试说明:EF与GH相互平分.矩形拓展题1、如图，四边形 ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）A . AB = CDB. AD = BCC. AB= BCD . AC= BDD2、如图①，矩形 ABCD AB=12cm AD=16cm现将其按下列步骤折叠： （1）将厶BAD对折，使AB落在AD上, 得到折痕AF,如图②（2）将厶AFB沿BF折叠，AF与DC交点G,如图③则所得梯形 BDGF勺周长等于（ ）D.12+4A.12+2 ,2 B.24+2 •、2 C.24+4 2( )D. m+64、+ m+3 +（第3题）如图，矩形 ABCD中，AB> AD , AB=a, AN平分/DAB , DM 丄 AN 于占八、、M , CN丄AN于点N .贝U DM+CN的值为（用含a的代数式表示）（BC5、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点,BEG 60 ,现沿直线EG3、如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为 m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形 （不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为 3,则另一边长是A . 2m+3 B . 2m+6 C. m+3将纸片折叠，使点 B落在纸片上的点 H处，连接AH，则与• BEG相等的角的个数为（A.4 B. 3 C.2D.16、矩形纸片 ABCD 中,AB= 3, AD = 4,将纸片折叠，使点B落在边CD上的B'处，折痕为 AE •在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为 7•小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得 B点落在AD边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得 C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上 的点M处，折痕为DG （如图③）.如果第二次折叠后， M点正好在/ NDG的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为 .①8如右上图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D'重合，若BC=8 , CD=6，则CF= <9、如图2,在矩形 ABCD中, AD =4，DC =3,将厶ADC按逆时针方向绕点 A旋转到△ AEF （点A B E在同一直线上），连结CF,贝U CF = .D ( B')CABCD 外一点，且/ APCA .对角线相等的平行四边形B .每条对角线平分一组对角的四边形10、如图矩形纸片 ABCD , AB = 5cm, BC = 10cm , CD 上有一点 E, ED = 2cm, AD 上有一点 P, PD = 3cm, 过P作PF丄AD交BC于F,将纸片折叠，使 P点与E点重合，折痕与 PF交于Q点，则PQ的长是 cm.11、把一张矩形纸片（矩形 ABCD按如图方式折叠，使顶点 B和点D重合,折痕为EF•若AB = 3 cm , BC = 5 cm，则重叠部分△ DEF的面积是 _cm12、如图所示，已知平行四边形 ABCD , AC、BD相交于点O, P是平行四边形=Z BPD = 90° .求证：平行四边形 ABCD是矩形.13、如图自矩形 ABCD的顶点C作CE丄BD,E为垂足，延长CE至F使CF=BD, 连接AF,求/ BAF的大小菱形的性质及判定巩固练习题C.对角线互相垂直的平行四边形 2下列命题中错误的是 （ ）D .用两个全等的等边三角形拼成的四边形1、下列四边形中不一定为菱形的是（ ）A.平行四边形的对边相等E.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.矩形的对角线相等 D.对角线相等的四边形是矩形3如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD是菱形的为（ ）① AC _ BD ②.BAD =90：③ AB 二 BC ④ AC 二 BDA .①③ B .②③ C.③④ D .①②③A . 8cm 和 4 3 cmB . 4cm 和 8 . 3 cm C. 8cm 和 8 , 3 cm4cm和 4 3 cm5如图，菱形ABCD中，/ B = 60°, AB = 2, E、F分别是 BC、CD连接的周长为（A . 2 ... 3B.3, 3 C. 4.3 d. 36如右图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（A. DA = DEB. BD 二 CEC. EAC 二 90 °7如右图，在菱形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,则菱形ABCD的周长为（的中点,AE、EF、AF，则△ AEF)CA. 16a B. 12a C. 8aD. 4a8如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E , AB =4cm .那么，菱形ABCD的面积是，对角线BD的长是9、已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC =4cm,则菱形的边长是Dcm10、如图，矩形 ABCD中，AB = 2, BC = 3,对角线 AC的垂直平分线分别交 AD ,BC于点E、F,连接CE,贝U CE的长4菱形的周长为32cm, —个内角的度数是 60 °则两条对角线的长分别是（DECB F11、如图所示，两个全等菱形的边长为 1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA顺序沿菱形的边循环运动，行走 2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在占.八 \、♦A 12、如图，菱形ABCD中，O是对角线AC, BD的交点，AB=5cm , AO=4cm ,则 BD cm.13、如图所示，已知 口 ABCD, AC , BD相交于点O, ?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为 .（只写出符合要求的一个即可）12题图14、如图所示,D, E, F分别是△ ABC的边BC, CA , AB上的点，且 DE // AB , DF // CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是•(只写出符合要求的一个即可)15、菱形 ABCD 的周长为 48cm , / BAD : ?/ ABC= ?1: ?2, ?则 BD=?,?菱形的面积是16、在菱形ABCD中，AB=4 , AB边上的高DE垂直平分边AB，贝U BD=,AC=17、如图，四边形 ABCD是菱形，DE丄AB交BA的延长线于 E, DF丄BC ,交BC的延长线于F。

请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想18证:已知：如图，四边形AEDFAAD 平分/ BAC , DE // AC 交 AB 于 E, DF // AB 交 AC 于 F.求是菱形.19、如图，四边形 ABCD 中，AB // CD , AC 平分/ BAD , CE // AD 交 AB 于 E .(1) 求证：四边形 AECD是菱形；(2) 若点E是AB的中点，试判断 △ ABC的形状，并说明理由.20、如图8,在平行四边形 ABCD中，E, F分别为边AB, CD的中点，连接 DE, BF, BD .(1) 求证：△ ADE CBF .(2) 若AD _ BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论.21如图,在厶 ABC 中，/ BAC=90,AD 丄 BC 于 D, CE 平分/ ACB ,交AD于G,交AB于E, EF丄BC 于 F,四边形AEFG是菱形吗？22、如图,与AD交与G,求证：四边形 BDEF是菱形CB三角形 ABC中，AD是/ BAC的平分线，E是AC上一点，AE=AB,EF // BC交AD于F, BE23、如图、在三角形 ABC中，/ A=90 o，/ B的平分线交 AC于D,交高 AH于E,, DF丄BC,F为垂足, 求证：四边形AEFD为菱形。

24、如图，菱形 ABCD中，对角线 AC BD交于点0,过点A作AH丄BC,交BD于E,垂足为H,已知CH=4AH=8(1 )求菱形的周长;(2 )求0E的长度.25、如图，在 RtA ABC中，/ B=90°, BC=5-、3，/ C=30•点D从点C出发沿CA方向以每秒 2个单位长的速度向点 A匀速运动，同时点 E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动，当 其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动 •设点D、E运动的时间是t秒(t> 0) •过点D作DF丄BC于点F，连接DE、EF.(1) 求证：AE=DF ;t值；如果不能，说明理由(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的(3) 当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由正方形练习题1、 正方形ABCD的边长为1，它的两条对角线相交于点 0,则厶ABO的周长为 ，面积为 2、 如图，E是正方形 ABCD 边BC延长线上一点， EC=AC , AE交CD于F,则/ AFC= 2题图3题图3、如图，在正方形 ABCD中,AB=8 , AE=2, EF= 2 一 5 •点 E 在 AB上，点F在AD上，贝U CF=4、 在正方形ABCD中，E是BC上一点，AE把正方形分成两部分，且 S?be : S梯形aecd = 1： 5 , AB=6,则AE= 15、 若正方形面积缩小为原来的 -，则它的边长是原来边长的 36、 如图，ABCD是正方形，M是BC中点，将正方形折起，使点 A与点M重合，设折痕为 EF,若正方形面积为64,那么△ AEM的面积是 7、 如图，以正方形 ABCD的对角线 BD为边作正三角形 BDE,过E作EF丄AD,交DA的延长线于 F,则/AEF= ;若正三角形 BDE的周长是12 ，正方形面积为 ABF7题图8题图 10题图8、如图，在正方形ABCD中，P是AD上任一点,PE丄AC,PF丄BD,点E、F分别是垂足,BD+AC=14 则12、如图，将边长为 1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转 60。

至正方形PE+PF=9、正方形 ABCD边长为8, M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，贝U DN+MN勺最小值为 10、如图，已知边长为 1的正方形ABCD E为AD中点，P为CE的中点，贝U S鸟PD = 11、在厶ABC 中，AB=AC , D 是 BC 中点，DE丄AB,DF丄AC,垂足 分别为 E,F,只添加一个条件 ,使四边形AEDF为正方形（写出一个条件即可）ABC D，则旋转后两个正14、已知正方形 ABCD中, M是AB的中点，E是AB延长线上一点， MNL DM且交/ CBE的平分线于 N.求证: MD=MN.若M是AB上任意一点，MD=MNE成立吗？若成立，请证明之；若不成立，请说明理由D .C15、如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，过点E作AE的垂线分别交 CD、AB的延长线于点F、G.求证：BE=BG+CF16、如图，在正方形 ABCD中,△ PAQ是正三角形，设AB=10,求PB的长BE17、如图，在正方形 ABCD中，F是对角线 AC上任一点，BF丄EF,求证：BF=EFD18、如图，正方形 ABCD边长为1 , E是CD的中点，点F在BC边上移动•试判断当点F移到什么位置时, AE是/ DAF的平分线？19、如图，在正方形 ABCD中, E是DB延长线上的一点，且/ ECB=15 .求证：EC=BD四边形综合培优题1、以厶ABC的边AB、AC、BC为边作等边△ ABD、等边△ ACE和等边△ BCF。

1) 求证四边形 ADFE是平行四边形.(2) 当厶ABC满足什么条件时，四边形 ADFE是矩形；(3) 当厶ABC满足什么条件时，平行四边形 ADFE不存在；(4) 当厶ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.2、如图：正方形ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O, E是AC上的一点，连接EB,过点A作AM丄BE , 垂足M , AM交BD于点F.① 求证OE=OFACDBFEI② 如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM丄EB的延长线于点 M，交DB的延长线于点F,其他条件 都不变，则结论 "OE=O”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.3、如图，在梯形 ABCD 中，/ A+ / B=90 ° , AB//CD,M,N 分别是 AB,CD1的中点，求证：MN= (AB-CD).4、已知：如图，在 △ ABC中，AB=AC, AD丄BC ,垂足为点 D, AN是厶ABC外角DC/ CAM的平分线，CE丄AN,垂足为点 E,(1) 求证：四边形 ADCE为矩形；(2) 当△ ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明.5、在口ABCDK/ BAD的平分线交直线 BC于点E,交直线DC于点F.1中证明CE= CF；(1)在图(2)若/AB& 90 ° , G是EF的中点(如图2),求/ BDG勺度数(3)若/ABC= 120°, FG// CE F*CE 分别连结 DB DG(如图 3),求/图2G FBDE6、已知正方形 ABCD点P是对角线AC所在直线上的动点，点 E在DC边所在直线上，且始终保持 PE= PD(1) 如图1,当点P在对角线AC上时，观察、猜想 PE与PB有怎样的关？并证明你的结论。

2) 如图2,当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3) 如图3,当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图 3画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系？并证明你的结论7、如图，梯形 ABCDK AD/ BC / DCB= 45°, CD= 2, BD丄 CD 过点 C作 CEL AB于 E,交对角线 BD于 F,点G为BC中点，连结 EG AF.(1 )求EG的长； (2)求证：CF= AB+ AF.(用两种方法证明)a n8以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH .(1) 如图1,当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形 EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为 矩形时，请判断：四边形 EFGH的形状并说明理由；(2) 如图3,当四边形 ABCD为一般平行四边形时，设/ ADC (0°< ： V 90°),①试用含:的代数式表示/HAE ;②求证：HE=HG;③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.9、如图，在梯形 ABCD中，AD // BC, E、F分别是 AB、DC边的中点，AB=4，/ B=60 °(1)求点E到BC边的距离；(2)点P为线段EF上的一个动点，过 P作PM丄BC,垂足为M，过点M作MN // AB交线段AD于点N , 连接PN、探究：当点 P在线段EF上运动时，△ PMN的形状是否发生变化？若不变，请求出厶 PMN的面 积和周长；若变化，请说明理由.10、将一副三角尺如图拼接：含 30°角的三角尺(△ ABC的长直角边与含 45°角的三角尺(△ ACD的斜边恰好重合•已知 AB= 2・.3 , P是AC上的一个动点.(1) 当点P运动到/ ABC的平分线上时，连接 DP求DP的长；(2) 当点P在运动过程中出现 PD= BC时，求此时/ PDA勺度数；(3) 当点P运动到什么位置时，以 D, P, B, Q为顶点的平行四边形的顶点 Q恰好在边BC上？求出此时 口 DPBQ勺面积.（备用图）AE AC和 BE相交11、如图 1，在△ ABC中, AB= BC= 5, AC=6. △ ABC沿 BC方向平移得到的，连接于点Q（1） 判断四边形 ABCE1怎样的四边形，说明理由；（第 11题图1）（第 11题图2）（2） 如图2, P是线段BC上一动点（图2）,（不与点B、C重合），连接PQ并延长交线段 AE于点Q QRL BD垂足为点R四边形PQED勺面积是否随点 P的运动而发生变化？若变化， 请说明理由；若不变，求出四 边形PQE啲面积;12已知：正方形ABCD中，• MAN =45 , ■ MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB, DC （或 它们的延长线）于点 M , N •（1 ）、当NMAN绕点A旋转到BM=DN寸如（图1）, 量关系是 ;（不需说明）（2）、当NMAN绕点A旋转到BM HDN时如（图 线段BM , DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出 猜想，并加以说明.（3 ）、当N MAN绕点A旋转到如（图3）的位置时,段BM , DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.连接EG, CG.一边交射线BC于点D，连ED(1)如图1,当四边形PBDE为等腰梯形时，求 AP的长;(2)四边形PBDE有可能为平行四边形吗？若可能，求出 PBDE为平行四边形时若不可能，说明理由;(3) 若D在BC边上(不与B、C重合)，试写出线段 AP取值范围。

14、正方形 ABCD中，E为对角线 BD上一点，过 E点作EF丄BD交BC于F，连接DF , G为DF中点, (备用图)(1) 求证：EG=CG;(2) 将图①中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图②所示，取 DF中点G,连接EG, CG .问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）将图①中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）。