排列组合公式排列组合计算公式

和=(首项+末项)X项数三2项数=(末项-首项)三公差+ 1 首项=2和三项数-末项末项=2和三项数-首项末项=首项+ (项数-1 )X公差 性质： 若 m、n、p、qWN① 若 m+ n=p + q，贝U am+an二ap+aq② 若 m+n=2q，则 am+an=2aq注意：上述公式中an表示等差数列的第n项 求和公式Sn=(al+an)n/2Sn二aln+n(n-l)d d= 公差Sn=An2+Bn A=d/2,B=1-(d/2)排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30F；=血公式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列 公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行排列N-元素的总个数R 参与选择的元素个数!-阶乘，如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n* (n-1) *(n-2)..(n-r+l);因为从n到(n-r+1)个数为n—(n-r+l) =r举例：Q1: 有从 1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1:123和213是两个不同的排列数即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组 合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位 数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式=P (3, 9) = 9*8*7,(从9倒数3个的乘积)Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组．(1)每名学生都只参加一个课外小组；(2)每 名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的 人数，因此共有种不同方法．(2) 由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此 共有种不同方法．点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排、 、中的某一个，共3类，每一类中不同 排法可采用画“树图”的方式逐一排出：•••符合题意的不同排法共有9种.点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是 一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.(1) 高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了 一次手，共握了多少次手？(2) 高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不 同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？(3) 有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？(4) 有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中 选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？分析 (1)①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺 序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无 关，所以是组合问题．其他类似分析．(1) ①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手(次)•(2) ①是排列问题，共有(种)不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法.(3) ①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积.(4) ①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法.例4 证明.证明 左式右式.•••等式成立.点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使 变形过程得以简化.例 5 化简.解法一 原式解法二 原式点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的 两个性质，都使变形过程得以简化.例 6 解方程：( 1)；( 2).解 ( 1 )原方程解得.2)原方程可变为原方程可化为•即 ，解得第六章 排列组合、二项式定理一、考纲要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质， 并能用它们解决一些简单的问题.3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示（一） 加法原理乘法原理说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、 组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报 名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生 都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3X3X3X3X3=35（种）（二） 排列、排列数公式说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究 的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比 较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的 偶数共有（ ）A. 60 个B. 48 个C. 36 个D. 24 个解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P1 ；小于 50 000 的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P「;在首末两位数排定后,3中间3个位数的排法有P3，得Pi P3 Pi =36（个）3 3 3 2由此可知此题应选 C.例3 将数字1、 2、 3、 4填入标号为1 、 2、 3、 4的四个方格里，每格填一个 数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填 法有3种，即214 3， 3142， 4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3 种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P1 =9 （种） .3例四 例五可能有问题，等思考三）组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上 都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电 视机各 1 台，则不同的取法共有（ ）A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有Ci・C2种；甲型2台乙45型1台的取法有C2・Ci种45根据加法原理可得总的取法有C2 ・ C2+C2 ・ C1 =40+30=70（种）4 5 4 5可知此题应选 C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项， 丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式?解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C3种；8乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有Ci种；5丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C2种；4丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有 C2 种.2根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8XC1 XC2 XC2二Xl=1680(种).542(四) 二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的 基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二 项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)io的展开式中，xe的系数是()A.-27C6 B.27C4 C.-9C6 D.9C410 10 10 10解 设(x-)io的展开式中第Y +1项含xe,因 Ty +i=Cy xio-y (- ) y , 10-Y =6, Y =410于是展开式中第5项含x 6,第5项系数是C4 (-)4=9C410 10故此题应选 D.例 7 (x-1)-(x-1)2+ (x-1)3-(x-1) + (x-1) 5 的展开式中的 X2 的系数等于 解：此题可视为首项为x-1,公比为-(X-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(X-1)6中含X3的项是C3 X3(-1)3=-20X3,因此展开式中X2的系数是-2 0.6(五) 综合例题赏析例 8 若(2x+)4二a+a x+a x 汁a x3+a X4,贝I」(a +a +a )2-(a +a )2 的值为( )0 1 2 3 4 0 2 4 1 3A.1 B.-1 C.0 D.2解： A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2 名护士,不同的分配方法共有( )A.6 种B.12 种C.18 种D.24 种解 分医生的方法有P2 =2种，分护士方法有C2 =6种，所以共有6X2 = 12种不24同的分配方法。

应选B.例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其 中至少要有甲型与乙 型电视机各1台，则不同取法共有( ).A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.VC2 ・+C2 ・Ci =5X6+10X4=70.4 5 4・•・应选C.例11 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少有1名女 生当选的不同选法有( )A.27 种 B.48 种 C.21 种 D.24 种解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：VC1 ・C1 7+C2 =3X7+3=24,33・•・应选D.例12 由数学0， 1， 2， 3， 4， 5组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字 小于十位数字的共有( ).A.210 个 B.300 个C.464 个 D.600 个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P1・P 5 =600个.55由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.・••有X600=300个符合题设的六位数.应选B.例13 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有( ).解：如图，正方体有 8 个顶点，任取 4 个的组合数为 C4 =70 个.8其中共面四点分 3 类：构成侧面的有 6 组；构成垂直底面的对角面的有 2 组；形 如(ADBC )的有4组.11・•・能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)应选C.例 14 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的棱所在的 12 条直线 中，异面直线共有( ).A.12 对 B.24 对C.36 对 D.48 对解：设正六棱锥为 O—ABCDEF.任取一侧棱OA(Ci)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.6・•・共有06X4=24对异面直线.应选 B.例15 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点 为顶点的三角形 共 个(以数字作答).解：7点中任取3个则有C3 =35组.7其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).・三角形个数为35-3=32个.例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集 数为T,则的值为 。

解 10个元素的集合的全部子集数有：S = CC1 +C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 +C8 +C9 +C10 =2 10=102410 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10其中，含3个元素的子集数有T=C3 =12010故=例 17例 17 在 50 件产品 n 中有 4 件是次品，从中任意抽了 5 件 ，至少有3件是次品的抽法共— 种(用数字作答).解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.・・・C3・C2 +C4・Ci =4186(种)4 46 4 46例 18 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、 丙各需 1 人承担，从 10 人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有( ).A.1260 种 B.2025 种C.2520 种 D.5040 种解：先从10人中选2个承担任务甲(C2 )10再从剩余8人中选1人承担任务乙(C1 8)又从剩余7人中选1人承担任务乙(C1 7)・••有 C2 ・C1 8C1 7=2520(种).10应选 C.例19集合｛1,2,3｝子集总共有().A.7 个 B.8 个 C.6 个 D.5 个解 三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成的 子集数C1，由二个元素组成的子集数C2。

33由3个元素组成的子集数C3由加法原理可得集合子集的总个数是3C1 +C2 +C3 +1=3+3+1+1 = 8333故此题应选 B.例20 假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少 有两件次品的抽法有( ).A.C2 C3 种 B.C2 C3 +C3 C23 197 3 197 3 197C.C5 -C5 D.C5 -C 1 C4200 197 200 3 197解：5 件中恰有二件为次品的抽法为 C2 C3 ，3 1975 件中恰三件为次品的抽法为 C3 C2 ，3 197.・・至少有两件次品的抽法为C2 C3 +C3C2 .3 197 3 197应选 B.例21 两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座(每 人一个座位)，则不同座法的总数是( ).A.C5 C3 B.P1 C5 C3 C.P5 P38 8 2 8 8 8 8。