江苏省启东市高三数学上学期第一次月考10月试题文

江苏省启东2017-2018学年度第一学期第一次月考高三数学试卷（文科）注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知集合，，则 ▲ ．2．命题“，x2≥3”的否定是 ▲ ．3．设幂函数的图象经过点，则 ▲ 4．计算 ▲ ．5．若则的值为 ▲ 6.已知满足约束条件若的最大值为4，则的值为 ▲ .7．公差不为的等差数列的前项和为，若成等比数列，，则　 ▲　　．8．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线C：y＝ex上一点，直线l：x＋2y＋c＝0经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为 ▲ ．9．若正实数满足，则的最小值为 ▲ ．10. 设为锐角，若，则的值为 ▲ .11. 如图所示的梯形中， 如果= ▲ .12. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－cosωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区间[－，]上是单调函数，则ω的取值集合为 ▲ .13. 已知函数f(x)是以4为周期的函数，且当－1＜x≤3时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m|x|恰有10个不同零点，则实数m的取值范围为 ▲ .14. 已知函数f(x)＝－xlnx＋ax在(0，e)上是增函数，函数g(x)＝|ex－a|＋，当x∈[0，ln3]时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a的值为 ▲ .二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本小题满分14分）设的内角所对的边分别为,若,（1）求的值；（2）求的值为. 16.（本小题满分14分）设：实数满足，其中；：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.17.（本小题满分14分）小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为年）.（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累积收入+销售收入-总支出）18.（本小题满分16分）如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．OABMNOABMN19.（本小题满分16分）设,函数.（1）证明在上仅有一个零点；（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:20.（本小题满分16分）设数列的前项和为，且满足，为常数．（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．（2）当时，求证：．（3）当时，求证：当时，．答案（文科）1. 2.， 3. 4. 5.3 6. 27．8．－4－ln2. 9．10． 11.12.{，，}． 13.(，8－2) 14.15. .解:1）在中,,由正弦定理,得由余弦定理=-------7分 2）-------10分 -------14分16.解：（1）由，得，又，所以，当时，，即为真时实数的取值范围是.为真时等价于，得，即为真时实数的取值范围是.若为真，则实数的取值范围是.（2）是的必要不充分条件，等价于且，设，，则；则，所以实数的取值范围是.17.解：（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元， 则， 即， 由，解得， 而，故从第三年开始运输累计收入超过总支出. （2）因为利润=累积收入+销售收入-总支出，所以销售二手货车后，小张的年平均利润 为， 而，当且仅当时等号成立。

答：第5年底出售货车，年平均利润最大.18.解：（1）在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．在△OMN中，由＝，得MN＝×＝．（2）解法1：设AM＝x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．由＝，得ON＝·＝．所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝，0＜x＜3．令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则S△OMN＝＝(t－9＋)≥·(2－9)＝．当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为．所以M的位置为距离A点6－3 km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2．解法2：设∠AOM＝θ，0＜θ＜在△OAM中，由＝，得OM＝．在△OAN中，由＝，得ON＝＝．所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝＝＝＝＝，0＜θ＜．当2θ＋＝，即θ＝时，S△OMN的最小值为．所以应设计∠AOM＝，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2．19.解：（1）f'（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2∴f′（x）≥0，-------2分∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．∵a＞1．∴1﹣a＜0又f（0）=1﹣a，∴f（0）＜0．，使得∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点--------------------7分（2）证明：f'（x）=ex（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=ex0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1-------------9分将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴------11分令；g（m）=em﹣（m+1）g（m）=em﹣（m+1），则g'（m）=em﹣1，由g'（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0 ------------13分∴g（m）=em﹣（m+1）≥0∴em≥m+1∴em（m+1）2≥（m+1）3即：∴m≤--------------------------------16分解：（1）若，则，即，即，则，所以不存在数列使得． （2）由得，当时，，两式相减得，即，，，，当时，，即，综上，．（3）证1：由得，当时，，两式相减得，解得，所以当时，，因为，又由可见，所以；另一方面，，故．证2：由得，，所以当时，，下同证1.。