数列求和方法答案

高中数学系列复习资料11ïïî1nnnn3nnnn数列求和方法总结设计人——许东鹏数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、 差数列求和公式：S =nn( a +a ) 1 n2=na +1n( n -1) 2dì na2、等比数列求和公式： S =ía (1 -qn 11 -qn) a -a q = 1 n1 -q( q =1)( q ¹1)3、S =åk = n ( n +1)2k =14、S =nåk =1k21= n( n +1)(2n +1) 64、S =nåk =11k 3 =[ n( n +1)] 22例 ：已知log x =3-1log 32，求x +x 2 +x 3 +×××+xn+×××的前 n 项和.解：由-1log x = Þ loglog 323x =-log 2 Þ x =312由等比数列求和公式得Sn=x +x 2 +x 3 +×××+xn x(1 -x n )＝1 -x＝1 1(1 -2 2 n11 -1)＝1－12 n解析：如果计算过程中出现了这些关于 n 的多项式的求和形式，可以直接利用公式。

二、错位相减这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a · b }的前 n 项和，其中{ a }、{ b }分别是等差数列和等比数列2nnnnnnn例：求数列 a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a 为常数)的前 n 项和解：若 a=0, 则 S =0 若 a=1,则 S =1+2+3+…+n=若 a≠0 且 a≠1n ( n +1) 2则 S =a+2a2+3a3+4a4+…+ nan∴aS = a2+2 a3+3 a4+…+nan+1∴(1-a) S =a+ a2+ a3+…+an- nan+1=a -a n +1 1 -a-nan +1∴S =a -a n +1 na n +1- (a ¹1) (1 -a ) 2 1 -a当 a=0 时，此式也成立n ( n +1) 2( a =1)∴S =解析：数列a -a n +1 na n +1- (a ¹1)(1 -a ) 2 1 -a{nan}是由数列{n}与{an}对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前 n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成 两种情况。

三、倒序相加这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个( a +a ) 1 n[例 5] 求证： C0n+3C1n+5C2n+×××+(2n+1)Cnn=( n +1)2n证明： 设S =Cn0n+3C1n+5C2n+×××+(2n+1)Cnn………………………….. ①把①式右边倒转过来得S =(2n +1)C n +(2 n -1)C n -1 +×××+3C1+C0 n n n n n（反序）又由Cmn=Cn -mn可得S =(2n +1)C n0n+(2 n -1)C1n+×××+3Cn -1n+Cnn…………..…….. ②3nnnn①+②得2 S =(2n +2)(C n0n+C1n+×××+Cn -1n+Cnn) =2( n +1) ×2n（反序相加）∴S =( n +1) ×2 nn解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的四、分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例：S =-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)解法：按 n 为奇偶数进行分组，连续两项为一组当 n 为奇数时：S =(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)n -1=2× +(-2n+1)2=-n当 n 为偶数时：S =(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)]n=2×2=n∴Sn=-n (n 为奇数)n （n 为偶数）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：（1）a = f ( n +1) - f ( n) n（2）sin1cos n cos( n +1)=tan(n +1) -tan n（3）a =n1 1 1= - n(n +1) n n +1（4）a =n(2n ) 2 1 1 1=1 + ( - )(2 n -1)(2 n +1) 2 2n -1 2 n +1（5）a =n1 1 1 1= [ -n(n +1)( n +2) 2 n( n +1) ( n +1)( n +2)](6)a =nn +2 1 2( n +1) -n 1 1 1 1× = × = - , 则S =1 -n ( n +1) 2 n n ( n +1) 2 n n ×2n-1 ( n +1)2 n ( n +1)2n例：求数列1 1 1 1， ， ，…， ，…的前 n 项和 S 1´3 2 ´4 3 ´5 n( n +2)解：∵1 1 1 1= ( -n( n +2) 2 n n +2）4nêúnn200220022002S ===1 é 1 1 1 1 1 ù (1 - ) +( - ) +×××+(- )2 ë 3 2 4 n n +2 û 1 1 1 1(1 - - - )2 2 n +1 n +23 1 1- -4 2 n +2 2n +4解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面 还很可能和极限、求参数的最大小值联系。

六、合并求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求 S .例： 数列{a }：a =1, a =3, a =2, a 1 2 3n +2=an +1-an，求 S .解：设 S ＝a +a +a +×××+a 1 2 32002由a =1, a =3, a =2, a 1 2 3n +2=an +1-an可得a =-1, a =-3, a =-2,4 5 6a =1, a =3, a =2, a =-1, a =-3, a =-2, 7 8 9 10 11 12……a6 k +1=1, a6 k +2=3, a6 k +3=2, a6 k +4=-1, a6 k +5=-3, a6 k +6=-2∵a6 k +1+a6 k +2+a6 k +3+a6 k +4+a6 k +5+a6 k +6=0（找特殊性质项）∴ S ＝a +a +a +×××+a 1 2 32002（合并求和）＝( a +a +a +×××a)+(a +a +×××a)+×××+(a 1 2 3 6 7 8 126 k +1+a6 k +2+×××+a6 k +6)+×××+(a1993+a1994+×××+a 1998) +a1999+a2000+a2001+a2002＝a1999+a2000+a2001+a2002＝a6 k +1+a6 k +2+a6 k +3+a6 k +4＝5七、拆项求和先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。

5nnn[êënn例：求数 5，55，555，…，55…5 的前 n 项和 S5解： 因为 55…5= (10 -1)n 9所以 S =5+55+555+…+55…5nn=59(10 -1) +(102-1) +×××+(10n-1)]=5 é10(10 n -1) 9 10 -1-nùúû=50815 50 ´10 n - n -9 81解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和另外：S =1 1 11 +2 +3 +×××+n 2 4 812 n可以拆成：S =（1+2+3+…+n）+(1 1 1 1 + + +×××+2 4 8 2 n)说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习 参考文献：燕赵都市报6。