北理826六年真题
机密★启用前北京理工大学2003年攻读硕士学位研究生试题答案必须书 写在答题纸上， 在试题和草稿纸 上答题无效入学考试试题科目代码:科目名称:426 科目分号： 0111信号处理导论注：试题上不准填写准考证号和姓名一.（30分）简述题（每小题3分）1.一个LTI系统有多种描述方法，试给出五种方法，并指出它们之间的联系2.一个确定信号在频域用傅里叶变换表示，试按信号在时域是周期、非周期、连续、离散，分别写出相应形式的傅里叶变换离散傅里叶变换（DFT）是其中一种形式吗?3.一个存在全部时域（-8,+8）的周期信号，如果要求在变换域求其作用于LTI系统的响应，应采用傅里叶变换还是拉氏变换？或者两种变换都可采用？为什么？4.若由下列系统函数描述的离散时间系统是稳定的，那它一定是因果的吗？为什么？5.根据下列微分方程，能否判定该系统是稳定的吗？为什么？6.由下式描述的系统是时不变的吗？为什么？（式中的x（n），y（n）分别表示系统的输入和输出）y(n)=野 3-n (!) n-k x(k)k=一87.试给出设计数字滤波器的一般步骤8.9.如何保证所设计的FIR数字滤波器具有线性相位?能否仅根据其频率响应的有限个取样值，确定出该数字滤波器？说明你的理由。
10.分别给出序列线性卷积、圆周卷积和周期卷积的定义，并指出它们间的联系25分）考虑一个离散时间LTI系统，当其输入为x(n) = 8 (n) + 上 8 (N -1)2相应的输出为y(n) = (：) nu(n)1. (10分)用时域法求此系统的单位抽样响应h(n)；2. (10分)用z变换法求此系统的单位抽样响应h(n)；3. (5分)给出描述此系统的差分方程，并画出模拟框图三. (25分)考虑一个输入、输出分别为f (t)和y(t)的连续时间系统，其系统函数为H (s)=1. (3分)画出H(s)的极点和零点图；2. (5分)假定H(s)是稳定的，确定其收敛域，并求系统的单位冲激响应h(t)；3. (5分)求描述此系统的线性常系数微分方程，并画出其直接II型框图；4. (5分)若输入f (t) = exp(-0.5t)，对全部t，求系统输出y(t)；5. (7分)确定描述此系统的状态方程和输出方程，并求状态转移矩阵中(t)四. (25分)已知系统框图如图1 (a)所示，其中输入信号x(t)为周期性矩形脉冲，如图1(b)所示；8 T(t)为周期性单位冲激串， 统的冲激响应，其表达式分别为其周期T T； h(t), h2 (t)分别是图中两个子系2 sin(兀 t) h1( t)= -^—8 < t < +81. （5分）求x（t）的频谱X（j）的表示式，并画出其频谱图（注明过零点的频率值）；2. （5分）求*（t）的频谱匕的表示式，并画出其频谱图；3. （5分）求匕（j ）的表示式（以匕（沁）表示），并画出其频谱图；该频谱会发生 混叠吗？为什么？4. （5分）写出七（加）的表示式（以七（加）表示），并画出其频谱图；5. （5分）写出y（t）的频谱y（j^）的表示式，指明yC/3）对应的原信号y（t）有何 特点。
五. （20分）设有两个实序列气（n）和X2 （n），其长度分别为8192和64,试给出快速计算气（n） 和x^n）线性卷积的方法步骤及其相应的运算量要求利用基2FFT，同时尽量减少乘法 运算次数六. （25分）关于IIR数字滤波器：1. （15分）给出一般形式的IIR数字滤波器的三种基本结构，即直接型、级联型和并 联型，并指出上述三种结构的优缺点及应用场合2. （10分）证明采用双线性变换方法设计的IIR数字滤波器与原模拟滤波器具有相类似的特性机密★启用前试题答案必须书 写在答题纸上， 在试题和草稿纸 上答题无效北京理工大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码： 426 科目分号： 科目名称： 信号处理导论 注：®表示数字频率一.(30分)简述题(每小题5分)11. 画出函数5(COS的波形，并计算积分值：A = j +兀(1 +1)5 (cost)dt—兀12. 已知x(n) = (n + 1)[u(n) — u(n — 4)],画出下列函数的图形：y(n) = x(2n +1) + 5(n — 2) x(n)13.已知LTI系统的输入和输出满足如下关系、5 一 1、 .、如=祝3十"k=一8试确定该系统是否因果、稳定，并说明理由。
14.15.系统函数H(z) = 1 ,其中I a 1< 1,试问arg{a }无论如何取值，H(z)代表1—aZ —1的一定是低通滤波器吗？为什么？已知序列x(n) = {1,2,3,4}和y(n) = {0,0,1,1}，给出x(n)和y(n)的4点圆周卷积和4点圆周相关的结果16.利用双线性法，从模拟低通设计数字低通滤波器时，为什么要预畸？简单说明预畸的作法？.(25分)已知一个因果LTI离散时间系统的初始条件为y0(0) = 2，y0(1) =1，当输入序列 x(n) = u(n)时，其完全响应为 y(n) = [0.5 + 4(2)n — 2.5(3)n]u(n)要求：1. (8分)系统的零输入响应y0(n)2. (5分)系统函数H(z)，并画出其零极点图3. (5分)判断此系统的频率响应函数Hg是否存在如存在，请写出其表示式；如不存在，请说明原因4. (7分)由H(Z)写出系统的状态方程的A、B、C、D矩阵三. (25分)某系统由两个LTI子系统并联而成，其中一个子系统的单位抽样响应为 %(%)=(3)nu(n)，并联后的系统频率响应为H (e加)=T2+%5-沁12 — 7e - 沁 + e - j 2«1. (8分)求另一个子系统的单位抽样响应h2(n)；2. (8分)假设系统输入x(n) — (^)nu(n)，用频域分析法分别求两个子系统的输出 yi (n)和 y2 (n)；3. (4分)在相同输入的情况下，求并联系统的输出y(n)；4. (5分)写出并联系统联系输入和输出的差分方程，并画出模拟图。
四. (25分)已知一个LTI系统在以下三种输入信号的情况下具有相同初始条件，当输入信 号为气⑺=8 (t)时，其全响应为yi(t) =8 (t) + e-tu(t)；当输入信号为x2(t)= 〃⑺时， 其全响应为y() = 3e - tu(t)要求：1. (12分)根据以上两个条件，求出该系统的H(s)，h(t)和系统的零输入响应y0(t)；2. (8分)用拉氏变换法求当输入信号x3(t) =tu(t) + (t-1)u(t-1)时的零 状态响应及全响应；3. (5分)画出该系统的任意一种模拟图和幅频特性曲线五. (25分)关于FFT及其应用：1. (15分)设有一有限长实序列x(n)，0 < n < N-1，试给出利用基2FFT计算自相 关序列y(n)的方法步骤，要求尽量减少乘法运算次数提示：自相关指x(n)与其 自身的线性相关)2. (10分)给出按频率抽取(DIF)基2FFT算法的蝶形运算公式，画出N=8时相应的 算法流图，并说明其特点六. (20分)设理想数字带通滤波器的幅频响应为\H （"）1=」 4 2d JU 710 1（0* — , — <|CO|<71〔 4, 2要求用频率取样设计法设计相应的N=17时的线性相位FIR数字带通滤波器:1. （5分）确定频率取样值H（k）, k = 0,1, ,N-1；2. （5分）给出系统函数H（z）；3. （5分）给出频率响应H（e加）；4. （5分）画出系统的任意一种结构图。
★答卷须知：试题答案必须书 写在答题纸上， 在试题和草稿纸 上答题无效北京理工大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码： 426 科目名称： 信号处理导论.(30分)简述题(每小题5分)17. 由差分方程y[ni+2y[n-1] = X[n]描述的系统在什么条件下是稳定的18. 已知LTI系统，给定初始状态不变，当输入为 x(it) = u(t)时，系统全响应为 y(t) = (2e-2t - 3e-3t )u(t)；当输入为 x(t) = 3u(t)时，系统全响应为 y(^) = (4e -2t - 5e -3t >^u(t) ；问给定初始状态下的零输入响应y0 (t)为何？19. 两个离散时间信号都是从0时刻开始取值为1，长度为4的序列，分别求它们的 线性卷积和4点圆周卷积20. 确定如下信号的奈奎斯特抽样率x(t) = si n(200t)+si n(50t)21. 一个连续时间信号的拉氏变换X (s)有两个极点七=2, % = -1，指出X (s)所有可 能的收敛域(ROC)，并对每一种ROC指出其反变换x(t)可能是下述哪一种函数： 右边；左边；双边22.已知一个连续时间信号的最高频率成分不超过5kHz，按10kHz进行抽样，得到离 散信号；对此离散信号作DTFT，在切=。
・3冗处存在一个冲激串问：(1)在①轴其它位置是否也有冲激，若有，写出其位置的值；(2) 这个冲激对应的模拟信号的频率值是多大？.(25分)已知系统的单位冲激响应ht) = u(t) -u(t -T)，求：(1) (9分)系统函数H(s)及频率响应Hg，并画出Hg的幅频特性和相频 特性；(2) (8分)当输入为h(t) = u(t)-u(t-T)时，求系统的零状态响应yx(t)，并画 出其波形；（3）（8分）当输入为%（t） = * （1—e-3t）5（t-nT）时，求系统的零状态响应yx（t）, n=0并画出其波形25分）已知系统如图3所示%1 (t)=——[3&0其它求:（1）（7分）写出X]（①）的表达式，画出X1 （必）及X 2（®）的频谱图;(2)（6分）画出X3 （园的频谱图;(3)（6分）画出X 4 （切）的频谱图;（4）（6分）画出X5 （®）的频谱图，并求出X （）的数学表示式冗rsin①t,『]2 切-EI ① 1< 3©0其它四.（25分）已知一个离散时间LTI系统的抽样响应h[n]如图4（a）所示，其中k是未知整数，a,b,c是未知实数，已知hn]满足如下条件：（1） 设H（幻3）是hn]的DTFT，且H（ej©）为实偶函数；（2） 若输入 Xn] = （-1）n = ej©n，—8< n 假定补零后的序列记为y[n],其长度为L（L>N）,并用基2FFT计 算其频谱试求：（1） （4分）加权窗函数w[n]的长度；（2） （4分）加窗处理后序列z[n]的表达式；（3） （7分）说明为什么这样做可以减小栅栏效应和频谱泄漏2. （10分）给出按时间抽取（DIT）基2FFT算法的蝶形运算公式（3分），画出N=8 时相应的算法流图（5分），并说明其特点（2分）六.（20分）设理想数字带通滤波器的幅频响应为n n,…]1 4 1①|弓"|o i④i 图2 图33. 时间序列x[n] = cos® 0〃,一8< n <+8一定是周期的吗？为什么？s +14. 已知系统函数H (s)= 於，画出可能的收敛域；系统能否是因果稳定的，说明理s 2 + s 一 6 由5. 计算有限长时间序列x(n) = eg + cos(£n),0 1 1 dt 1 1(1) (10分)求子系统H1(s)的单位冲激响应h()；(2) (5分)求整个系统的H(s)；(3) (5分)若要使整个系统稳定，确定k的取值范围；(4) (5分)当k — 5时，若整个系统的输入为x(t) = e3t,—8 六、 (20分)设理想数字高通滤波器的幅频响应为13兀/4 < |创 <兀H (ej^)= <01 1闽< 3兀/4要求用频率取样法设计相应的N = 15时的线性相位因果FIR数字高通滤波器:(1) (10分)确定H(k),0 < k < N-1，并画出其幅值的图形；(2) (5分)确定滤波器的系统函数H(Z)；(3) (5分)画出滤波器的任意一种结构图北京理工大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题一. 简答题(10*5=50分)1. 设有一信号x(t) = 8(t)-35(t-4)，画出x(1 -2t)的信号波形2. 一个理想延迟系统y(t) = x(t-1 )，其中x(t)为输入，y(t)为输出，写出其单d位冲激相应和频率响应n 一3. 一个累加器系统y(n) = Z x(k), x(n)为输入，y(n)为输出，写出该系k = —8统的差分方程，并画出模拟框图4. 设一实序列x(n) = anu(n)，(其中lal< 1 )，写出其离散时间傅立叶变化X(e川)，并证明其满足共轭对称性5. 对于一个具有如下频率响应的理想滤波器，写出其单位脉冲响应h(n)，并指 出它是什么类型的滤波器。 H(ew) = f—Jwnd，Wc <| 讪50,l w l< wc6. 已知一线性时不变系统，当其输入为图1 (a)时，其输出如图1 (b)，求其 单位冲激响应h(t )x(t) y(t)(a) (b)7. 一个离散时间LTI全通系统(全通系统的频率响应的膜为常数)，设其单位脉 冲响应为h(n)，简要说明如下两个系统也是全通系统a) h(n) *h(n)(b) (-1) nh(n)8. x(t)是已录制在磁带上的声音信号，x(t) — X(Q)，分别指出X(Q/2), X(2Q) 是以何种速度播放9. 已知一离散时间系统y(n) = nx(n) +1，x(n)为系统输入，y(n)为输出试判 断该系统是否是线性的、时不变、因果的和稳定的10. 实连续时间信号x(t)是由频率为30Hz和80Hz两个正弦信号组成，用采样频率f =100Hz对其采样，试问采样后的信号在0〜50Hz的范围内的频谱中由哪些频率分量二. (20分)一个如图2所示的因果连续时间系统1) 确定k值的范围，使闭环系统是一稳定系统；(2) 对于某特定的k值，闭环系统具有两个实极点，其中一个极点为s = -1， 确定另一极点及相应的k值，并求闭环系统的单位阶跃响应。 3) 在(2)的条件下，系统初始值y0(0) = 1,yy) = 0，若使系统的全响应y(t) = 0， 求系统的输入s 2 — 2s +1y(t)ks三. (20分)信号x(t)作用于一个连续时间LTI系统，其输出y(t)的卷积形式给 出如下：y(t)T — t、. 产 x(T )w( )dTa(1)写出系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H(Q)的表达式(设w(t)的傅立叶变换为W(Q))；sm兀t(2)当w(t) = ~nr~C°S nt，求出傅立叶变换w(Q)和H(Q)，画出二者的频域图形并注明主要频率参数；(3) 指明系统是何种滤波器？写出在H(Q)〜Q图形中，通带宽度、通带中心频 率以及二者之比的表达式；讨论参数a变化时，三者的变化情况四、(20分)1. (10分)一个稳定LTI系统，其输入x0(n)，输出y0(n)如图3 (a)所示1)求该系统的单位脉冲响应h(n)，画出h(n)的图形；(2)当对系统施加如图3 (b)所示的输入气(n)时，求系统响应y(n)x (n)2—I 1 ► ni=^>-1 0 1 n炊)2一2 -1 o I 1 2 n-2(a)x (n)(b)图32. (10 分)(1) 画出基-2按时间抽取的8点FFT流图；(2) 写出利用N点基-2FFT算法计算2N点实序列FFT的步骤。 五(20分)用脉冲响应不变法设计巴特渥斯(Butterworth)数字低通滤波器 其技术指标为：0.7079 <1 H (ejw) |< 1,0 <1 w 1< 0.15兀I H(ejw)|< 0.3162,0.5兀 <1 w 1< 兀设抽样间隔T=11)设计模拟巴特渥斯低通滤波器，给出其零极点图及系统函数";(2)求出数字低通滤波器的系统函数H(Z，画出零极图;(3)(4)给出数字低通滤波器的差分方程及结构图简述脉冲响应不变法和双线性变换法的优缺点设计公式：(i)巴特渥斯模拟滤波器的极点为. . 2 k —1、S^ =Q ej(2F),k = 12・・.NS平面到Z平面的映射为4 n Aks — s 1 — eskTz —ik k(iii)(iv)所有小数取小数点后3位巴特渥斯模拟滤波器的阶数lOg (10-0.1a — 1)N = ,_g10 min2log10(Qs /Q ) , amin为阻带最小衰减， 其值为对应于阻带指标0.3162的分贝数；Qc, Qs分别为通带边界频 率和阻带边界频率ii)六、(20分)一个离散时间LTI系统，输入x(n)，输出为y(n)已知下列情况:a.若对全部n，x(n) = (-2)n ；则对全部n，有y(n) = ° ；b.若对全部n，x(n) = (1/2)nu(n)；则对全部n，有y(n) =5 (n) + q(1/4)nu(n)，其中a为一常数。 1) 求常数a的值；(2) 画出系统并联结构图；(3) 当输入为Xn)=(1/3)nu(n)时，求系统的响应y(n)北京理工大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题注：o数字频率，Q为模拟频率一，(50分)简答题(本题包含10道小题，每题5分)1. 已知连续时间信号 x(t) = 25 (t -1) + u(t - 2) + u(t - 3) - 2u(t - 4),画出 x(t)和x(1 - 2t)的信号波形2. 已知系统输入x(t)和输出y(t)的关系：y(t)=sin[x(t)]，试推 断该系统是否为时不变系统3. 利用DFT对一连续信号x(t)进行频谱分析，抽样间隔 T = 0.1 x 10-3秒，要求频率分辨率不大于10HZ确定所允许处s理信号x(t)的最高频率，最少取样点数(必须是2的整数次方) 和最短记录时间各是多少？4. 一个实系数差分方程描述的线性相位FIR系统，已知中的3 个零点分别为1, 0.6, 0.5+j0.5试问该系统的阶数至少是 多少？5. 已知一个理想低通数字滤波器的单位脉冲响应为h(n)，频率 响应为H(ejw)，其中0, ^ < ^ < K F试问：«(n =(—Dnh(n)是低通，高通，带通还是带阻滤波 器？画出它的幅频特性I H1(ejw )1的图形。 6. 已知一个LTI系统的输入x(t)和输出y(t)的关系：1 〃 .y(t)= 』t+t2 x(t 对T + T t-T 其中是T， T非负实1 2 1 1 2数，利用特征函数的概念求该系统的单位冲激响应h(t)，并画 出其波形7. 已知连续时间实信号 x(t)的傅里叶变换为x(Q)，证明：|X(Q)| = |X(—Q)| 和 argX(Q) =—argX(—Q)8. 已知某LTI系统的频率响应为：H(jQ) =1—]Q，判断该系统1 + jQ是否为无失真传输系统，说明其原因9. 计算离散时间序列x(n) = 2nu(—n +1)的离散时间傅里叶变换X (e加)10. 已知某系统的单位冲激响应h(t) = e?u()，输入为x(t) = f (t)[u(t) — u(t — 2)] + P5 (t — 2)其中 f(t)为 t 的任意函数1) 求t>2时系统的输出y(t)；(2) 若要求系统在t>2的输出为零，试确定"勺值二，(20分)解答如下问题:(1) 求如下连续时间信号的傅里叶系数七kx (t)二 sin(2兀ft) , -8 f t) 0 四，(20分)已知一个连续时间LTI系统，其系统函数H(s)的零 极点图如图1所示，其方框图如图2所示爪 Im{s}-10 T 0 Re{s}图1 (其中原点是零点，-1, -10是极点)(1)H (s)若s=—5 — 4，确定系统函数的表达式;(2)确定图2中的实系数A, B, C的值;(3)系统的收敛域有几种可能的形式？并给出系统为因果稳定时的收敛域在系统为因果稳定条件下，回答下列问题:（4）求系统的单位阶跃响应s（t），概画出s（t）的波形;（5）若把此系统看作一个模拟滤波器，它属于哪种形式的滤波器（低通，高通，带通）？并用脉冲响应不变法把此 滤波器设计成数字滤波器（设抽样频率fs = 100HZ），得出 数字滤波器的系统函数H(z)五，(20分)已知离散时间序列x(.n) = n , 0 < n < 2x (n) = u(n) - u(n - 4) 2(1) 直接求线性卷积y(n) = x1 (n) * x2 (n)；(2) 计算x (n)和x (n)的5点圆周卷积y(n)，验证y(n)是否等于1 2y(n)；(3) 写出利用基一2FFT计算(1)中线性卷积y(n)的步骤；(4) 给出按时间抽取的基-2FFT算法的碟形公式和N=8点时 的运算次数。 六，(20分)回答下列问题(1) 一个用N阶实系数线性差分方程描述的FIR系统，输入 为x(n)，输出为y(n)，写出其差分方程式已知x(n)，在 求解输出y(n)时，是否需要附加初始条件？(2) 由(1)中得到的差分方程，写出FIR系统的单位脉冲响 应h(n)(要求以序列形式表示)和系统函数H(z)；(3) FIR系统较容易实现线性相位频率响应，为此系统的单 位脉冲响应应满足什么条件？(4) 用窗函数法设计线性相位FIR滤波器时，常用的窗函数 有哪些？选择窗函数的类型及长度的依据是什么？简述 窗函数设计法的步骤。
