2022高考数学一轮复习第4章三角函数第7课时正余弦定理练习理1．(2018·安徽马鞍山一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝60°，则c＝( )A. B．1C. D．2答案 B解析 ∵a＝，b＝2，A＝60°，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得3＝4＋c2－2×2×c×，整理得c2－2c＋1＝0，解得c＝1.故选B.2．(2018·山西五校联考)在△ABC中，a＝b，A＝120°，则角B的大小为( )A．30° B．45°C．60° D．90°答案 A解析 由正弦定理＝得＝，解得sinB＝.因为A＝120°，所以B＝30°.故选A.3．(2018·陕西西安一中期中)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( )A．(0，] B．[，π)C．(0，] D．[，π)答案 C解析 ∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，∴bc≤b2＋c2－a2.∴cosA＝≥，∴A≤.∵A>0，∴A的取值范围是(0，]．故选C.4．(2018·广东惠州三调)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为( )A.＋1 B.－1C．4 D．2答案 A解析 由正弦定理＝，得sinB＝＝.又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以S＝bcsinA＝×2×2sin＝×2××＝＋1.故选A.5．(2018·东北八校联考)已知△ABC三边a，b，c上的高分别为，，1，则cosA＝( )A. B．－C．－ D．－答案 C解析 设△ABC的面积为S，则a＝4S，B＝2S，c＝2S，因此cosA＝＝－.故选C.6．(2016·山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)．则A＝( )A. B.C. D.答案 C解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0b，∴C＝60°或C＝120°.∴A＝90°或A＝30°.∴S△ABC＝bcsinA＝或.10．(2018·河南信阳调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S＝(a2＋b2－c2)，则C的大小为________．答案 解析 ∵△ABC的面积为S＝absinC，∴由S＝(a2＋b2－c2)，得(a2＋b2－c2)＝absinC，即absinC＝(a2＋b2－c2)．根据余弦定理，得a2＋b2－c2＝2abcosC，∴absinC＝×2abcosC，得sinC＝cosC，即tanC＝＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.11．(2017·甘肃定西统考)在△ABC中，若＝，则△ABC的形状为________．答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得＝，即＝·.∵sinA>0，sinB>0，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.∴2A＝2kπ＋2B或2A＝2kπ＋π－2B(k∈Z)．∵0a，c>b，即角C最大，所以a3＋b3＝a·a2＋b·b20，则0a＝1，故有a＋b＋c>2，所以△ABC的周长的取值范围是(2，3]．9．(2015·广东，理)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________．答案 1解析 由sinB＝得B＝或，因为C＝，所以B≠，所以B＝，于是A＝.由正弦定理，得＝，所以b＝1.10．(2018·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(sinB，1－cosB)与向量n＝(2，0)的夹角θ的余弦值为.(1)求角B的大小；(2)若b＝，求a＋c的取值范围．答案 (1)π (2)(，2]解析 (1)∵m＝(sinB，1－cosB)，n＝(2，0)，∴m·n＝2sinB，|m|＝＝＝2|sin|.∵00.∴|m|＝2sin.又∵|n|＝2，∴cosθ＝＝＝cos＝.∴＝，∴B＝π.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosπ＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－()2＝(a＋c)2，当且仅当a＝c时，取等号．∴(a＋c)2≤4，即a＋c≤2.又a＋c>b＝，∴a＋c∈(，2]．11.如图所示，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．答案 (1) (2)BD＝3，AC＝7解析 (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.12.如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2，点M在线段PQ上．(1)若OM＝，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．答案 (1)MP＝1或MP＝3 (2)∠POM＝30°时，△OMN面积最小值为8－4解析 (1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝，OP＝2，由余弦定理得，OM2＝OP2＋MP2－2×OP×MP×cos45°，得MP2－4MP＋3＝0，解得MP＝1或MP＝3.(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得＝，∴OM＝，同理ON＝.故S△OMN＝×OM×ON×sin∠MON＝×＝＝＝＝＝＝.∵0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，∴当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN的面积取到最小值，即∠POM＝30°时，△OMN的面积的最小值为8－4.13．(2017·课标全国Ⅲ，理)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．答案 (1)4 (2)解析 (1)由已知可得tanA＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.14．(2017·山东，文)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，·＝－6，S△ABC＝3，求A和a.答案 ；解析 因为·＝－6，所以bccosA＝－6，又S△ABC＝3，所以bcsinA＝6，因此tanA＝－1，又0a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，C＝90°，∴c＝＝2.若B＝120°，C＝30°，∴a＝c＝.2．(2017·西安五校模拟)M为等边△ABC内一动点，且∠CMB＝120°，则的最小值为________．答案 解析 如图，在正△ABC中，设∠MBC＝θ，则∠ACM＝θ，在△BMC中，根据正弦定理可得＝.①在△AMC中，根据正弦定理可得＝.②②÷①得＝≥.3．(2015·安徽，文)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．答案 2解析 因为∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得＝，解得AC＝2.4．(2015·课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．答案 (－，＋)解析 如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形．过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，可求得BP＝＋，在△QBC中，可求得BQ＝－，所以AB的取值范围是(－，＋)．。
