三十六 单 调 性 (15分钟 30分)1．若在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定【解析】选A.因为在区间(a，b)内有f′(x)>0，故f(x)在区间(a，b)内为增函数，所以f(x)>f(a)≥0，即f(x)>0.2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是( )【解析】选A.f′(x)＝2x＋b，由于函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的顶点在第四象限，所以x＝－>0，得b<0.结合选项，可知选A.3．函数f(x)＝x＋ln x在(0，6)上是( )A．单调增函数B．单调减函数C．在上是减函数，在上是增函数D．在上是增函数，在上是减函数【解析】选A.因为x∈(0，6)时，f′(x)＝1＋＞0，所以函数f(x)在(0，6)上单调递增．4．已知函数f(x)＝x2(x－3)，则f(x)在R上的单调递减区间是________，单调递增区间为________．【解析】f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)>0得x>2或x<0；由f′(x)<0得00得x>1，由f′(x)<0得x<1，故f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增，在区间(－∞，1)内单调递减．答案：(1，＋∞) (－∞，1)5．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．【解析】f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．【补偿训练】 已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．【解析】由题意可知a<0，b<0.由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.令y′>0得3ax2＋2bx>0，所以－0，所以函数y＝ax3＋bx2＋5的单调递增区间为，单调递减区间为和(0，＋∞). (30分钟 60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间是( )A．(－∞，1) B．(0，1)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)【解析】选B.函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝－1，由f′(x)＝－1>0，得02f(1)【解析】选D.由题意，当x≥1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，所以函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，所以f(0)＋f(2)>2f(1).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法正确的是( )A．函数y＝f(x)的定义域是[－1，5]B．函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2，4]C．函数y＝f(x)在定义域内是增函数D．函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0【解析】选AB.由图象可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故AB正确．6．(2021·宿迁高二检测)若函数f在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且F＝在区间I上也是单调增函数，则称y＝f是I上的“一致递增函数”．已知f＝x＋，若函数f是区间I上的“一致递增函数”，则区间I可能是( )A． B．C． D．【解析】选AD.f＝x＋，则f′＝，F＝＝1＋，则F′＝，当x∈时，f′＝>>0，函数单调递增，F′＝>0，函数单调递增，A满足；f′＝<0，故B不满足；F′＝－e<0，故C不满足；当x∈时，f′＝>0，F′＝>0，故D满足．【补偿训练】设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(b)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x)D．f(a)g(b)>f(b)g(a)【解析】CD.因为′＝.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)，f(a)·g(b)>g(a)f(b).三、填空题(每小题5分，共10分)7．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．【解析】若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.答案：(0，＋∞)【补偿训练】已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．【解析】由y＝f′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可知f′(x)＞0时f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞).答案：(－1，2)和(4，＋∞)8．函数f(x)＝的增区间是________，曲线f(x)在点(1，1)处的切线方程是________．【解析】f′(x)＝－(x>0)，令f′(x)>0得01时，f＝ax＋b在上单调递增，则由得a2－a－2＝0，得a＝2，b＝0；(ii)当00，则g在上单调递增．(2)因为g＝＝－g，则g在(－1，1)上为奇函数．由g＋g<0，得g
