常微分方程的几何解释

常微分方程 绵阳师范学院第二章第二章 基本定理基本定理2.1 常微分方程的几何解释常微分方程的几何解释2.2 解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理2.3 解的延展解的延展2.4 奇解与包络奇解与包络 常微分方程 绵阳师范学院G2.1 常微分方程的几何解释常微分方程的几何解释2.1.1 线素场线素场一阶微分方程一阶微分方程 d(,)2.1dyf x yx 右端函数右端函数 ,fx y在区域在区域G内有定义内有定义.以以 ,x y为中为中心心,作一单位线段作一单位线段,使其斜率为使其斜率为 ,kfx y,称为在点称为在点的线素的线素.,x y这样在区域这样在区域G上确上确在方向场中在方向场中,方向相同的点方向相同的点的几何轨迹称为的几何轨迹称为等斜线等斜线.定了一个定了一个线素场线素场(又称又称方向场方向场).,fx yk K为参数为参数 常微分方程 绵阳师范学院例例1 试讨论方程试讨论方程dyydxx 所确定的线素场所确定的线素场.解解 除除Y 轴无定义外轴无定义外,方程在两个半平面上都确定方程在两个半平面上都确定了线素场了线素场.易见易见在点在点ykx 的线素与的线素与 ,x y过原点与该点的射线重合过原点与该点的射线重合.常微分方程 绵阳师范学院 定理定理2.1 L为为(2.1)的积分曲线的充要条件是的积分曲线的充要条件是:在在L 上任一点上任一点,L 的切线方向与的切线方向与(2.1)所确定的线所确定的线素场在该点的线素方向重合素场在该点的线素方向重合;即即L在每间点均与在每间点均与线素场的线素相切线素场的线素相切.证明证明 必要性必要性 设设L为为(2.1)的积分曲线的积分曲线,其方程为其方程为,则函数为则函数为(2.1)的一个解的一个解.于是于是,在其有在其有 yx ,xfxx 定义的区间上有定义的区间上有上式左端为曲线上式左端为曲线L在点在点 ,xx 的切线斜率的切线斜率.右端右端恰为方程恰为方程(2.1)的线素场在同一点处的线素斜率的线素场在同一点处的线素斜率 常微分方程 绵阳师范学院素场的线素方向重合素场的线素方向重合,则切线斜率与线素斜率应当相则切线斜率与线素斜率应当相等等.于是于是,在函数在函数 有定义的区间上有定义的区间上,恒有等式恒有等式 ,xx ,xx yx 的切线的切线 与线素场在该与线素场在该点线素重合点线素重合.整个曲线整个曲线L都是这样都是这样.充分性充分性 设方程为设方程为上式左端为曲线上式左端为曲线L L在点在点的曲线的曲线L,在其上任在其上任何一点何一点这个等式恰在此时好说明这个等式恰在此时好说明 为方程为方程(2.1)(2.1)的解的解 yx ,xfxx 处处,它的切线方向都与方程它的切线方向都与方程(2.1)(2.1)的线的线 从而曲线运动从而曲线运动L L为方程的积分曲线为方程的积分曲线.yx 直观地说直观地说:积分曲线是始终积分曲线是始终”顺着顺着”线素场的线素方线素场的线素方向行进的曲线向行进的曲线.常微分方程 绵阳师范学院例例2.dxdy的方向场的方向场研究方程研究方程xy 常微分方程 绵阳师范学院例例3.dxdy2,2|),(的方向场和积分曲线的方向场和积分曲线内画出方程内画出方程在区域在区域yyxyxD 积分曲线积分曲线方向场方向场 常微分方程 绵阳师范学院向量场的示意图向量场的示意图 积分曲线积分曲线 例例7.dxdy2的方向场和积分曲线研究方程yx 常微分方程 绵阳师范学院它在这个区域上确定了一个线素场它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场下面利用线素场求出经过求出经过 的近似积分曲线的近似积分曲线.把把 00,xy假设函数假设函数2.1.2 欧拉折线欧拉折线-求过一点的近似积分曲线求过一点的近似积分曲线 ,fx y00(,),(2.2)()dyf x ydxy xy ,axb y 在给定区域上连续且有界在给定区域上连续且有界.于是于是等分等分,其分点为其分点为:0,0,1,kxxkhkn 0,nbxhxbn 0,x b n 常微分方程 绵阳师范学院 00,fxy ,fx y 0000,yyfxyxx 00,xy 00,fxy先求出先求出0 x1xb2xx0y 11,xyy 22,xy 100010000,yyf xyxxyf xyh 用经过用经过1x 11,xy斜率为斜率为的直线段来近的直线段来近似积分曲线似积分曲线,其方程为其方程为求出直线上横坐标求出直线上横坐标就很接近积分曲线上的点就很接近积分曲线上的点如果如果 h 很小很小处的点的纵坐标处的点的纵坐标 11,xy x因因连续连续.于是由点于是由点出发的斜率为出发的斜率为 11,xy 11,fxy的直线段又近似于原积分曲线的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为它的方程为用经过用经过 常微分方程 绵阳师范学院 1111,yyfxyxx 211121111,yyfxyxxyfxyh 2x求出直线上横坐标求出直线上横坐标处的点的纵坐标处的点的纵坐标类推类推,可求出方程可求出方程(2.1)的真正解在各处的近似值的真正解在各处的近似值这样求得积分曲线的近似折线称为这样求得积分曲线的近似折线称为欧拉折线欧拉折线.这也是微分方程数值解讨论的计算方法之一这也是微分方程数值解讨论的计算方法之一.111,1,2,kkkkyyf xyhkn 常微分方程 绵阳师范学院2.1.3 初值问题初值问题解的存在性解的存在性00(,),(2.2)()dyf x ydxy xy 佩亚诺定理给出了佩亚诺定理给出了:右端函数连续保证初值解的右端函数连续保证初值解的存存在性在性.(在下一节讨论在下一节讨论)需解决的问题需解决的问题?,)(),(1000的的解解是是否否存存在在初初值值问问题题 yxyyxfdxdy?,)(),(2000是是否否唯唯一一的的解解是是存存在在若若初初值值问问题题 yxyyxfdxdy 常微分方程 绵阳师范学院作作 业业 P77 1.(1)(2)3.。