一元二次方程根与系数的关系复习课

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系acxxabxxxxacbxax2121212,)0(0则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx2121212,0则：，的两根为若方程推论1推论20,2121221xxxxxxxx）（方程是为根的一元二次以两个数说出下列各方程的说出下列各方程的两根之和两根之和与与两根之积两根之积：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2 =4(2)2x2-3x+=021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2=-234134在使用在使用韦达定理韦达定理时，应注意：时，应注意：、不是一般式的要先化成一般式；、不是一般式的要先化成一般式；、在使用、在使用X1+X2=时，注意时，注意“”不要漏写不要漏写3）前提是方程有实数根即前提是方程有实数根即0几种常见的求代数式的值几种常见的求代数式的值21113xx、2121xxxx)2)(2.(621xx4)(22121xxxx1221.5xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21.7xx221)(xx 212214)(xxxx22211xx、2212212xxxx、221)(4xx、引申引申:1、若、若ax2 bx c 0(a 0 0)（1）若两根互为相反数）若两根互为相反数,（2）若两根互为倒数）若两根互为倒数,（3）若一根为）若一根为0,（4）若一根为）若一根为1,（5）若一根为）若一根为 1,（6）若）若a、c异号异号,补充规律：则b0;则ac;则c0;则abc0;则abc0;方程一定有两个实数根.例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。

解法一：设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得x1 2=k+1x1 2=3k解这方程组，得x1=3 k=2答：方程的另一个根是3 ,k的值是2作用作用1 1：已知方程一根，求另一根及未知数已知方程一根，求另一根及未知数例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值解法二：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k=-2由韦达定理，得x123k即2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 ,k的值是2作用作用1 1：已知方程一根，求另一根及未知数已知方程一根，求另一根及未知数解：设方程的两根分别为 和 ，则：而方程的两根互为倒数 即 所以：得：例例2.方程方程 的两根互为倒的两根互为倒数，求数，求k的值01232kkxx1x2x1221kxx121 xx112k1k例3.方程3x2+x+k=0的两根之积为-3,求k的值解：设方程的两根分别为x1和x2，则：x1x2=3-3=k k=-9例1.已知两个数的和是1，积是-2，求这两 个数解法一:设两数分别为x,y则:1 yx2 yx解得:x=2y=1或 1y=2解法二:设两数分别为一个一元二次方程的两根则:022aa求得1,221aa这两个数为2和-作用作用2：已知两个数的和与积，求两数：已知两个数的和与积，求两数例例2.2.已知两数之和为已知两数之和为1414，乘积为，乘积为-5151，求这两数，求这两数.设这两数为设这两数为 m,n，解：解：1451mnmn 则m,n可以看作是方程可以看作是方程 x2-14x-51=0的两个根的两个根173mn 317mn 或这两数为这两数为17，-3作用作用2：已知两个数的和与积，求两数：已知两个数的和与积，求两数作用作用3 3：求代数式的值：求代数式的值例1、已知2x2-x-2=0的两根是x1 ,x2 。

求下列代数式的值1)x12+x22 （2）（3）（x1-x2)22111xx解：x1+x2=,x1 x2=-121x12+x22(x1x2)2-2x1x2491-2-)21(2=）（2）x1+x2=,x1 x2=-1212111xx+2121xxxx+=21-1-21=（3）x1+x2=,x1 x2=-121（x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x24171-4-212=）（）（作用作用3 3：求代数式的值：求代数式的值(4)(x1+1)(x2+1)（5）x1-x2 （6）121xx+（4）x1+x2=,x1 x2=-121原式=x1x2+x1+x2+1=211211-=+（5）x1+x2=,x1 x2=-1=21-xx221)(xx 212214)(xxxx）（）1-4-21(2=217=21（6）x1+x2=,x1 x2=-12121211xxxx+=原式1211xxx+=011-1=+=x121-17xx）（2112)8(xxxx+（7）x1+x2=,x1 x2=-121(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x24171-4-212=）（）（217-21=xx212112-1-1xxxxxx=2171-217=（8）x1+x2=,x1 x2=-1212121221212121222-)(xxxxxxxxxxxx+=+=原式49-1-1-2-)21(2=）（例2.已知方程的两个实数根 是且 求k的值。

解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k，x1x2=k+2 又 x12+x2 2=4 即(x1+x2)2-2x1x2=4 K2-2(k+2）=4 K2-2k-8=0 解得：k=4 或k=-2022kkxx2,1xx42221xx =K K2 2-4k-8-4k-8当当k=4k=4时，时，=-8=-80 0k=4(k=4(舍去）舍去）当当k=-2k=-2时，时，=4=40 0 k=-2 k=-2 1.已知已知a、b是一元二次方程是一元二次方程x2+3x-7=0的的两个实数根，求代数式两个实数根，求代数式a2+4a+b的值的值 解：a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根 a2+3a-7=0，a+b=-3，则a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4作业：已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根，求2m2+4n2-6n+2014的值2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值解：x12+(m-2)x1+2=0,x22+(m-2)x2+2=0 x12+2=2x1-mx1,x22+2=2x2-mx2 又x1x2=2 原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2)=2x12x2 =4x1x2 =42 =8作业：已知x1、x2是方程x2-2013x+1=0的两个实数根，求(1-2015x1+x12)(1-2015x2+x22)的值。

3.3.已知已知 m2 2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（mn）求）求(m-1)(n-1).解解:由已知条件得，由已知条件得，m,n是方程是方程 x2 2+2x-2009=0的两个不相等的实数根，的两个不相等的实数根，由韦达定理得：由韦达定理得：m+n=-2,mn=-2009(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-_-(-2)+1=-20064.已知3m2-2m-5=0,5n2+2n-3=0.其中m,n为实数，求 的值nm1-解：3m2-2m-5=0 与05-12-132=nn由于m,的关系没有给定，故应分两种情况：n1当m=时，n101-=nm当m 时，可知m,是方程3x2-2x-5=0的两个根，则n1n1nm1-nmnm14-)1(2+=）（35-4-)32(2=38=3801-=nm综合，得 或5.已知：已知：x1、x2是方程是方程x2-x+a=0的两个实数根，的两个实数根，且且 ，求，求a的值的值.解：据题意得x1+x2=1；x1x2=a3a2+2a-1=0，即.1 1a a3 31 1a a 或或又=1-4a0，a4 41 1a=1/3舍去，a=-1.3112221=+xx3112221=+xx322212221=+xxxx3)(2-)(22121221=+xxxxxx32-12=aa*6.(孝感中考)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2m1)xm20 有两个实数根 x1和 x2.(1)求实数 m 的取值范围；(2)当 x21x220 时，求 m 的值 7.7.已知方程已知方程x2 2+3+3x+1=0+1=0的两个根为的两个根为 求求 的值。

的值解：解：234 1 150,.由韦达定理得：2（）31，22223)2 121(92222（）0,3，同为负数 8.已知关于已知关于 x 的方程的方程 x2 2+2+2（m-2m-2）x+m+m2 2+4=0+4=0 有两个实数根有两个实数根，并且这，并且这两个根的平方和两个根的平方和比比两根的积大两根的积大2121求m m的值解解=4(m-2)2-4(m2+4)=-16m0 m0 设方程两个根为设方程两个根为x1、x2，则由题意：，则由题意：x1+x2=-2(m-2),x1x2=m+4 x12+x22-x1x2=21 (x1+x2)2-3x1x2=21 4(m-2)2-3(m2+4)=21 m2-16m-17=0 m1=-1，m2=17（不符合（不符合m0，舍去），舍去）m=-1 9.当当m为何值时，为何值时，2x2-3mx+2m+3=0的一个根的一个根是另一个根的两倍是另一个根的两倍.解：设两根分别为解：设两根分别为,2,则由韦达定理得：则由韦达定理得：3222322mm2 得得23322322mm即29922(23)mm即2230,mm整理得：(3)1)0mm即(31mm 或298(23)mm 代入得，0 31mm 或10.已知一元二次方程2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和是 ，求的m值。

429解：设方程两根为x1,x2.则212-,22121+=+mxxmxx4292221=+xx4292-)(21221=+xxxx429212-2-)2(2=+mm解得：m1=-11,m2=3当m=-11时，方程为2x2+11x+23=0,=112-42230,方程无实数根，m=-11不合题意，舍去当m=3时，方程为2x23x5=0,=(-3)2-42(-5)0,方程有两个不相等的实数根.m的值为311已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2+4x-3=0的两个不相等的实数根求k的取值范围；是否存在这样的实数k，使 成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由23222121xxxx解：42-4k(-3)0且k0 k 且k034假设存在.kxxkxx3,42121,2322121xxxx又28kk舍去）不符合解得：,34(2,421kkk存在满足条件的k值，且k=41.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+(2k+2)x+k=0有两个不相等的实数根求实数k的取值范围；是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解：（2k+2)2-4k(k-1)0且k-10 k 且k131假设存在假设存在,设方程的两根为设方程的两根为x1，x2 1-,1-22-2121kkxxkkxx=+=+11121=+xx2121xxxx=+1-1-22-kkkk=+，舍去）（不符合31-32-=kk不存在满足条件的不存在满足条件的k13.是否存在实数m，使关于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0的两实数根的平方和为56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

解：假设存在解：假设存在,设方程的两根为设方程的两根为x1，x2 x1+x2=2(m-2)=2m-4,x1x2=m2又又x12+x22=56,(x1+x2)2-2x1x2=56(2m-4)2-2m2=56 即即m2-8m-20=0解得：解得：m1=10,m2=-2当当m=10时，方程为时，方程为x2-16x+100=0,=(-16)2-41000，方程无实数根，方程无实数根，m=10不合题意，舍去不合题意，舍去当当m=-2时，方程为时，方程为x2+8x+4=0,=82-440,方程无方程无实数根，实数根，m=-2不合题意，舍去不合题意，舍去不存在满足条件的不存在满足条件的m例例1.1.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2 2-6 6x+2=0+2=0的两根平方的倒数的两根平方的倒数.解：设方程解：设方程x2 2-6 6x+2=0+2=0的两根为的两根为m,n,设所求方程的两根为设所求方程的两根为x1 1,x2122212221111xxmnx xmn，6,2mnmn22222 21 1 m nm nmn 而222()2mnmnm n82 21114mn 21804xx所求方程为243210 xx 即作用作用4 4：求作一个一元二次方程：求作一个一元二次方程 2.甲、乙两同学解方程甲、乙两同学解方程x2+px+q=0，甲看错了一，甲看错了一次项系数次项系数p，解得根为，解得根为4和和-9；乙看错了常数项；乙看错了常数项q，解得根为解得根为2和和3；求原方程。

求原方程解：甲看错了一次项系数，解得根为解：甲看错了一次项系数，解得根为4和和-9，得，得q=4(-9)=-36，乙看错了常数项，解得根为乙看错了常数项，解得根为2和和3，得，得p=-（2+3）=-5 则原则原方程为方程为：x2-5x-36=0，例例1 1：已知方程已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0解：解：（1 1）设方程的两个根为）设方程的两个根为x1 1,x2 2，22122124(1)4(2)02(1)020kkxxkx xk 12801(2)(2)0kkkk32122kkkk 或2k 则则x1 1 0 0 ，x2 2 0 0作用作用5 5：研究方程根的情况：研究方程根的情况（1 1）k 为何值时，方程有两个负数根？为何值时，方程有两个负数根？例例1 1：已知方程已知方程 x2-2(k-1)x+k2-2=0（2 2）k 为何值时，方程有一正根和负根？为何值时，方程有一正根和负根？解：解：(2)(2)设方程的两个根为设方程的两个根为x1 1,x2 2，222124(1)4(2)020kkx xk 1280(2)(2)0kkk3222kk22k则则x1 1 0 0作用作用5 5：研究方程根的情况：研究方程根的情况补充规律：一正根，一负根0 x1x20两个正根0 x1x20 x1+x20两个负根0 x1x20 x1+x2000例例2 2：方程：方程 有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求mm的取值范围。

的取值范围0)1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1)0(0122mmmxmx解：设方程的两个根为解：设方程的两个根为x1 1,x2 2，则则x1 1 0 0 1 1、应用一元二次方程的根与系数关系时，应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式首先要把已知方程化成一般形式.2、熟练掌握根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，灵活运用灵活运用根与系数关系解决问题；根与系数关系解决问题；3、探索解题思路，归纳解题思想方法探索解题思路，归纳解题思想方法要学习好只有一条路要学习好只有一条路 探索探索。