46三角函数的应用

立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版1第四章第四章 三角函数三角函数第 讲立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版2考考点点搜搜索索与三角函数图象有关的应用题与三角函数图象有关的应用题 设角为参数，利用三角函数设角为参数，利用三角函数有关知识求最值有关知识求最值高高考考猜猜想想 实际应用问题往往与解三角实际应用问题往往与解三角形有关，单纯以纯三角函数作为背景形有关，单纯以纯三角函数作为背景的题不多见的题不多见.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版3三角函数应用问题的特点和处理方法 1.三角函数的实际应用是指用三角函数三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题题. 2. 三角函数应用题的特点是：实际问三角函数应用题的特点是：实际问题的意义反映在三角形中的边、角关系上题的意义反映在三角形中的边、角关系上;引进角为参数，利用三角函数的有关公式进引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题行推理，解决最优化问题.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版43. 解决三角函数应用问题和解决解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答论变量的性质，最后作出结论并回答问题问题.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版51.设实数设实数x,y,m,n满足：满足：m2+n2=a, x2+y2=b(a,b是正常数且是正常数且ab),那么那么mx+ny的最大值是的最大值是( ) 2222 A. B. 2C. D. 22a bababab立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版6 因为实数因为实数x,y,m,n满足：满足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常数且是正常数且ab)， 所以可设所以可设coscos,sinsinmaxbnayb则则mx+ny= 所以所以mx+ny的最大值是的最大值是 .故选故选B.cos(-),abab立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版7 2.2002年在北京召开的国际数学家大会，年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数会标是以我国古代数 学家赵爽的弦图为基学家赵爽的弦图为基 础设计的础设计的.弦图是由四弦图是由四 个全等的直角三角形个全等的直角三角形 与一个小正方形拼成与一个小正方形拼成 的一个大正方形的一个大正方形(如图如图). 如果小正方形的面积为如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，直角三角形中较小的锐角为，那么，那么cos2的值等于的值等于_.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版8 设直角三角形的短边为设直角三角形的短边为x，则则解得解得x=3，所以，所以则则222(1)5 ,xx3sin,52cos21- 2s2in7.5立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版93.如图，单摆从某点如图，单摆从某点 开始来回摆动，离开平开始来回摆动，离开平 衡位置衡位置O的距离的距离s厘米和厘米和 时间时间t秒的函数关系为秒的函数关系为 那么那么 单摆来回摆动一次单摆来回摆动一次 所需的时间为所需的时间为_秒秒. 由条件知周期由条件知周期6sin(2),6st21.2T1立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版101. 已知某海滨浴场的海浪高度已知某海滨浴场的海浪高度y(米米)是时间是时间t(0t24，单位：小时，单位：小时)的函数，记作的函数，记作y=f(t).下下表是某日各时的浪高数据：表是某日各时的浪高数据： 经过长期观测，经过长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看的曲线可近似地看成是函数成是函数y=Acost+b的图象的图象.题型1：与三角函数图象有关的应用题t(时时)03691215182124y(米米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版11(1)根据以上数据，求出函数根据以上数据，求出函数y=Acost +b的最小正周期的最小正周期T、振幅、振幅A及函数表达式及函数表达式; (1)由表中数据知，周期由表中数据知，周期T=12， 则则 由由t=0，y=1.5，得，得A+b=1.5， 由由t=3，y=1.0，得，得b=1.0.由由t=3，y=1.0，得，得b=1.0.所以所以A=0.5，b=1，所以振幅为，所以振幅为12，所以所以 22.126T1cos1.26yt立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版12(2)依据规定，当海浪高度高于依据规定，当海浪高度高于1米时才米时才对冲浪爱好者开放对冲浪爱好者开放.请根据请根据(1)的结论，判断的结论，判断一天内的上午一天内的上午8：00时至晚上时至晚上20：00时之间，时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? (2)由题知，由题知，当当y1时才可对冲浪爱好者开放时才可对冲浪爱好者开放.所以所以 所以所以1cos11,26tcos0,6t立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版13所以所以即即12k-3t12k+3(kZ).因为因为0t24,故可令中的故可令中的k分别为分别为0,1,2,得得0t3或或9t15或或21t24. 故在规定时间上午故在规定时间上午8：00至晚上至晚上20：00之间，有之间，有6个小时时间可供冲浪爱好者运动，个小时时间可供冲浪爱好者运动，即上午即上午9：00至下午至下午15：00.2-2(),2 62ktkkZ 立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版14【点评点评】：解决实际应用题的关键在于解决实际应用题的关键在于建立数学模型建立数学模型.若建模已确定时，就化为常若建模已确定时，就化为常规问题，再选择合适的数学方法求解规问题，再选择合适的数学方法求解.如本如本题第题第(2)问转化为相应的不等式进行解决问转化为相应的不等式进行解决.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版15以一年为一个周期调查某商品出厂价格及以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的元基础上按月份随正弦曲线波动的.已知已知2月份出厂价格最高为月份出厂价格最高为8元，元，8月份出厂价月份出厂价格最低为格最低为4元元.而该商品在商店内的销售价格是而该商品在商店内的销售价格是在在10元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知并已知5月份销售价最高为月份销售价最高为12元，元，11月份销售月份销售价最低为价最低为8元元.假设某商店每月购进这种商品假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪几个月每件盈利件，且当月能售完，请估计哪几个月每件盈利可超过可超过6元？并说明理由元？并说明理由.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版16 由条件可得：由条件可得：出厂价格函数为出厂价格函数为销售价格函数为销售价格函数为 则单价利润函数则单价利润函数y=y2-y112sin() 6,66yx22sin(-)10.63yx2sin(-) 10-2sin()-663662sin(-)-2cos(-)4636372 2sin(-)4.612xxxxx立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版17所以，由所以，由得得即即所以所以32x-79，即，即5x8.又因为又因为xN*，所以，所以x=6，7.答：答：6月、月、7月这两个月每件盈利超过月这两个月每件盈利超过6元元.72 2sin(-)46,612x72sin(-),6122x73-,46124x立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版182. 水渠横断面为等腰梯形，如图所示，水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为渠道深为h，梯形面积为，梯形面积为S.为了使渠道的渗为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角达到最小，此时下底角应是多大？应是多大？ 题型2：反映在三角形或四边形中的实际问题立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版19 设设CD=a,则则 所以所以 则则 设两腰与下底之和为设两腰与下底之和为l，则，则 因为因为S，h均为常量，欲求均为常量，欲求l的最小值，只的最小值，只需求出需求出 的最小值的最小值.,2 cot ,sinhCBABah 1(2 cot )(cot ) ,2Saahhahh cot,Sahh- cot .Sahh2-cos2- cot 2.sinsinShSlaCBhhhh 2 -cossin立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版20令令 则则ksin+cos=2，可化为可化为其中其中因为因为0sin(+)1，所以所以 所以所以k23，故故kmin=3，此时此时 所以所以2-cos,sink21sin()2,k221cos,sin.11kkk221,1ksin()1,6.3立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版21【点评点评】：与多边形有关的实际问题，与多边形有关的实际问题，一般是转化为三角形中的问题，然后利用一般是转化为三角形中的问题，然后利用三角形的边角关系式转化为角的问题，如三角形的边角关系式转化为角的问题，如设角参数，再利用三角函数的性质解决所设角参数，再利用三角函数的性质解决所求问题求问题.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版22某岛屿观测站某岛屿观测站C在海岸边灯塔在海岸边灯塔A的南偏的南偏西西20的方向上的方向上.航船航船B在灯塔在灯塔A南偏东南偏东40的方向上向海岸灯塔的方向上向海岸灯塔A处航行，在处航行，在C处先测处先测得得B离离C的距离是的距离是31海里，当航船海里，当航船B航行了航行了20海里后，到达海里后，到达D处，此时处，此时C、D间的距离间的距离为为21千米，问这人还需走多少海里到达海千米，问这人还需走多少海里到达海岸边灯塔岸边灯塔A处？处？ 立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版23 根据题意得右图，根据题意得右图，其中其中BC=31千米千米,BD=20千米千米,CD=21千米千米,CAB=60.设设ACD=，CDB=.在在CDB中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：2222222-2120 -311cos- ,2221 2074 3sin1-cos.7CDBDBCCD BD立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版24所以所以在在ACD中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：所以此人还需走所以此人还需走15千米到达海岸边灯塔千米到达海岸边灯塔A处处.sinsin( -60 )sincos60 -cossin604 31135 3.727214215 3215 3sin15.sinsin60141432CDADA立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版253. 如图如图,ABCD是一边长为是一边长为100 m的正方形的正方形地皮地皮,其中其中AST是一半是一半 径为径为90 m的扇形小山，的扇形小山， 其余部分都是平地其余部分都是平地.一一 开发商想在平地上建开发商想在平地上建 一个矩形停车场，使一个矩形停车场，使 矩形的一个顶点矩形的一个顶点P在在ST 上，相邻两边上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边落在正方形的边BC、CD上上.求矩形停车场求矩形停车场PQCR面积的最大值和最面积的最大值和最小值小值. 题型3 ：引进角为参数解决最优化问题(立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版26 连结连结AP,PAB=(090), 延长延长RP交交AB于于M,AM=90cos,MP=90sin,所以所以PQ=MB=100-90cos，PR=MR-MP=100-90sin.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版27所以所以S矩形矩形PQCR =PQPR=(100-90cos)(100-90sin)=10000-9000(sin+cos) +8100sincos.令令t=sin+cos 则则(12)t ，2-1sin cos.2t22-110000-900081002810010( -)950.29ttt所以所以S矩形矩形PQCR=立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版28故当故当t= 时，时，S矩形矩形PQCR有最小值有最小值950m2;当当t= 时时,S矩形矩形PQCR有最大值有最大值(14050-9000 ) m2.10922立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版29【点评点评】：与多边形有关的最值问题，与多边形有关的最值问题，常常构造以角为变量的三角函数，然后利常常构造以角为变量的三角函数，然后利用求三角函数的最值方法求得实际问题的用求三角函数的最值方法求得实际问题的解，同时，注意变量取值的实际意义及范解，同时，注意变量取值的实际意义及范围围.立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版30如图，在直径为如图，在直径为1的圆的圆O中，作一个关于中，作一个关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中yx0.求当求当为何值时，十字形的面积最大？最为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？大面积是多少？立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版31 设十字形的面积为设十字形的面积为S，则则 其中其中所以，当所以，当sin(2-)=1，即，即2-= ，即即 时，时，S最大，最大，且且22112 -2sin cos -cossin2 - cos2 -2251sin(2 - )- ,22Sxy x 1tan=.2211arctan422max5-1.2S立足教育立足教育 开创未来开创未来 高中总复习（第一轮）高中总复习（第一轮） 理科数学理科数学 全国版全国版32解决与最值有关的三角应用题的基本方解决与最值有关的三角应用题的基本方法和步骤与函数应用问题处理的方法类似：法和步骤与函数应用问题处理的方法类似：(1)建立目标函数；建立目标函数；(2)求最值求最值. 其中关键是建立目标函数时，恰当地假其中关键是建立目标函数时，恰当地假设角为自变量设角为自变量.目标函数建立后，再根据目目标函数建立后，再根据目标函数的特点寻求求最值的方法标函数的特点寻求求最值的方法.。