2014届高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 4.6　简单的三角恒等变换

2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：4.6　简单的三角恒等变换一、选择题1．已知sin＝，cos＝－，则角θ所在的象限是(　　)A．第一象限　 　　　　　 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：sinθ＝2sincos＝2××＜0，cosθ＝cos2－sin2＝－＝－＜0，∴θ是第三象限角．答案：C2．已知sinα＝，则cos4α的值是(　　)A. B．－C. D．－解析：∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝，∴cos4α＝2cos22α－1＝2×2－1＝－.答案：B3．若－2π＜α＜－，则 的值是(　　)A．sin B．cosC．－sin D．－cos解析： ＝ ＝ ＝.∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，∴cos＜0，∴＝－cos.答案：D4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为(　　)A. B.C．± D．±解析：∵θ为第二象限角，∴为第一、三象限角，∴cos的值有两个．由sin(π－θ)＝，可知sinθ＝，∴cosθ＝－.∴2cos2＝.∴cos＝±.答案：C5．已知x∈，cos2x＝a，则cosx＝(　　)A. B．－C. D．－解析：依题意得cos2x＝＝；又x∈，因此cosx＝－.答案：D6．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝(　　)A．－ B.C．2 D．－2解析：∵cosα＝－，α为第三象限角，∴sinα＝－，∴tanα＝.由tanα＝＝，得tan＝或tan＝－3.又∵π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ，在第二象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ，在第四象限．∴tan＝－3.∴＝＝－.答案：A二、填空题7．已知cos2α＝，则sin2α＝__________.解析：sin2α＝＝.答案：8.＝－3，则tan2B＝__________.解析：∵＝＝tanB＝－3，∴tan2B＝＝.答案：9．设α是第二象限角，tanα＝－，且sin＜cos，则cos＝__________.解析：∵α是第二象限角，∴可能在第一或第三象限．又sin＜cos，∴为第三象限的角，∴cos＜0.∵tanα＝－，∴cosα＝－，∴cos＝－＝－.答案：－三、解答题10．已知函数f(x)＝2cosxcos－sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．解析：(1)f(x)＝2cosxcos(x－)－sin2x＋sinxcosx＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝2sin，∴T＝π.(2)由f(α)＝1，得sin(2α＋)＝.又α∈[0，π]，∴2α＋∈[，]．∴2α＋＝，或2α＋＝.故α＝，或α＝. 11．已知函数f(x)＝2sin2－cos2x，x∈.(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝1＋2sin.又∵x∈，∴≤2x－≤，即2≤1＋2sin≤3.∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.(2)∵|f(x)－m|＜2⇔f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈，∴m＞f(x)max－2，且m＜f(x)min＋2.∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．12．设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值. 解析：(1)f(x)＝sincos－cossin－cos＝sin－cos＝sin，故f(x)的最小正周期为T＝＝8.(2)方法一，在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝cos.当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝.方法二，因区间关于x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f(x)在上的最大值．由(1)知，f(x)＝sin.当≤x≤2时，－≤x－ ≤，因此y＝g(x)在上的最大值为g(x)max＝sin＝.6。