晶体的相位延迟

光波在介质中的传播规律受到介质折射率分布的制约，而折光波在介质中的传播规律受到介质折射率分布的制约，而折射率的分布又与其介电常量密切相关晶体折射率可用施加电场射率的分布又与其介电常量密切相关晶体折射率可用施加电场E的幂级数表示，即的幂级数表示，即2.3光波在电光晶体中的传播光波在电光晶体中的传播式中，式中，和和 h 为常量，为常量，n0为未加电场时的折射率在为未加电场时的折射率在(2)式中，式中，E是一次项，由是一次项，由该项引起的折射率变化，称为线性电光效应或泡克耳斯该项引起的折射率变化，称为线性电光效应或泡克耳斯(Pockels)效应；由二次效应；由二次项项E2引起的折射率变化，称为二次电光效应或克尔（引起的折射率变化，称为二次电光效应或克尔（Kerr）效应对于大多）效应对于大多数电光晶体材料，一次效应要比二次效应显著，可略去二次项数电光晶体材料，一次效应要比二次效应显著，可略去二次项)1(20hEEnn)2(20hEEnnn或写成对电光效应的分析和描述有两种方法：一种是对电光效应的分析和描述有两种方法：一种是电磁理论电磁理论方法，但数学推导相当繁复；另一种是用方法，但数学推导相当繁复；另一种是用几何图形几何图形折射折射率椭球体率椭球体(又称光率体又称光率体)的方法，这种方法直观、方便，故通常的方法，这种方法直观、方便，故通常都采用这种方法。

都采用这种方法1.电致折射率变化电致折射率变化在晶体未加外电场时，主轴坐标系中，折射率椭球由如在晶体未加外电场时，主轴坐标系中，折射率椭球由如下方程描述：下方程描述：)3(1222222zyxnznynx式中，式中，x，y，z为介质的主轴方向，也就是说在晶体内沿着这些为介质的主轴方向，也就是说在晶体内沿着这些方向的电位移方向的电位移D和电场强度和电场强度E是互相平行的；是互相平行的；nx，ny，nz为折射为折射率椭球的主折射率率椭球的主折射率)4(1121212111625242232222212xynxznyznznynxn当晶体施加电场后，其折射率椭球就发生当晶体施加电场后，其折射率椭球就发生“变形变形”，椭，椭球方程变为如下形式：球方程变为如下形式：式中，式中，ij称为线性电光系数；称为线性电光系数；i取值取值1，6；j取值取值1，2，35)式可以用张量的矩阵形式表式为：式可以用张量的矩阵形式表式为：比较比较(3)和和(4)两式可知，由于外电场的作用，折射率椭球各系数两式可知，由于外电场的作用，折射率椭球各系数随之发生线性变化，其变化量可定义为随之发生线性变化，其变化量可定义为21n)5(1312jjijiEn =.625242322212)1()1()1()1()1()1(nnnnnn636261535251432441332331232221131211zyxEEE(6)式中，式中，是电场沿是电场沿方向的分量。

方向的分量具有具有元素的元素的矩阵称为电光张量，每个元素的值由具体的晶体决定，它是表矩阵称为电光张量，每个元素的值由具体的晶体决定，它是表征感应极化强弱的量下面以常用的征感应极化强弱的量下面以常用的KDP晶体为例进行分析晶体为例进行分析zyxEEE,zyx,ij36KDP（KH2PO4）类晶体属于四方晶系）类晶体属于四方晶系,42m点群点群,是负单轴晶是负单轴晶体体,因此有因此有这类晶体的电光张量为这类晶体的电光张量为:ezyxnnnnn,0,0enn 且 ij635241000000000000000 (7)而且而且,因此，这一类晶体独立的电光系数只有因此，这一类晶体独立的电光系数只有两个将将(7)式代入式代入(6)式式,可得：可得：52416341和)8(10,110,110,1636232415222414212zyxEnnEnnEnn电光系数：电光系数：63将将(8)式代入式代入(4)式，便得到晶体加外电场式，便得到晶体加外电场E后的新折射率椭球方后的新折射率椭球方程式程式:)9(122263414122202202zyxexyExzEyzEnznynx由上式可看出由上式可看出,外加电场导致折射率椭球方程中外加电场导致折射率椭球方程中“交叉交叉”项的出现项的出现,说明说明加电场后加电场后,椭球的主轴不再与椭球的主轴不再与x,y,z轴平行轴平行,因此因此,必须找出一必须找出一个新的坐标系个新的坐标系,使使(9)式在该坐标系中主轴化式在该坐标系中主轴化,这样才可能确定电场这样才可能确定电场对光传播的影响。

为了简单起见对光传播的影响为了简单起见,将外加电场的方向平行于轴将外加电场的方向平行于轴z，即即,于是于是(9)式变成：式变成：0,yxzEEEE)10(126322202202zexyEnznynx为了寻求一个新的坐标系为了寻求一个新的坐标系(x,y,z)，使椭球方程不含交叉，使椭球方程不含交叉项，即具有如下形式：项，即具有如下形式：)11(1222222zyxnznynx(11)式中，式中，x,y,z为加电场后椭球主轴的方向，通常称为为加电场后椭球主轴的方向，通常称为感感应主轴应主轴；是新坐标系中的主折射率，由于是新坐标系中的主折射率，由于(10)式中的式中的x和和y是对称的是对称的,故可将故可将x坐标和坐标和y坐标绕坐标绕z轴旋转轴旋转角，于是从旧坐角，于是从旧坐标系到新坐标系的变换关系为：标系到新坐标系的变换关系为：zyxnnn,)12(cossinsincosyxyyxxzz)13(12cos21)2sin1()2sin1(63222632026320yxEznyEnxEnzezZ将将(12)式代入式代入(10)式，可得：式，可得：这就是这就是KDP类晶体沿类晶体沿Z轴加电场之后的新椭球方程，如图所示。

轴加电场之后的新椭球方程，如图所示其椭球主轴的半长度由下式决定：其椭球主轴的半长度由下式决定：令交叉项为零，即令交叉项为零，即,则方程式变为则方程式变为045,02cos得11)1()1(222632026320znyEnxEnezz(14)xyxyyxy450图图1加电场后的椭球的形变加电场后的椭球的形变x2263202632211)15(1111ezzyzoxnnEnnEnn由于由于63很小（约很小（约10-10m/V）,一般是一般是63EZ，201n利用微分式利用微分式dnnnd322)1()1(223ndndn0)16(212163306330zzyzxnEnnEnn故故即得到即得到(泰勒展开后也可得泰勒展开后也可得):ezzyzxnnEnnnEnnn)17(21216330063300由此可见，由此可见，KDP晶体沿晶体沿Z（主）轴加电场时，由单轴晶变（主）轴加电场时，由单轴晶变成了双轴晶体成了双轴晶体，折射率椭球的主轴绕，折射率椭球的主轴绕z轴旋转了轴旋转了45o角，角，此转角与此转角与外加电场的大小无关外加电场的大小无关，其折射率变化与电场成正比，其折射率变化与电场成正比，(16)式的式的n值称为电致折射率变化。

值称为电致折射率变化这是利用电光效应实现光调制、调这是利用电光效应实现光调制、调Q、锁模等技术的物理基础锁模等技术的物理基础下面分析一下电光效应如何引起相位延迟一种是下面分析一下电光效应如何引起相位延迟一种是电场电场方向与通光方向一致方向与通光方向一致,称为纵向电光效应称为纵向电光效应;另一种是另一种是电场与通电场与通光方向相垂直光方向相垂直,称为横向电光效应称为横向电光效应仍以仍以KDP类晶体为例进类晶体为例进行分析行分析,沿晶体沿晶体Z轴加电场后，其折射率椭球如图轴加电场后，其折射率椭球如图2所示如果光波沿果光波沿Z方向传播，则其双折射特性取决于椭球与垂直于方向传播，则其双折射特性取决于椭球与垂直于Z轴的平面相交所形成的椭园在轴的平面相交所形成的椭园在(14)式中，令式中，令Z=0，得到该，得到该椭圆的方程为椭圆的方程为:)18(1)1()1(2632026320yEnxEnzz2.电光相位延迟电光相位延迟11)1()1(222632026320znyEnxEnezz(14)ynz=ne这个椭圆的一个象限如图中的暗影部分这个椭圆的一个象限如图中的暗影部分所示它的长、短半轴分别与所示。

它的长、短半轴分别与x和和y重合重合,x和和y也就是两个分量的偏振方也就是两个分量的偏振方向向,相应的折射率为相应的折射率为nx和和ny当一束线偏振光沿着当一束线偏振光沿着z轴方向入射晶体轴方向入射晶体,且且E矢量沿矢量沿x方向，进入方向，进入晶体晶体(z=0)后即分解为沿后即分解为沿x和和y方向的两个垂直偏振分量由于二方向的两个垂直偏振分量由于二者的折射率不同者的折射率不同,则沿则沿x方向振动的光传播速度快方向振动的光传播速度快,而沿而沿y方向振方向振动的光传播速度慢动的光传播速度慢,当它们经过长度当它们经过长度L后所走的光程分别为后所走的光程分别为nxL和和nyL,这样这样,两偏振分量的相位延迟分别为两偏振分量的相位延迟分别为)21(22)21(226330063300zynzxnEnnLLnEnnLLnyx因此，当这两个光波穿过晶体后将产生一个相位差因此，当这两个光波穿过晶体后将产生一个相位差)19(V2 E26330z6330nLnxynn式中的式中的V=Ez L是沿是沿Z轴加的电压；当电光晶体和通光波长确轴加的电压；当电光晶体和通光波长确定后，相位差的变化仅取决于外加电压，即只要改变电压，定后，相位差的变化仅取决于外加电压，即只要改变电压，就能使相位成比例地变化。

就能使相位成比例地变化当光波的两个垂直分量当光波的两个垂直分量Ex,Ey的光程差为半个波长的光程差为半个波长(相应的相位相应的相位差为差为)时所需要加的电压，称为时所需要加的电压，称为“半波电压半波电压”，通常以，通常以表表示由(19)式得到式得到2VV 或半波电压是表征电光晶体性能的一个重要参数，这个电压越小越半波电压是表征电光晶体性能的一个重要参数，这个电压越小越好，特别是在宽频带高频率情况下，半波电压小，需要的调制功好，特别是在宽频带高频率情况下，半波电压小，需要的调制功率就小半波电压通常可用静态法率就小半波电压通常可用静态法(加直流电压加直流电压)测出，再利用测出，再利用(20)式就可计算出电光系数式就可计算出电光系数值下表为为KDP型型(42m晶类晶类)晶晶体的半波电压和电光系数（波长体的半波电压和电光系数（波长0.55um）的关系36)20(26330063302wncnV表表1KDP型型(42m晶类晶类)晶体的半波电压和晶体的半波电压和(波长波长0.5um)36根据上述分析可知，两个偏振分量间的差异，会使一个分根据上述分析可知，两个偏振分量间的差异，会使一个分量相对于另一个分量有一个相位差（量相对于另一个分量有一个相位差（），而这个相位差作用），而这个相位差作用就会就会(类似于波片）改变出射光束的偏振态。

在一般情况下，出类似于波片）改变出射光束的偏振态在一般情况下，出射的合成振动是一个椭圆偏振光，用数学式表示为：射的合成振动是一个椭圆偏振光，用数学式表示为：)21(sincos2221222212AAEEAEAEyxyx这里有了一个与外加电压成正比变化的相位延迟晶体这里有了一个与外加电压成正比变化的相位延迟晶体(相当于相当于一个可调的偏振态变换器一个可调的偏振态变换器)，因此，就可能用电学方法将入射，因此，就可能用电学方法将入射光波的偏振态变换成所需要的偏振态光波的偏振态变换成所需要的偏振态3.光偏振态的变化光偏振态的变化让我们先考察几种特定情况下的偏振态变化让我们先考察几种特定情况下的偏振态变化即22)(12tgEEAAExxy这是一个直线方程，说明通过晶体后的合成光仍然是线偏振这是一个直线方程，说明通过晶体后的合成光仍然是线偏振光，且与入射光的偏振方向一致，这种情况相当于一个光，且与入射光的偏振方向一致，这种情况相当于一个“全全波片波片”的作用)2,1,0(2nn(1)当晶体上未加电场时，当晶体上未加电场时，0221AEAEyx则上面的方程简化为：则上面的方程简化为：xxyyE(2)当晶体上所加电场（当晶体上所加电场（）使）使时，时，(21)式可简化为式可简化为4V)21(n)23(1222212 AEAEyx这是一个正椭圆方程，当这是一个正椭圆方程，当A1=A2 时，其合成光就变成一时，其合成光就变成一个圆偏振光，相当于一个个圆偏振光，相当于一个“1/4波片波片”的作用。

的作用上式说明合成光又变成线偏振光，但偏振方向相对于入射光旋上式说明合成光又变成线偏振光，但偏振方向相对于入射光旋转了一个转了一个2角角(若若=450，即旋转了，即旋转了900，沿着，沿着y方向方向)，晶体起到一，晶体起到一个个“半波片半波片”的作用3)当外加电场当外加电场V/2使使=(2n+1),(21)式可简化为式可简化为)()(12tgEEAAExxy）（即240221AEAEyxxxyyE综上所述，设一束线偏振光垂直于综上所述，设一束线偏振光垂直于xy平面入射，且平面入射，且(电矢电矢量量E)沿沿X轴方向振动，它刚进入晶体（轴方向振动，它刚进入晶体（Z=0）即分解为相互垂直）即分解为相互垂直的的x,y两个偏振分量，经过距离两个偏振分量，经过距离L后分量为：后分量为：在晶体的出射面在晶体的出射面(zL)处，两个分量间的相位差可由上两式处，两个分量间的相位差可由上两式中指数的差得到中指数的差得到(x分量比分量比y分量的大）分量的大）注：注：V=EzL,c/c=2/LEnnctiAEzccx6330021expww256330021wwy分量为：分量为：26cVnc6330w26注意：注意：c/c=2/图图4示出了某瞬间示出了某瞬间和和两个分量两个分量(为便于观察，将两为便于观察，将两垂直分量分开画出垂直分量分开画出)，也示出了沿着路径上不同点处光场矢量的，也示出了沿着路径上不同点处光场矢量的顶端扫描的轨迹，在顶端扫描的轨迹，在z0处处(a)，相位差，相位差，光场矢量是沿，光场矢量是沿X方向的线偏振光；在方向的线偏振光；在e点处，点处，则合成光场矢量变为，则合成光场矢量变为一顺时针旋转的圆偏振光；在一顺时针旋转的圆偏振光；在i点处，点处，则合成光矢量变，则合成光矢量变为沿着为沿着Y方向的线偏振光，相对于入射偏振光旋转了方向的线偏振光，相对于入射偏振光旋转了90o。

如果如果在晶体的输出端放置一个与入射光偏振方向相垂直的偏振器，当在晶体的输出端放置一个与入射光偏振方向相垂直的偏振器，当晶体上所加的电压在晶体上所加的电压在0间变化时从检偏器输出的光只是间变化时从检偏器输出的光只是椭圆偏振光的椭圆偏振光的Y向分量，因而可以把偏振态的变化变换成光强度向分量，因而可以把偏振态的变化变换成光强度的变化的变化(强度调制强度调制)何为电光晶体的半波电压？半波电压由晶体的那些参数决定？何为电光晶体的半波电压？半波电压由晶体的那些参数决定？答答：当光波的两个垂直分量：当光波的两个垂直分量Ex，Ey 的光程差为半个波长的光程差为半个波长（相应的相位差为（相应的相位差为）时所需要加的电压，称为半波电压时所需要加的电压，称为半波电压6332rnVoLdrnVo 633（纵向应用（纵向应用）（横向应用（横向应用，在略去自然双折射影，在略去自然双折射影响的情形下）响的情形下）。