点集拓扑(答案)

广U)>0当TO) 当回Q)其中)'o为Y选择公理定义:设X是一个集合记文为X 中的所有非空子集构成的集族,即 X=^(X)-{(/>} o 如果一个映射X^X满足条件:对于任意AeX ,有 w(A) w 4 ,则此映射£称为集合X的一个 选择函数任何一个函数都有选择函数就是 选择公理1•设X和Y是两个集合证明:cardY AeT例:设 X={a,b,c} , 7]={{a},{b,c},{a,b,c},0}, 7^={{b},{a,c},{a,b,c},0}易 见八都是X的拓扑,但 7;U7; ={{a},{a,c},{b,c},{a,b,c},0},而 {d},{b}w7;UZ,{a9b} = {a}{J{b}电 T、 U0,因此7]U7;不是X的拓扑3. 设(X,T)是一个拓扑空间,其中s是任何 一个不属于X的元素令X* = XU{oo}, T = T\J{X9}证明(X\T)是一个拓扑空 间证:显然©X wT ;任意A.BeT,若A,B中有一个为X”,显然AABer ;若 A,BwT ,贝ij A^BeT^T ,故总有 AA^gT;任意 T\uT、若 X*e7;,则 |J A=X* eT;若 即 7\wT ,Ae'J\也有\jA = TeT,故总有\jAeT,所 Ae7\ Ae7[以(X;T)为拓扑空间4. 证明实数集R有一个拓扑以集族 {[a,+s)|aw/?}U{(—8,b]|bER}为它的 一个基,并说明这个拓扑的特点证:记 P = {(YO,a]swR}U{[b,xo): bwR} ° 因为 Rz)U©Sn(—8,G]U [a,十/)) = /?。 所以[Jse/S 由定理知,存 在R的唯一拓扑卩以P为子基任意xwR, 因为(- 显然有(J A=|J A如果 A67; A67;T2=0 ,贝|J UA=UA = 0eT ,设A67; A67;0 H 0任意选取Aog7; o这时(Ua)=(Ua)‘ =P|A uA是x 的A€7; A€7; A67;一个有限子集,所以UA£/ A er o根据上 述是X的一个拓扑,称之为X的有限补拓 扑拓扑空间(X,T)称为一个有限空间 可数补空间设X是一个集合令T = {U^X\是一个有限可数子集} U{0}通过与例2.2.4中完全类似的做法容 易验证(请读者自证)T是X的一个拓扑, 称之为X的可数补拓扑拓扑空间(X,T) 成为一个可数补空间6八证明:1、从拓扑空间到平庸空间的任 何映射都是连续映射2、从离散空间到拓 扑空间的任何映射都是连续映射证:1、设f :X^Y为从拓扑空间X到平 庸空间Y的映射,因为广《 9)= l9/-AxB a AxB.反之,设x=(x1,x2)e AxB , X]WA, x2eB .对任意开领域 We UXf存在U eUxl, V g Ux2 , W=U*V, 由于(UCA)工 0, (UcB)工 0(UcA) x(UcB) =W c ( AxB ) h 0 ,所以 xg AxB,故AxB^AxB.所以得证。 B-(CjA)= dd)10. 证明: : :1=1 1=1ii n xw 疗一(U&)<^> xe B 且i=1 Z=1xeB 且 xe A (i = 1,2,…,“)对任何 i , xeB且x纟&• O对任何ixw A O A)i=i所以 (Q|A)= d(B—A)1=1 1=1ii n xw 疗一(p|&)<^> xe B 且i=l Z=1O xwB且存在j, 存在j,使xeB 且 xe A o 存在 i ,使 xe B-Ati=l所以 B-(n4)=u(B-A)1=1 1=1为自然数,令A”={s + 1,・・.},” = 1,2,…并令T = {0,A^A2,---}(1)证明T为N的拓扑2)写出KN的 所有开邻域Y) = X,而Y为平庸空间,所以Y中任一开集的 原像都是X的开集,即/为连续映射2、设/ X^Y为从离散空间X到任一拓 扑空间Y的映射,对Y中每开集U,因为X 为离散空间,所以f~\U)是X的开集,即f 是连续映射7、 设X和Y是两个拓扑空间,f:X^Y. 证明一下两个等价1)、f连续2)、对 于Y的任一子集B, B的内部的原像包含于 B 的原像的内部,即: 厂(K〃))u"T(B))。 证明:对于任意BuY,〜BuY,由定理知, 有 f 连续当且仅当 f~l (c(〜B))二 cCT(~F))当且仅当 广((B))=厂(~ (c(~ B)))=广(c(〜B)) U 〜c(/_1 (- B)) = ~c(〜厂询)=8、 证明离散的拓扑空间中的序列{兀}收敛 的充分必要条件是存在NWN,使得当i,j>N 时 X- = Xj o证明:充分性显然必要性,设离散的拓扑 空间X中的序列{兀}收敛于X,因{X}为X的 开领域,所以存在NWN使得当iAN时, X,. e {x},即当 i>N 时,x, = x ,因此当 i,j>N 时,Xj = xt =x.9、设纸和兀是两个拓扑空间,X/X,是 它们的积空间证明对于任何AUBu X?有 AxB = Ax B o证明:设X = w Axb ,对于任意开领域UeUxl, V 6 Ux2, U*Ve Ux, 从而("xI/)c(A")二(UcB)x (UnA) 主 0即UcA 主 0, (UcB)H 0 ,则 % e eB<.故x = (xL,x2)e B ,证:(1)显然0, N = AQ ,又 0AA„ = 0gT , ” = 1,2,…,任意皿。 匕/产爲财和曰因此丁 为N的拓扑2)的唯一的开邻域为 A = N设兀,壬和心都是拓扑空间证明:1) 积空间X, X X2同胚于积空间X)X X];2) 积空间(X1xX2)xX3同胚于积空间 Xj x(X2 X X3);3) 如果X】H空集并且空间X]XX:同胚于 积空间x X2,则X?同胚于证明:(1)定义 f-.X^xX.^X.xX,使 /W = /((X1,X2)) = (X2,X1) ,x = (Xi,x2)e XtxX2,显然/为在空间上 的 映射'又p^f = p2, Pi°f = Pi.皆为连续映射,故/连续,类似可证fT也连 续,即/是同胚,故X\XX,同胚于积空间 X:xX](2)由定理3.2.9,知XiXX^xXs同胚于 (XixXJxXj卞证明X, x X2 x X3同月丕 于 X]X(X:xX3);记 X, x X2 x X3 向 X1,X2,X3的投影分别为戸収代, X2xX3向X2,X3的投影分别为 P心宀,将X1X(X2xX3)向X」 X2xX3投影分别记为片£,则这些投影 皆为连续映射,定义映射 f :X[xX2xX.^X[x(X2xXi),使得 任意XxxX2xX5 , /(兀,兀,厶) = (兀,(兀,“))丘Xt x (X2 x XJ,显然f是在空间上的一一映 射。 又 P"讥,P2oP2of = P2都为连续映射,故P严f连 续,所以f为连续映射,类似可证/T也为 连续映射,故f为同胚,即X, X X2 X X3同 胚于 X1X(X2xX3)o(4 )由题意知存在同胚 f :XlxX2^XlxX3,取 i9rl ,则 {(/>}xX2 ^XtxX2 由习题 8 ( 1 ) *,:{0}以2 T{O}xX,是一个同胚, 令 g:X2^{(fi}xX2 ,对任何 xw X»g(x) = (0,x)是一个同胚作 力:X? T X3,/?(X)= p2of |帥世 og(x)是 一个同胚,其中巴是{0}xXs的第二个投 射证明:离散空间(平庸空间)的任何一个商 空间都是离散空间(平庸空间)证明:(1)设(X, 9)是离散空间X / R,即 是商空间,则冈是相对于自然的投射 p.XfXIR而言的商拓扑,对任何 U eX /R ,有 P~\u)e(p(x),所以 P~\u) g i9 ,于是 w e i9t, °(X / R) u 冈, 即q = 0(X / R),所以(X / R, 3J是离散空 间(2)设(X,9)是平庸空间,(X/R,込) 是商空间,若①丰uw3r ,有 pT(u)w3 = {0,X},于是〃t(“)=X,由 p 是满射,u = P(p(")) = p(X) = X/R. 于是$={X/R,0},所以(X/R,边)是平 庸空间。