非线性函数的线性化问题.ppt

非线性函数的线性化问题,冯仲科 北京林业大学 2012.4.1,一.数学期望与方差性质,1. 随机变量的数学期望就是所有可能取值的概率平均值，简称均值，它有如下性质： （1）常数c的数学期望等于它本身，即 E(c)=c. （2）常数c与之积的数学期望等于c与的数学期望之积，即 E(c)=cE().,,,,（3）n个随机变量之和的数学期望，等于各随机变量数学期望之和，即 E(1+2++n)=E(1)+E(2)++E(n).,,,,,,,,,,,,（4）随机变量的线性函数 F=11+22++ nn= 的数学期望为 E( )= 1E(2)+ 2E(2)++ nE(n). ),,,（5）n个相互独立的随机变量之积的数学期望，等于各随机变量数学期望之和，即 E(12n)=E(1)E(2) E(n).,2.随机变量的方差是描述随机变量所有可能取值离散程度的在测量中就是中误差的平方，是一个精度指标它有如下性质：,（1）常数c的方差等于零，即 D(c)=0.,（2）常数c与随机变量之积的方差等于c2与方差之积，即 D(c)=c2D().,（3）n个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量的方差之和，即 D(1+2++n)=D(1)+D(2)++D(3).,（4）相互独立的随机变量的线性函数 F= 11+22++ nn= 的方差为 D( )= D(1)+ E(2)++ E(n).,,,例.已知=X-L,求真误差的方差。

解：因X是常数，故有 D()=D(X)+D(L)=D(L), 亦即观测值L的误差方差D()等于观测值本身的方差D(L)例.求算术平均值 X= (L1+L2++Ln) 的方差 解：D(x)= (D(L1)+D(L2)++D(Ln)). 如果D(L1)=D(L2)==D(Ln)=2,则上式为 D(x)= , 令 =x，则有 x= 式中和x分别为观测值和算术平均值的标准差，标准差在测量中称为中误差二.协方差及其传播律,1.协方差的概念及定义 设有线性函数 z=f1x+f2y， 令x，y的真误差为x，y，则z的真误差z为 z=f1 x+f2 y. y,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,它的中误差mxy为 mxy= . 当x与y彼此不独立，例如它们都是独立观测值L的函数： x=3L， y=4L， 则有 mxy= = =12 0， 式中，mL为L的中误差， 为L的方差例.已知x=3L1-2L2，y=2L1+3L2，L1和L2相互独立且同精度，设L1和L2的方差均为m2，试判别x与y是否独立 解：从x与y均是L1，L2的函数看，它们似乎相关，其实不一定。

由已知关系得 x=3 L1-2 L2， y=2 L1+3 L2， x y=6 -6 +5L1L2 ， 顾及 =0，则x与y的协方差为 mxy= =6m2-6m2=0. 可见，此例x与y实为互相独立的观测值协方差有如下性质： （1）当随机变量X与Y独立时，有 XY=0. （2）当X=Y时，有 XY= = （3）当X与Y成线性关系：Y=aX+b， 式中，a、b为常数，则有 当a0 XY = 当a<0 XY= ,,,,,2.一般误差传播定律,设有相关观测值x1,x2, xn的线性函数的一般形式为 z=f1x1+f2x2++fnxn, 最后可以得到它的中误差为 mxy=a1b1 +a2b2 ++anbn,,,,若用一般符号 表示xi的方差，ij表示xi与xj的协方差，则一般误差传播定律式可以写成如下形式： = +2f1f212++2f1fx1n + ++2f2fn2n +,,,,,,,,,3.协方差阵及其传播律,如果有两个随机变量X1和X2，已知其数学期望为E(X1)和E(X2)，方差及协方差为D(X1),D(X2)和 = ，则定义 E(X)= ，D(X)= 其中D(X)可以写成 D(X)=E(X-E(X))(X-E(X))T,,,,,,一般，设有t维随机向量X=(X1X2Xt)T，定义X的数学期望和方差为 E(X)= D(X)=,,,协方差阵传播率 随机向量X的数学期望E(X)是由E(X)= 定义的，它具有如下性质： （1）常数向量C的数学期望等于它本身，即 E(C)=C. （2）常数矩阵A与随机向量X之积的数学期望等于A与X的数学期望之积，即 E(AX)=AE(X).,（3）设A和B为常数矩阵，X和Y为随机向量，则AX与BY之和的数学期望等于AX的数学期望与BY的数学期望之和，即 E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y). 特别地，当A和B均为单位阵，X和Y的维数相同，有 E(X+Y)=E(X)+E(Y). (4)设有随机向量X和Y，则 E(XYT)=E(X)(E(Y))T+XY,设有两个线性函数 = + ， = + ABCH为常数矩阵，则有 FG=AD(X)CT+AXZHT+BYZHT 证:FG=E(AX+BY-E(AX+BY))(CX+HZ-E(CX+HZ))T =E(A(X-E(X))+B(Y-E(Y)))(C(X-E(X))+H(Z-E(Z)))T =AD(X)CT+AXZHT+BYXCT+BYZHT,,,,,,,三.非线性函数的线性化,以上是属于线性函数，对于非线性函数，如： y=f(x1,x2, xn) 则需要采用 （1）对数法线性化 （2）级数展开法线性化,1.对数法： U=xyz lnU=lnx+lny+lnz = + +,,,,,,,2.泰勒级数展开法： U=xyz dU=yzdx+xzdy+xydz 两边同时除以U，U=xyz = + + 通过：乘除法运算取对数 加减乘除运算取级数,例：已知单木生物量的数学模型为 ，试说明a, b的几何学和物理学意义。

已知 ，试统计分析建模求a，b已知单木 求由 计算的 及其置信区间 答： 利用林木相对生长公式 （1） 设第i（i=1，2，，n）棵标准木的生物量（树干、树枝、树根或树叶的生物量等，以下同）为 ，胸径为 ，树高为 ， 的测定误差为 ，则可写出 （2）,,,,,,,,,对于 ,（i=1，2，，n） （3） 设a、b的第k（k=0，1，2，，m）次近似值为 ，记 （4） 则用泰勒级数在 处将式（3）展开得 （5）,,,,,其中 为二阶以上的余项又记： ， ， ， ，,,,,,,则有 （6） 在式（6）中，将 换成估值形式 ，用 代表 的最或然误差（又称为 的改正数），则有 和式（6）的误差方程形式 （7）,,,,其中 中包含了观测误差和二次以上余项误差等。

利用最小二乘准则，即在 的原则下，利用式（7）可推导出求解 的公式，即 （8） 根据式（4）和 的定义，可知a、b的第k+1次估值为 （9）,,,计算步骤 1）用对数法求解a、b的估值，作为初值 、 ，计算 ，并用式（8）求解 ，利用式（9）求解 、 2）将 、 作为a、b的新的近似估值，计算 ，并用式（8）求解 ，利用式（9）求解 、 3）将 、 作为a、b的新近似值计算 、 余者类推，直至 达到最小或 和 达到足够小（此时 ） 精度评定 设迭代在第k+1步终止，以下不加推证地给出求解单位权方差（标准方差）估值的公式以及 、 的方差、协方差计算公式 1）单位权方差的无偏估值 （10） 2） 、 的方差和互协方差阵,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例：已知树高预计公式 ,其中，hBH，d1.3为胸高及胸径，对n棵树测得（hi,hBHi,d1.3i,=1,2n）,试用LSM法估计参数a,b1,b2,若第n+1棵树测得hn+1,hBH(n+1), d1.3(n+1),试估计 及 。

答： 为方便数学公式表达，令原式中的h为H,HBH为h，a为b1，b1为b2，b2为b3，d1.3为d对 b1，b2 ，b3 的第k（k=0，1，2，，m）次近似值k近似值 ， ， , 记 则用泰勒级数在 ， ， 处将式 展开得,X= 令P=1,令 ,求Pi 得 = = +,。