根轨迹pt课件

第四章 根轨迹法 4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本规则4.3 广义根轨迹 4.4 线性系统性能的根轨迹分析法一、本章内容提要一、本章内容提要:1 1介绍已知系统开环传递函数的极点、零介绍已知系统开环传递函数的极点、零点的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分点的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分析系统参量变化时对闭环极点位置的影响；析系统参量变化时对闭环极点位置的影响；2 2根据闭环特征方程得到相角条件和幅值根据闭环特征方程得到相角条件和幅值条件由此推出绘制根轨迹的基本法则；条件由此推出绘制根轨迹的基本法则；3 3根轨迹绘制：常规根轨迹、参数根轨迹根轨迹绘制：常规根轨迹、参数根轨迹、根轨迹曲线族、零度根轨迹、根轨迹曲线族、零度根轨迹;4 4根轨迹法分析系统性能根轨迹法分析系统性能 二、本章教学目的及要求二、本章教学目的及要求:1 1掌握根轨迹的基本概念；正确理解开掌握根轨迹的基本概念；正确理解开环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义；环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义；2 2掌握控制系统根轨迹的绘制方法；掌握控制系统根轨迹的绘制方法；3 3正确绘制出不同参量变化时系统的根正确绘制出不同参量变化时系统的根轨迹图。

轨迹图4 4能够运用根轨迹法对控制系统进行分能够运用根轨迹法对控制系统进行分析；析；5 5更进一步体会闭环零、极点的分布和更进一步体会闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系系统阶跃响应的定性关系三、本章重点、关键、难点本章重点、关键、难点1重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹图分析控制系统2关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件3难点：广义根轨迹的绘制 四、本章学习方法四、本章学习方法 通过具体习题练习和总结记忆掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对应根轨迹的大致图形切记：没有时域分析法的基础，根切记：没有时域分析法的基础，根轨迹法只是一个轨迹法只是一个“空中楼阁空中楼阁”离开时域分析法来谈根轨迹方法是没开时域分析法来谈根轨迹方法是没有意义的，所以在学习根轨迹方法有意义的，所以在学习根轨迹方法的时候要注意联系时域分析法的知的时候要注意联系时域分析法的知识和结果事实上，根轨迹方法只识和结果事实上，根轨迹方法只是时域分析方法的一种辅助图解法是时域分析方法的一种辅助图解法两者正好相辅相成，并共同创造了两者正好相辅相成，并共同创造了一个完美的组合一个完美的组合。

第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法项 目内 容教 学 目 的理解三大性能分析的出发点，掌握根轨迹法的实质目的，初步理解根轨迹的条件和作图方法教 学 重 点掌握根轨迹的基本概念根轨迹的定义及根轨迹方程，幅角条件和幅值条件教 学 难 点深刻理解开环传递函数零极点与闭环传递函数零极点的关系，根轨迹图上反映出的系统信息讲授技巧及注意事项紧紧依靠时域分析所建立起来的基本概念，尽可能地用已学过的知识导出新知识4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念欠阻尼零阻尼负阻尼过阻尼临界阻尼思考：零极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系 011sinjknkqrs ttjkdkkjkc tAA eD et 引言引言1.不同研究内容所需的传递函数：不同研究内容所需的传递函数：G(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)闭环传递函数：闭环传递函数：()()1G sC ssR sG s H s闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数 ()()B sG s H sE s误差传递函数误差传递函数 ()1()1eE ssR sG s H s闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程 10G s H s研究动态研究动态性能性能研究稳态性能研究稳态性能研究稳定性研究稳定性2.三大性能同各个传递函数的关系三大性能同各个传递函数的关系1）稳定性：用）稳定性：用 分析，分析，只同开环传递函数有只同开环传递函数有关；实质上是研究关；实质上是研究闭环极点闭环极点的分布。

的分布2）稳态性能：用）稳态性能：用 ，也是只于开环，也是只于开环传递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的传递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的极点极点个数和个数和开环增益开环增益3）动态性能：用）动态性能：用 和和这时，不但同开环传递函数直接相关，而且也与开环传递函这时，不但同开环传递函数直接相关，而且也与开环传递函数中的前向通路传递函数相关研究数中的前向通路传递函数相关研究闭环系统的零极点闭环系统的零极点及及闭闭环增益10G s H s ()1()1eE ssR sG s H s ()()1G sC ssR sG s H s ()()B sG s H sE s3.分析方法及思路分析方法及思路1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点：）从数学模型的建立看开环传递函数的特点：物理元件物理元件典型环节典型环节开环结构开环结构闭环结构闭环结构系统数学模型系统数学模型（1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极点，点，-很容易获得；很容易获得；（2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，这一点对分析系统和改造系统非常有利；这一点对分析系统和改造系统非常有利；（3）可以直接求取稳态误差；）可以直接求取稳态误差；(4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有简单的关系。

简单的关系2)一个美好的愿望：一个美好的愿望：开环零极点图开环零极点图+开环增益开环增益闭环零极点全部可能的分布图闭环零极点全部可能的分布图分析系统的三大类性能分析系统的三大类性能一、根轨迹定义（纯数学定义）：一、根轨迹定义（纯数学定义）：设方程设方程(注意这个方程的形式同特征方程的关系注意这个方程的形式同特征方程的关系)1*111110nnmmnnmmsasa s aK sbsb s b式中，式中，为实常数，为实常数，1111,;,nnmmaaa bbb*KK 为可变参数为可变参数4.1 根轨迹法的基本概念11,nnsss 为该方程的为该方程的n个根，每选择一个根，每选择一个个K*值，就有一组根与之对应，在自变量值，就有一组根与之对应，在自变量s平面上就平面上就会有一组极点与之对应，换一个会有一组极点与之对应，换一个K*值，会有一组新值，会有一组新的极点与之对应，当的极点与之对应，当K*在实数范围内连续变化时，在实数范围内连续变化时，对应的对应的n个根就会在个根就会在s平面内形成平面内形成n条轨迹线，这些轨条轨迹线，这些轨迹线就称为该方程的根轨迹迹线就称为该方程的根轨迹设设1.当当 时，特征方程根形成的时，特征方程根形成的轨迹称为常规根轨迹。

轨迹称为常规根轨迹2.当当 时，特征方程根形成的时，特征方程根形成的轨迹称为补根轨迹或余根轨迹轨迹称为补根轨迹或余根轨迹3.当当 时，特征方程根形成的时，特征方程根形成的轨迹称为完全根轨迹（简称全根轨迹），他轨迹称为完全根轨迹（简称全根轨迹），他是根轨迹与补根轨迹的总称是根轨迹与补根轨迹的总称4.当特征方程有一个以上的参数在变化时，当特征方程有一个以上的参数在变化时，方程的根轨迹形成族称作广义根轨迹或根方程的根轨迹形成族称作广义根轨迹或根轨迹族0K *0K *K 并且：并且：例4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递函数为 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在s平面上全部可能的分布情况KG(s)H()s(0.5s1)s*K 解解 系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根是特征方程的根是设设 的变化范围是的变化范围是0,0,），），当当 时时,（正好是开环极点）（正好是开环极点）;当当 时，时，与与 为不相等的两个负实根；为不相等的两个负实根；当当 时，时，为等实根；为等实根；*2*C(s)G(s)2(s)R(s)1G(s)H(s)s2s2KK2*220ssK*12s112 K,112sK *0K*K*102K2s,0s211s2s*12K 1ss21讨论：当1/2 mnm时，就等于时，就等于 。

n=mn=m时，时，对于单位反馈，对于单位反馈，*K注意闭环传递函数三要素注意闭环传递函数三要素*11*11()()()()()fhGjijinmijijKszspsspKsz*/1GKKK*GKKK*GKKK说明：说明：1*1()()()()mjjniiszG s H sKsp比较比较和提问：n=m时如何？三、根轨迹增益 与开环增益K的关系 由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为 （4-6）式中 是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确定该系统是零型系统（）,型系统（）或型系统（）等将（4-4）代入（4-6）可得)s(H)s(GslimK0s021*Kmmjjj 1j 1*nns0s0iii 1i 1(s)()Klims G(s)H(s)limKK(s)()zzpp 开环系统的根轨迹增益 与开环系统的增益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点和极点有关由式（4-4）可知，根轨迹增益（或根轨迹放大系数）是系统的开环传递函数的分子分母的最高阶次项的系数为1时的比例因子在例4-1中系统的开环传递函数为 其开环增益为 对于本系统，根轨迹增益 与开环增益K间的关系为 ，它们之间仅相差一个比例常数2。

K*G(s)H(s)(2)Ks s*0lim()()2sKKsG s H s*2KK*K 四、根轨迹与系统性能 以图4-1为例进行说明 稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的若根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益Kc稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数如果给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围动态性能 当0 1时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化1K*K*K*K 根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点随着开环根轨迹增益的变化而变化的全部可能分布,并根据闭环极点的分布对系统性能进行分析一旦闭环极点确定，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由式（4-5）直接得到在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解4.2 绘制根轨迹的规则 一、绘制根轨迹的依据 在上节已指出，根轨法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。

由例4-1可看出，根轨迹是系统的开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上运动的轨迹因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据系统的特征方程为 *111()()1()()0G s H sK Gs Hs11*1()()Gs HsK*K基本公式：*11*11()()()()()fhGjijinmijijKszspsspKsz111*111()()()()()()()()flmjjjjjjGHqnhiiiiiiszszszG s HsKKKspsspsp基本公式：*111()()1()()0G s H sK Gs Hs)0,1,2,(ke1e|H(s)G(s)|)360k180j(H(s)G(s)j1111*11()()()()21,02,00,1,2,mnjijimnjijiG s HsszspkKkKk111*11()()mjjniiszG s HsKsp幅值条件：幅值条件：相角条件：相角条件：基本公式：*(1,2,.,);(1,2,.,);jizjmp inK为已知可变参数可变参数S为试探研究点为试探研究点综上分析，可以得到如下结论：绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值 的大小无关。

即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图即相角条件是绘制根轨迹的主要依据绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的大小有关即 值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图K*K*K用角度表示的相角条件为：用角度表示的相角条件为：)0,1,2,(k360k180)(s)(sn1iim1jjpz这就是绘制根轨迹图的钥匙和关键：这就是绘制根轨迹图的钥匙和关键：以试探点以试探点s s为交点，以相角条件为依据，为交点，以相角条件为依据，寻找并确定所有满足相角条件的点的寻找并确定所有满足相角条件的点的集合，即根轨迹曲线族集合，即根轨迹曲线族绘图基本思想绘图基本思想1.根据相角条件确定根轨迹上的一个点；2.由幅值条件确定根轨迹该点对应的增益；3.重复1.和2.注意：凡是满足根轨迹方程相角条件的注意：凡是满足根轨迹方程相角条件的s s平平面上的点都是根轨迹上的点，凡是不满足相面上的点都是根轨迹上的点，凡是不满足相角条件的点都不是根轨迹上的点。

角条件的点都不是根轨迹上的点二、绘制根轨迹的基本规则二、绘制根轨迹的基本规则 通常，我们把以开环根轨迹增益通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）绘绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）绘制普通根轨迹的基本规则主要有制普通根轨迹的基本规则主要有7 7条：条：1.1.根轨迹的起点与终点；根轨迹的起点与终点；2.2.根轨迹的分支数；根轨迹的分支数；3.3.实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；4.4.根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；5.5.根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点；6.6.根轨迹的起始角和终止角；根轨迹的起始角和终止角；7.7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点K 规则一规则一 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 幅值条件可写成幅值条件可写成 当当 ，必须有，必须有 此时，系统的闭环极点与开环极点相同此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合重合)，我们我们把开环极点称为根轨迹的起点把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹，它对应于开环根轨迹增益增益 当当 时，必须有时，必须有 ，此时，此时，系统的闭环极点与开环零点相同系统的闭环极点与开环零点相同(重合重合)，我们把开环我们把开环零点称为根轨迹的终点零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增，它对应于开环根轨迹增益益 。

mjj 1n*ii1|s|1K|s|zp*K0n),1,2,(isii p*K0*K m),1,2,(jsjj z*K 注意：离开公式不推导 下面分三种情况讨沦下面分三种情况讨沦1 1当当m=nm=n时时，即开环零点数与极点数相同时，根，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均为有限的值轨迹的起点与终点均为有限的值2 2当当mnmnmn时时，即开环零点数大于开环极点数时，即开环零点数大于开环极点数时，除有除有n n条根轨迹起始于开环极点条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点称为有限极点)外，外，还有还有m-nm-n条根轨迹起始于无穷远点条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点称为无限极点)这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中结论：结论：根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 ，终止，终止于开环零点（于开环零点（)；如果开环极点数；如果开环极点数n n大大于开环零点数于开环零点数m m，则有，则有n-mn-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于s s平平面的无穷远处面的无穷远处(无限零点无限零点)，如果开环零点数，如果开环零点数m m大于开环极点数大于开环极点数n n，则有，则有m-nm-n条根轨迹起始于条根轨迹起始于s s平面的无穷远处平面的无穷远处(无限极点无限极点)。

K*K0 规则二规则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数既然根轨迹是描述闭根轨迹的分支数即根轨迹的条数既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在环系统特征方程的根（即闭环极点）在S S平面上的分布，那平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数由例由例4-14-1看出，系统开环根轨迹增益看出，系统开环根轨迹增益 (实变量）与复变实变量）与复变量量s s有一一对应的关系，当有一一对应的关系，当 由零到无穷大连续变化时，描由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量述系统特征方程根的复变量s s在平面上的变化也是连续的，在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是因此，根轨迹是n n条连续的曲线条连续的曲线由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的是对称于实轴的结论：结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。

根轨迹是根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数根轨迹是连续且对称于实轴的曲线连续且对称于实轴的曲线K*K例例4-3 4-3 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 其中其中 、为实极点和实零点，为实极点和实零点，为共轭复数零、极点，它们在为共轭复数零、极点，它们在s s平面上的分布如图平面上的分布如图4-44-4所所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即 规则三规则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹123412345K(s)()()()G(s)H(s)(s)(s)(s)()()zszszszpppspsp4500j0ij 1i 1(sZ)(sP)(21)180,(0,1,2,)kk 1P2P3P1Z2Z、5P5Z、4P、4Z图4-4 实轴上的根轨迹 选择选择s so o作为试验点作为试验点开环极点到开环极点到s s0 0点的向量点的向量的相角为的相角为开环零点到开环零点到s s0 0点的向量点的向量的相角为的相角为 )5,4,3,2,1(ii)4,3,2,1(jj 在确定实轴上的根在确定实轴上的根轨迹上时，可以不考虑轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相复数开环零、极点对相角的影响。

角的影响实轴上，实轴上，s s0 0点左侧的开点左侧的开环极点环极点P P3 3和开环零点和开环零点z z2 2构成的构成的向量的夹角均为零度，而向量的夹角均为零度，而s s0 0点右侧的开环极点点右侧的开环极点P P1 1 、P P2 2和和开环零点开环零点z z1 1构成的向量的夹构成的向量的夹角均为角均为180180o o若s s0 0为根轨迹上为根轨迹上的点，必满足相角条件的点，必满足相角条件45011(21)180jijik 结论：只有结论：只有s s0 0点右侧实轴上的点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件奇数时，才满足相角条件注意这里用的方法注意这里用的方法p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j01314243230i0sPiPs 规则四规则四 渐近线渐近线 当开环极点数当开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m m时，系统有时，系统有n-mn-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于S S平面的无穷远处，这平面的无穷远处，这n-mn-m条条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近线也有因此，渐近线也有n-mn-m条，且它们交于实轴上的条，且它们交于实轴上的一点。

一点aa1111nmijijapzabnmnm 1mn,0,1,2,kmn1k2a 渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向和与实轴正方向的交角的交角 分别为分别为证明：1*1*111111*111()()()()mjjniimmmmnnnnn mn mszG s H sKspKsbsbsbsa sasaKsab s1111,mnjijibzap 式中式中用多项式用多项式除法可得除法可得11111111111111111()()().n mn mmmnnmmnnnnnnsab ssbsbsbsasasasbsab sab s *111()n mn mKG s H ssab s当当s值非常大时，开环传递函数可以近似为：值非常大时，开环传递函数可以近似为：由特征方程由特征方程1+G(s)H(s)=0得渐进线方程为：得渐进线方程为：*111211*11(1)1n mjkn mn mn mn mabsKsabsKK es 1211111111111112!n mabababsnmsnm nms 二项式定理：二项式定理：11111111n mababsnms 当当s值非常大时，近似有值非常大时，近似有121*111121*1121*111jkn mn mn mjkn mn mjkn mn maaababssK esnmsabsK enmssK e则渐近线方程变为则渐近线方程变为j0sasa21*jkn mn maassK e渐近线方程的几何表示：渐近线方程的几何表示：a1mn,0,1,2,kmn1k2a1111nmijijapzabnmnm 得渐近线与实轴的交点和同正实轴的夹角得渐近线与实轴的交点和同正实轴的夹角 在例在例4-14-1中，开环传递函数为中，开环传递函数为 开环极点数开环极点数n=2,n=2,开环零点数开环零点数m=0,n-m=2,m=0,n-m=2,两条渐近线两条渐近线在实轴上的交点位置为在实轴上的交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别为它们与实轴正方向的交角分别为 和和 ，两条渐近线正好与，两条渐近线正好与 时的根轨迹时的根轨迹重合。

重合图例图例1rK*KG(s)H(s)s(s2)122a0)(k21)(k23 例例4-2 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线试画出该系统根轨迹的渐近线解解 对于该系统有对于该系统有n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三条渐近线与；三条渐近线与 实轴交点位置为实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是它们与实轴正方向的交角分别是 渐近线如图渐近线如图4-34-3所示4)1)(s(ss2)(sKH(s)G(s)2r13241a0)(k31)(k 2)(k3图4-3 根轨迹的渐近线j-4-3-2-10BCAa6060300a180 规则五规则五 根轨迹的分离点根轨迹的分离点 分析分析例例4-14-1，当系统开环增益，当系统开环增益 由零到无穷大变化时，由零到无穷大变化时，两条根轨迹先在实轴上相向运动两条根轨迹先在实轴上相向运动(0 (0 1),1),相遇在相遇在点点 ，当，当 1 1后，离开实轴进入后，离开实轴进入s s平面，且离平面，且离开实轴时，根轨迹与实轴正交我们称该点为根轨迹的分离开实轴时，根轨迹与实轴正交我们称该点为根轨迹的分离点。

实际上点实际上,点是例点是例4-14-1系统特征方程的等实根一般，系统特征方程的等实根一般，常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点如图分离点如图4-54-5上的分离点上的分离点 和和 分离点也可能以共轭分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图形式成对出现在复平面上，如图4-64-6中的分离点中的分离点A A和和B B显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在的共轭复根存在rKrKrK1Kr0j1,0j1,1d2d图4-5 实轴上根轨迹的分离点 j-4-3-2-101d2d分离点j4p3p1p2pAB0s图4-6 复平面上的分离点 由上面分析可知，根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的重实根由上面分析可知，根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。

实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）系统的特征方程可写成系统的特征方程可写成 （4-224-22）对式（对式（4-224-22）求导可得）求导可得 （4-234-23）式（式（4-234-23）称为分离点方程对于一个）称为分离点方程对于一个n n阶系统，解式（阶系统，解式（4-234-23）可得到）可得到n-1n-1个根个根 分离点方程的另一种形式为分离点方程的另一种形式为 （4-244-24）式中，式中，为开环零点的数值，为开环零点的数值，为开环极点的数值为开环极点的数值rm1jjn1iiK)Z(s)P(s0)Z(s)P(sdsdsm1jjn1iid).1,2,(n1ndn1iim1jjP1Z1ddjZiP当开环系统无有限零点时，则在方程（当开环系统无有限零点时，则在方程（4-244-24）中，应取）中，应取 此时，分离点方程即为此时，分离点方程即为 （4-254-25）只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点若在这若在这些根中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较些根中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才复杂的问题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点（如会出现复平面上的分离点（如图图4-64-6所示）所示）.因此，用观察法因此，用观察法可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。

可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定对于例对于例4-14-1，由式（，由式（4-234-23）可得分离点方程）可得分离点方程 即即 解得解得 ，位于实轴根轨迹上（由位于实轴根轨迹上（由0 0到到-2-2的线段的线段上），故它是实轴上的分离点上），故它是实轴上的分离点01m1jjzd011niipd0s2sdsds2d022d1d1d例例4-4 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点试求出系统根轨迹与实轴的交点解解 本系统无有限开环零点，由式（本系统无有限开环零点，由式（4-254-25）可得可得 即即 解出解出 ，由规则五知，实轴上的根轨迹为由规则五知，实轴上的根轨迹为-1-1到到-2-2线段和线段和-3-3到到-线段不在上述两线段上，应舍去不在上述两线段上，应舍去是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点运用前面的六条规则，可绘制如图的分离点运用前面的六条规则，可绘制如图4-74-7所示的根所示的根轨迹图轨迹图3)2)(s1)(s(sKH(s)G(s)r0312111ddd0111232dd1.421d2.582d1.421d2.582d图4-7 根轨迹的分离点 j0-1-2-31P2P3P1d2drKrK 规则六规则六 起始角与终止角起始角与终止角 当开环传递函数中有复数极点或零点时，当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题终止角问题,先给出定义如下：先给出定义如下：起始角起始角 根轨迹离开开环复数极点根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。

参看图处在切线方向与实轴正方向的夹角参看图4-84-8（a a）中的）中的 和和 终止角终止角 根轨迹进入开环复数零点根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角参看图处的切线方向与实轴正方向的夹角参看图4-84-8（b b）中的）中的 和和 1p1p2pzl1z2z图4-8(a)根轨迹的起始角和终止角 j3P2P1P0s1p2pjs1z2z1p2p1z2z0图4-8(b)根轨迹的起始角和终止角)p)(sps(s)z(sKH(s)G(s)211r1p2p通过例通过例4-54-5来分析起始角与终止角的大小来分析起始角与终止角的大小例例4-5 4-5 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 且且p p1 1和和p p2 2为一对共轭复数极点，为一对共轭复数极点，p p3 3和和 z z1 1分别为实极点分别为实极点和实零点，它们在和实零点，它们在s s平面上的分布如图平面上的分布如图4-94-9所示试依所示试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p p1 1和和p p2 2 的起的起始角始角 和和 图4-9 起始角 的求取 1psj1z1p2p3p)(31pp)(21pp)(11zp 01pA 对于根轨迹上无限靠近对于根轨迹上无限靠近p p1 1的点的点A A，由相角条件可得，由相角条件可得 由于由于A A点无限靠近点无限靠近 点，点，180)p(A)p(A)p(A)z(A13211p1p1)p(A)p(p)p(p)z(p180312111p1 推广为一般情况可得求起始角的关系式为推广为一般情况可得求起始角的关系式为n1liil1l1iilm1jjlpl)p(p)p(p)z(p180m同理，可得到求终止角的关系式为同理，可得到求终止角的关系式为m1ljjl1l1jjln1iilzl)z(z)z(z)p(z180规则七规则七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。

这时，用（实部为零）这时，用 代入特征方程可得代入特征方程可得 即即js 0jHjG10jHjG1IjHjG1Rme由此可得虚部方程和实部方程为由此可得虚部方程和实部方程为 解虚部方程可得角频率解虚部方程可得角频率 ，即根轨迹与虚轴的交点的坐标，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用值；用 代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值值 的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值它对如何选择定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值它对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义0jHjG1Im0jHjG1ReccrcKrcK例例4-6 4-6 试求出例试求出例4-44-4中根轨迹与虚轴的交点中根轨迹与虚轴的交点 及相及相应的开环根轨迹增益的临界值应的开环根轨迹增益的临界值 crcK解解 由例由例4-44-4知系统的开环传递函数为知系统的开环传递函数为其特征方程是其特征方程是令令 并代入特征方程得并代入特征方程得3)2)(s1)(s(sKH(s)G(s)r06Ks11s6sr2306K11j6jr23 js其虚部和实部方程分别为其虚部和实部方程分别为066K0112r3 解虚部方程得解虚部方程得 由于由于 不是根轨迹上的点，应舍去不是根轨迹上的点，应舍去.故故 为根轨迹与虚轴的两个交点。

为根轨迹与虚轴的两个交点将其代入实部方程便可求出系统开环根轨迹增益的将其代入实部方程便可求出系统开环根轨迹增益的临界值临界值 系统的根轨迹如图系统的根轨迹如图4-104-10所示当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值临界值 和根轨迹与虚轴的交点和根轨迹与虚轴的交点 3.3112,3010111c60KrcrcKc图4-10 根轨迹与虚轴的交点 js1p2p3p-1-2-30)60(3.3rcKjrKdrK)60(3.3rcK-j 以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则此外，尚须注意以下几点规范画法此外，尚须注意以下几点规范画法根轨迹的起点（开环极点根轨迹的起点（开环极点 )用符号用符号“”“”标标示；根轨迹的终点示；根轨迹的终点(开环零点开环零点 )用符号用符号“o”o”标示根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益 值值 的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向方向。

ipjzrK 要标出一些特殊点的要标出一些特殊点的 值，如起点（值，如起点（)，终点（终点（)；根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点d d()()；与虚轴的交点；与虚轴的交点 （）还有一）还有一些要求标出的闭环极点些要求标出的闭环极点 及其对应的开环根轨迹增及其对应的开环根轨迹增益益 ，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合分析与综合rK0KrrKrdrKK rcrKK c1s1K例例4-7 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图试绘制该系统完整的根轨迹图解解 该系统的特征方程为该系统的特征方程为 这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨这是一个三阶系统，由规则一知，该系统有三条根轨迹在迹在s s平面上)2s)(1s(sK)s(H)s(Gr0Ks2s3sr23三、绘制根轨迹图示例三、绘制根轨迹图示例由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴由规则二知，三条根轨迹连续且对称于实轴根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即 由于没有开环零点（由于没有开环零点（m=0m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。

三条根轨迹的终点均在无穷远处0p11p22p3 当当k=0k=0时时 当当k=1k=1时时 当当k=2k=2时时 10321mnzpjiamn1k2a603a180a6035a由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角它们与实轴正方向的交角由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上 到到 的的线段和由线段和由 至实轴上负无穷远线段至实轴上负无穷远线段由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程方程 解的合理值，解得解的合理值，解得 不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为离点应为 02)1)(ss(sdsdsd1p2p3p02632 dd42.01d58.12d58.12d42.01d 无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角解虚部方程得解虚部方程得0)2(j3K32r0123,2其中其中 是开环极点是开环极点 对应的坐标值，它是根轨对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。

合理的交点应为迹的起点之一合理的交点应为将将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值益的临界值 绘制出该系统的根轨迹图如图绘制出该系统的根轨迹图如图4-114-11所示011p23,2c2c6Krc 由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点 及对应的及对应的 开环根轨迹增益的临界值开环根轨迹增益的临界值 用 代入特征方代入特征方程得程得crck js0K2 j3jr23j01rKP03rKP02rKPrK-1-201drKrKs6060)6(2rcKj)6(2rcKj图4-11 例4-7系统根轨迹图 解解 是一个二阶系统，在是一个二阶系统，在S S平面上有两条连续且对称平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹于实轴的根轨迹由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点 和一对开环共轭复数极和一对开环共轭复数极 ,根轨迹的起点根轨迹的起点为为 和和 ，其 终 点 为，其 终 点 为 和无穷远点和无穷远点 由规则五知，实轴上由由规则五知，实轴上由-2-2至至-的线段为实轴上的线段为实轴上的根轨迹的根轨迹。

2z1)0K(pr1)K(zr11 j1p2,1)0K(pr2)K(r例例4-8 4-8 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图试绘制该系统的根轨迹图2s2s)2s(K)s(H)s(G2r 由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）分离点方程是离点）分离点方程是 即即 解方程可得解方程可得 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为分离点为 02222dssssdsd0242 dd414.31d586.02d586.02d1d 由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角点）的起始角1p1359045180)pp()zp(180211113512pp 证明证明 已知系统的开环零点和极点分别为已知系统的开环零点和极点分别为 ，令，令s=u+jvs=u+jv为根轨迹的任一点，为根轨迹的任一点，由相角条件可得由相角条件可得 将将s s、和和 代入得代入得 即即2z11 j1p11 j1p2180)ps()ps()zs(2111z1p2p180)1v(j1u()1v(j1u()jv2u(1801u1vtg1u1vtg2uvtg111应用三角公式应用三角公式yx1yxtgytgxtg111为准确地画出为准确地画出S S平面上根轨迹的图形，运用相角条平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在件可证明本系统在S S平面上的根轨迹是一个半径平面上的根轨迹是一个半径为为 ，圆心位于点，圆心位于点 的圆弧。

的圆弧2)0j,2(将上式等号左边合并可得到将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有将上式等号两边取正切，则有 180)1v()1u()1u(v22uv1)1v()1u()1u(v22uvtg222210)1v()1u()1u(v22uv220v2u4u22222)2(v)2u(方程表示在方程表示在S S平面上的根轨迹是一个圆心位于点平面上的根轨迹是一个圆心位于点 、半径、半径为为 的圆弧由此，可画出根轨迹的准确图形如图的圆弧由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-124-12所示)0 j,2(2图4-12 例4-8系统的根轨迹图 js0-1-2-3)0(1rKP1p)0(2rKP2p414.31d1d-4rK1-1)(1rKZ 由本例不难发现，由两个开环极点（实极由本例不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益环根轨迹增益 由零变到无穷大时，复平面上由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。

这个结论在数学上的严格证共轭复数极点时）这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行明可参照本例进行rK将上例与图例比较将上例与图例比较 例例4-9 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图试绘制该系统的根轨迹图解解 由已知系统的开环传递函数可得到它的由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为特征方程为 由规则一和规则二知，该系统的根轨迹共有由规则一和规则二知，该系统的根轨迹共有4 4条分条分支（支（n=4n=4），），4 4条根轨迹连续且对称于实轴条根轨迹连续且对称于实轴)2s2s)(2s(srK)s(H)s(G20Ks4s6s4sr234由规则三知，由规则三知，4 4条根轨迹的起点分别是系统的条根轨迹的起点分别是系统的4 4个开环极点个开环极点,即即 ，由于系统无有由于系统无有限开环零点（限开环零点（m=0m=0），），4 4条根轨迹的终点均在条根轨迹的终点均在S S平面的无穷远处平面的无穷远处（无穷零点）无穷零点）114,3jp01p22p 渐近线与实轴正方向的交角为渐近线与实轴正方向的交角为 当当k=0k=0时，时，当当k=1k=1时，时，当当k=2k=2时，时，当当k=3k=3时，时，mn1k2a51345a51343a4547a454a由规则四可求出由规则四可求出4 4条根轨迹渐近线与实轴的交点为条根轨迹渐近线与实轴的交点为104j1j12mnzpjia 由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由0 0到到-2-2的线的线段。

段由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）分离点方程是分离点方程是 即即 解方程得到解方程得到0|)22)(2(2 dsssssdsd013323ddd1d由规则七可求出复数极点由规则七可求出复数极点 和和 的起始角的起始角3p4p3p909045135180)pp()pp()pp(1804323139034pp 该系统为该系统为4 4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的交点交点 和对应的开环根轨迹增益的临界值和对应的开环根轨迹增益的临界值 比较困比较困难下面采用劳斯判据求出难下面采用劳斯判据求出 和和 的值根据系统的特征方程列出劳斯表如下：根据系统的特征方程列出劳斯表如下：1 6 4 4 0 5 0 0 5K420rcrcKcrcKrKrKrK3s1s2s4s0s 令劳斯表中令劳斯表中 行的首项系数为零，求得行的首项系数为零，求得 ，由由 行系数写出辅助方程为行系数写出辅助方程为 令令 ，并将，并将 代入辅助方程可求代入辅助方程可求出出 系统的根轨迹如图系统的根轨迹如图4-134-13所示1s5Krc2s0Ks5r2 js5KKrcr1c20.500.511.52j1.5132101204p3p2p1p图4-13 例4-9系统的根轨迹图5rcK4.3 广义根轨迹 前面介绍的普通根轨迹或一般根轨迹的绘制规则是以开环根轨迹增益 为可变参数的，大多数系统都属于这种情况。

但有时候，为了分析系统方便起见，或着重研究某个系统参数(如时间常数、反馈系数等)对系统性能的影响，也常常以这些参数作为可变参数绘制根轨迹，我们把以非开环根轨增益 作为可变参数绘制的根轨迹叫做参数根轨迹(或广义根轨迹)rKrK一.参数根轨迹例4-10 已知系统的开环传递函数为 试绘制以时间常数 T 为可变参数的根轨迹解 系统的特征方程 或 用 除等式两边得)1s)(1Ts(s2)s(H)s(G02)1s)(1Ts(s02ss)1s(Ts222ss202ss)1s(Ts122 令 （4-35）则有 （4-36）称 为系统的等效开环传递函数在等效开环传递函数中，除时间常数T取代了普通根轨迹中开环根轨迹增益 的位置外，其形式与绘制普通根轨迹的开环传递函数完全一致，这样便可根据绘制普通根轨迹的七条基本规则来绘制参数根轨迹2ss)1s(Ts)s(H)s(G220)s(H)s(G1)s(H)s(GrK 系统特征方程的最高阶次是3，由规则一和规则二知，该系统有三条连续且对称于实轴的根轨迹，根轨迹的终点(T=)是等效开环传递函数的三个零点，即 ；本例中，系统的等效开环传递函数的零点数m=3,极点数n=2，即mn。

在前面已经指出，这种情况在实际物理系统中一般不会出现，然而在绘制参数根轨迹时，其等效开环传递函数却常常出现这种情况1,0321zzz 与nm情况类似，这时可认为有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处（无限极点）因此，本例的三条根轨迹的起点(T=0)分别为 ，和无穷远处（无限极点）由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上-1至-线段由规则六可求出两个起始角分别为 866.05.01jp866.05.02jp3090120120601801p3012pp 由规则七可求出根轨迹与虚轴的两个交点，用 代入特征方程得 由此得到虚部方程和实部方程分别为 解虚部方程得 的合理值为 ，代入实部方程求得 秒，所以 为根轨迹与虚轴的两个交点js02j)1T(jT230)1T(20T23T1c1Tc1csj)(1Tz)(2Tz0)0(2Tp1)0(pT 1p2pT012060-1-0.53)(zT1)1(jTc)1(1cTj图4-14 例4-10系统的根轨迹图 由根轨迹图可知，时间常数 秒时，系统处于临界稳定状态，T1秒时，根轨迹在S平面右半部，系统不稳定由此可知，参数根轨迹在研究非开环根轨迹增益 对系统性能的影响是很方便的。

由上面的例子，可将绘制参数根轨迹的方法归纳为下述两个步骤：先根据系统的特征方程 求出系统的等效开环传递函数 ，使 与绘制普通根轨迹的开环传递函数有相同的形式，即1TTcrK0)s(H)s(G1)s(H)s(G)s(H)s(G其中 为除开环根轨迹增益 以外的任何参数，它是绘制参数根轨迹的可变参数根据绘制普通根轨迹的七条基本规则和等效开环传递函数 绘制出系统的参数根轨迹)s(H)s(GrKrKn1iim1jjr)ps()zs(K)s(H)s(G（4-37）（注：此处的零极点是等效开环传递函数的零极点）二 正反馈系统的根轨迹 正反馈系统的特征方程是 （4-38）即 （4-39）由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为 （4-40）（4-41）与负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件相比知，正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同；0)s(H)s(G11)s(H)s(G1)s(H)s(G),2,1,0k(360k0)s(H)s(G 负反馈系统的根轨迹遵循180相角条件，而正反馈系统的根轨迹遵循0相角条件故正反馈系统根轨迹又称为零度根轨迹由于相角条件不同，在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中与相角条件有关的三条规则作相应修改，这些规则是：正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角应为 （4-42）)1mn,2,1,0k(mnk2a 正反馈系统在实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。

正反馈系统的起始角和终止角应为 下面通过示例进一步说明正反。