高中数学椭圆及其标准方程教案(第一课时)新人教版选修2

椭圆及其标准方程教学目标： 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，以及 a， b， c 三者的关系教学重点：椭圆的定义及标准方程教学难点：标准方程的推导教学过程：一、引入师：同学们，我们上两节课学习了方程与曲线的关系，把几何图形与坐标进行了挂钩， 也即是一条曲线满足某个方程， 我们就知道满足这个方程的点一定在这条曲线上， 这条曲线上的点一定能满足这个方程， 我们同时还学习了求一条曲线的方程一般步骤： 建系，写出点的坐标的集合，建立方程，化简方程，检验曲线在我们是生活中到处可见，其中有不少都是非常有规则的， 具有一些特殊性质的曲线， 今天我们将要学习一种特殊的曲线， 在学习之前我们先来看一段小视频这个是我们神六飞行的一些片段， 好通过这个视频同学们可以看到神六绕地飞行的轨迹是一个椭圆， 我们知道除了神六， 我们太阳系里的行星绕太阳飞行的轨迹也是椭圆， 椭圆在我们的生活中也是随处可见既然椭圆在生活中是如此的常见， 人们是怎么准确的画出椭圆的呢？ 在画椭圆之前同学们回忆一下我们是怎样画圆的？定出圆心，去半径长，绕着圆心画一圈就可以了，对比圆，椭圆会不会有相似的画法呢？同学们看一看课本的探究活动，前面一部分同学们应该都清楚那是一个圆，我们现在来看后一部分，把细绳两端拉开一段距离，固定，拉紧绳子，移动笔尖，同学们想想，在这个过程中什么是不变的？（绳子长） ，对，鉴于用绳子操作起来比较麻烦，通过几何画板来给同学们演示一下。

画板上有固定的两点 F1，F2，M 三个点， 现在我们保持 MF1+MF2 不变， 同学们观察 M 点会画出怎样的一条轨迹，留意这几个数字的变化根据这一变化，我们给椭圆下个定义：平面内到两个定点的 F1， F2 的距离之和等于常数（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆问：为什么这个常数要大于 |F1F2|？如果没有这个限制会出现什么样的情况呢？生：学生讨论师：好我们现在同样通过几何画板来看看我们可以看到当等于 |F1F2|是轨迹是线段 F1F2，当小于 |F1F2|时，这样的 M 点不存在师：给 F1，F2 这两个点一个新名词，叫做椭圆的焦点，而这两点的距离叫做是椭圆的焦距 为了书写方便我们规定 |F1F2|=2c， MF1+MF2=2a ，再重述遍椭圆的定义师：椭圆的定义已经给出， 椭圆也是一条曲线， 他有没有方程呢 ?再回忆一下求曲线方程的一般步骤生：回答求曲线方程的步骤师：现在我们要求椭圆的方程，第一步就是要建系，我们应该怎样来建立坐标系呢？生：同学们各抒己见，最后得出以 F1， F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案，如图 2-27 ，推导出方程．以 F1，F2 所在直线为 y 轴，线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系， 如图 2-26 ；师：我们选择方案一来推导椭圆的方程解 1) 建系：以 F1，F2 所在直线为 x 轴，线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为 M(x，y) ，设两定点坐标为：F1(-c ，0) ， F2 (c ，0) ，2) 则 M满足： |MF1|+|MF 2 |=2a ，4) 化简．师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．师：好，下面我们就一起来完成这部分计算． ( 师生共同完成 )a4-2a 2cx+c2x2=a2x2-2a 2 cx+a2 c2+a2y2，整理得：(a 2-c 2)x 2 +a2y2=a2 (a 2-c 2) ．师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且 x，y 的系数形式不一致， 为了使方程形式和谐且便于记忆和使用， 我们应该如何将方程进行变形呢？学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28 ，看看a 与c的关系如何？师：请结合图形找出方程中 a、c 的关系．生：根据椭圆定义知道 a2＞ c2 ，且如图所示， a 与 c 可以看成 Rt△ MOF2的斜边和直角边．师：很好！那我们不妨令 b2=a2-c 2 ，则方程就变形为 b2x2+a2 y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？师：其中 a 与 b 的关系如何？为什么？生： a＞ b＞ 0，因为 a 与 b 分别是 Rt △MOF2的斜边、直角边．教师指出 (*) 式就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1) 方程中条件 a＞b＞0 不可缺少 ( 结合图形 ) ，当 a=b＞0 时，就化成圆心在原点的圆的方程2)b 的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：2 2 2b =a -c ；3) 请学生猜想：若用方案二 ( 即焦点在 y 轴上 ) ，得到的方程形式又如何呢？如果此处学生不能给出，教师将自行给出师：请同学们课后进行推导验证．师：此时方程中 a 与 b 的关系又如何？ ( 结合图形请学生将条件 a＞b＞0 补上． )师：像这种焦点在坐标轴上建立起来的椭圆的方程，我们称之为椭圆的标准方程。

师：下面我们来对比一下，椭圆两个标准方程的异同定 义 |MF 1|+|MF 2|=2a (2a>2c>0)图 形方 程焦 点a,b,c 之间的关系师：现在我们来看课本的例 1例 2：设 F1， F2 为顶点， |F1F2|=6,动点 M 的满足 |MF1|+|MF2|=8, 求动点 M 的轨迹。