内容欧氏空间等距变换的定义解析表达式重点等距变换

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,,*,,内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表达式,,重点：等距变换的解析表达式,1.4,等距变换,1,,1.4,等距变换-,定义,设,a,= (,x,1,,,y,1,,,z,1,),，,b,= (,x,2,,,y,2,,,z,2,),是,R,3,,中的任意两点，它们之间的距离为,如果,,T,:,R,3,→,R,3,,是一一对应，且,对任意,,a,、,b,∈,R,3,,有,d(,a,,,b,) =,d(,T,(,a,),,T,(,b,) ),，,则称,,T,是,R,3,,的,等距变换,，也叫,合同变换,、,保长变换,或,欧氏变换,．,2,,1.4,等距变换-,正交矩阵,如果一个,,3,阶矩阵,,T,,满足,,TT,,t,,=,E,,，则,,T,,是一个,,3,阶正交矩阵，其中,,T,,t,,表示,,T,,的转置矩阵，,E,,表示,,3,阶单位矩阵．所有,,3,阶正交矩阵关于矩阵的乘法构成群，叫,三阶,正交矩阵群，记为,,O,(3),．,由线性代数知，对任意,,3,阶矩阵,,A,,以及任意的向量,,a,、,b,∈,R,3,，有,,(,aA,) ·,b,=,a,,· (,bA,t,),，这里，,aA,,表示,,1×3,矩阵,,a,,与,3×3,矩阵,,A,,的积,，,bA,t,,等也作同样的解释,．,3,,1.4,等距变换-,解析表达式,定理,.,,,变换,,T,:,R,3,→,R,3,,是等距变换的充要条件是存在,,T,∈,O,(3),以及,,p,∈,R,3,，使,,T,(,r,) =,rT,,+,,p,,,对任意的,,r,,= (,x,,,y,,,z,)∈,R,3,成立,．,看证明,4,,1.4,等距变换-,等距变换群,欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫,等距变换群,．,上面的定理说明等距变换一定是形如,,rT,,+,p,,的变换，并且,T,∈,O,(3),，,因此,,T,,的行列式等于,,±1,．,当,,T,,的行列式等于,,+1,时，对应的等距变换叫,刚体运动,，简称,运动,；当,,T,,的行列式等于,,–,1,时，对应的等距变换叫,反向刚体运动,．,刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，叫,运动群,．,5,,1.4,等距变换-,切向量,设,,P,∈,R,3,，,C,,是过,,P,,点的曲线，我们把,,C,,在,,P,,点的切向量叫,,R,3,,在,,P,,点的,切向量,．过,,P,,点可以作很多曲线，因此就有很多切向量,．,R,3,,在,,P,,点的切向量的全体组成的集合记为,,T,P,,R,3,，叫做,R,3,,在,,P,,点的,切空间,．,注意到,,R,3,,在,,P,,点的任一切向量是某条过,,P,,点的曲线在该点的切向量，所以,对任意,,v,∈,T,P,,R,3,有如下形式,,,v,=,r',(,t,0,) = (,x',(,t,0,),,y',(,t,0,),,z',(,t,0,) ),．,切向量也可以看成是,,R,3,,的点，这样，,R,3,,与,,T,P,,R,3,,就自然等同起来了,．,6,,1.4,等距变换-,幺正标架,R,3,,的一个,标架,,[,P,;,e,1,,,e,2,,,,e,3,],是由,,R,3,,的一个点,,P,（叫标架的原点）和,P,,点的,,3,个线性无关的有序切向量,,e,1,,,e,2,,,,e,3,所构成．如果这三个切向量是两两正交的单位向量，则称相应的标架为,正交标架,或,幺正标架,．,显然，,[,O,;,i,,,j,,,k,],是,R,3,,的一个幺正标架,．,,O,e,1,e,3,e,2,P,,7,,1.4,等距变换-,正标架,设,[,P,;,e,1,,,e,2,,,,e,3,],是另一个标架，其中,,,e,i,=,a,i,i,,+,b,i,j,+,c,i,k,,,i,=1,2,3,．,,令,如果,,det,,A,,> 0,，,则称,,[,P,;,e,1,,,e,2,,,,e,3,],是,正标架,或,右手标架,或,右手系,．,[,P,;,e,1,,,e,2,,,,e,3,],是正标架的充分必要条件是混合积,,(,e,1,,,e,2,,,,e,3,) > 0,．,8,,。