第六章不等式

十年高考分类解析与应试策略数学第六章 不等式●考点阐释不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.不等式的性质在解不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法.●试题类编一、选择题1.（2003京春文，1）设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D.2.（2002京皖春，1）不等式组的解集是（ ）A．｛x｜－1＜x＜1 B．｛x｜0＜x＜３C．｛x｜0＜x＜1 D．｛x｜－1＜x＜３3.（2002全国，3）不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（ ）A．｛x｜0≤x＜1 B.｛x｜x＜0且x≠－1C．｛x｜－1＜x＜1 D.｛x｜x＜1且x≠－14.（2001河南、广东，1）不等式>0的解集为（ ）A.{x|x<1} B.{x|x>3}C.{x|x<1或x>3} D.{x|1b>0是a2>b2的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件7.（2000全国，7）若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），则（ ）A.R＜P＜Q B.P＜Q＜RC.Q＜P＜R D.P＜R＜Q※8.（2000全国，6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%………某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）A.800～900元 B.900～1200元C.1200～1500元 D.1500～2800元9.（1999上海理，15）若a（b+）2均不能成立D.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立※10.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A.5种 B.6种 C.7种 D.8种11．（1997全国，14）不等式组的解集是（ ）A.｛x｜0＜x＜2 B.｛x｜0＜x＜2.5C.｛x｜0＜x＜ D.｛x｜0＜x＜312.（1994上海，12）若0＜a＜1，则下列不等式中正确的是（ ）A.（1－a）＞（1－a） B.log1－a（1＋a）＞0C.（1－a）3＞（1＋a）2 D.（1－a）＞1二、填空题13.（2002上海春，1）函数y＝的定义域为 ．14.（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .15.（1995全国理，16）不等式（）＞3－2x的解集是_____.16.（1995上海，9）不等式＞1的解是 .17.（1994上海，1）不等式|x＋1|＜1的解集是_____.三、解答题18.（2002北京文，17）解不等式＋2＞x．19．（2002北京理，17）解不等式|－x|＜2.※20.（2002上海，20）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围［200，400［400，500［500，700［700，900……获得奖券的金额（元）3060100130……根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0．2＋30＝110（元）.设购买商品得到的优惠率＝.试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率?21.（2002江苏，22）已知a＞0，函数f（x）＝ax－bx2．（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2；（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2；（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件.22.（2001年天津，7）解关于x的不等式＜0（a∈R）．※23.（2000上海春，19）有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?※24.（2000京皖春文24，理23）某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.4元／kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为ｋ）.该地区电力的成本价为0.3元／kW·h.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设ｋ＝0．2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?（注：收益＝实际用电量×（实际电价M成本价））25.（2000全国文20，理19）设函数f（x）＝－ax，其中a＞0．（1）解不等式f（x）≤1；（2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.26.（1999全国理，19）解不等式（a＞0且a≠1）.27．（1998全国文，20）设a≠b,解关于x的不等式a2x＋b2（1－x）≥［ax＋b(1－x)］2．图6—1※28．（1998全国文24、理22）如图6—1，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?※29.（1997全国，22）甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?30.（1997全国理，24）设二次函数f（x）＝ax2＋bx+c（a＞0），方程f（x）－x＝0的两根x1、x2满足0＜x1＜x2＜．（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明：x＜f（x）＜x1；（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜．31．（1996全国理，20）解不等式loga（1）＞1．32．（1996全国文，20）解不等式loga（x＋1－a）＞1．33．（1996全国理，25）已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2＋bx＋c，g（x）=ax+b，当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1．（Ⅰ）证明：|c|≤1；（Ⅱ）证明：当－1≤x≤1时，|g（x）|≤2；（Ⅲ）设a＞0，当－1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.34.（1994全国文，22）已知函数f（x）=logax（a>0，且a≠1），x∈［0，+∞）.若x1，x2∈［0，+∞），判断［f（x1）+f（x2）］与f（）的大小，并加以证明.●答案解析1.答案：A解析：∵a>b，c>d，∴a+c>b+d.2.答案：C解析：原不等式等价于： 0＜x＜13.答案：D解法一：①x≥0时，原不等式化为：（1＋x）（1－x）＞0 ∴（x＋1）（x－1）＜0∴0≤x＜1②x＜0时，原不等式化为：（1＋x）（1＋x）＞0（1＋x）2＞0 ∴x≠－1∴x＜0且x≠－1综上，不等式的解集为x＜1且x≠－1.解法二：原不等式化为： ①或 ②①解得－1＜x＜1②解得即x＜－1∴原不等式的解集为x＜1且x≠－1评述：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求.4.答案：C解析：由已知（x－1）（x－3）>0，∴x<1或x>3.故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}.5.答案：B解析：3a+3b≥2=6，当且仅当a=b=1时取等号.故3a+3b的最小值是6.评述：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件.6.答案：A解析：由a>b>0得a2>b2.反过来a2>b2则可能ab>0是a2>b2的充分不必要条件.7.答案：B解析：∵lga＞lgb＞0，∴（lga＋lgb）＞，即Q＞P，又∵a＞b＞1，∴，∴（lga＋lgb），即R＞Q，∴有P＜Q＜R，选B.8.答案：C解析：分别以全月工资、薪金所得为900元，1200元，1500元，2800元计算应交纳此项税款额，它们分别为：5元，20元，70元，200元.∵20＜26．78＜70，所以某人当月工资、薪金所得介于1200～1500元，选C.9.答案：B解析：∵b<0，∴－b>0，∴a－b>a，又∵a－b<0，a<0，∴.故不成立.∵a|b|，∴故不成立.由此可选B.另外，A中成立.C与D中（a+）2>（b+）2成立.其证明如下：∵a|b+|，故（a+）2>（b+）2.评述：本题考查不等式的基本性质.※10.答案：C解析：设购买软件x片，x≥3且x∈N*，磁盘y盒，y≥2且y∈N*，则60x+70y≤500，即6x+7y≤50．①当x=3时，y=2，3，4.有3种选购方式.②当x=4时，y=2，3.有2种选购方式.③当x=5时，y=2.有1种选购方式.④当x=6时，y=2.有1种选购方式.综上，共有7种选购方式，故选C.评述：此题考查不等式的应用，建模能力，分类讨论思想及应用意识.11.答案：C解法一：当x≥2时，原不等式化为，去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2），即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0，．注意x≥2，得2≤x＜；当0＜x＜2时，原不等式化为，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6即2x＞0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2．综上得0＜x＜，所以选C.解法二：特殊值法.取x=2，适合不等式，排除A；取x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x=，不适合不等式，所以排除B；选C.评述：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力.12.答案：A解析：因为0＜a＜1，所以0＜1－a＜1，而指数函数y=mx（m＞0，m≠1）在0＜m＜1时，是减函数，则（1－a）＞（1－a），故选A.13.答案：（－3，1）解析：3－2x－x2>0 ∴x2+2x－3<0 ∴－30）由ab=a+b+3≥2+3，得t2≥2t+3，解得t≥3，即≥3.故ab≥9.解析二：由已知得ab－b=a+3，b（a－1）=a+3，∴b=（a>1）∴ab=a=［（a－1）+1］=a+3+=a－1+4+=a－1++5≥2+5=9.当且仅当a－1=时取等号.即a=b=3时ab的最小值为9.所以ab的取值范围是（9，+∞）.评述：本题考查基本不等式的应用及不等式的解法及运算能力.解法一重在思考a+b与ab的关系联想均值不等式.而解法二是建立在函数的思想上，求函数的值域.15．答案：｛x|－2＜x＜4｝解析：将不等式变形得则－x2＋8＞－2x，从而x2－2x－8＜0，（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝．评述：此题考查指数不等式的解法.16.答案：x＜－3或x＞4解析：变形得＞0，即＞0，所以x＜－3或x＞4．17.答案：{x|－20，x2>0，∴x1·x2≤（）2（当且仅当x1=x2时取“=”号）当a>1时，loga（x1·x2）≤loga（）2，∴logax1x2≤loga即［f（x1）+f（x2）］≤f（）（当且仅当x1=x2时取“=”号）当0