小学数学 简单的排列问题教师版

SIL-7-4-1.简单的排列问题m匸教学目标1. 使学生正确理解排列的意义；2. 了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3. 掌握排列的计算公式；4. 会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等.一、排列问题知识要点在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就 是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地，从n个不同的元素中取出m (m < n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列.根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同.如果 两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺 序不同，它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n个不同的元素中取出m (m< n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个 元素的排列数，我们把它记做Pm .n根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1 :从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2 :从剩下的(n-1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n-1)种方法；步骤m :从剩下的［n - (m -1)］个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n — (m — 1) = n — m +1(种)方法;由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n(n-1)-(n-2) (n-m +1)，即Pm =n(n -1)( n - 2)…(n - m +1)，这里，m < n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共n有m个因数相乘.二、排列数一般地，对于m = n的情况，排列数公式变为Pn = n •(n-l)(n-2) ••…3-2-1 .n表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列.式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1, 一直乘到1的乘积，记为n!,读做n的阶乘，则Pn还可以写为：Pn = n!，其中 n! = n •(n-1)(n-2) 3• 2・1 .例题精讲模块一、排列之计算【例1】 计算：⑴P2 ；2) P4 - P3 .5 7 7【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】由排列数公式Pm =n(n- 1Rn-2)…(n-m +1)知：n⑴ P 2 = 5 X 4 = 205⑵ P4 = 7 X6X5 X4 = 840, P3 = 7 x6x5 = 210，所以 P4 -P3 = 840- 210 = 630 .7 7 7 7【答案】⑴20 ⑵630【巩固】计算：⑴P2 ；2） P3 - P2 .题型】解答3 6 10考点】简单排列问题 【难度】1 星【解析】⑴P2 = 3X2 = 63【答案】⑴6(2) P3 — P2 = 6 X 5 X 4 —10 X 9 = 120 — 90 = 30 .6 10230【巩固】计算：⑴P3 — P 2 ； ⑵3P5 — P3 .题型】解答14 14 6 3考点】简单排列问题 【难度】1 星【解析】⑴P3 — P2 = 14X13X12 —14X13 = 2002 ；14 14(2) 3P5 — P3 = 3 x (6 x 5 x 4 x 3 x 2) — 3 x 2 x 1 = 2154 .63【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题例 2】 有4 个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3 人拍照，共可能有多少种拍照情况？ （照 相时3 人站成一排）考点】简单排列问题 【难度】2 星 【题型】解答解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由 于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3 个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：P3 = 4x3x2 = 24（种）不同的拍照情况.4也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：P4 = 4x3x2x 1 = 24（种）不同的拍照情况.4答案】24巩固】 4名同学到照相馆照相.他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？考点】简单排列问题 【难度】2 星 【题型】解答解析】4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上.所以这是一个从4个元素中选4个， 排成一列的问题.这时n = 4 , m = 4 .由排列数公式知，共有P 4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24（种）不同的排法.4答案】24巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有P 9种不同站法.而问题中，9 9 个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后 排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有P9 = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880 （种）不同的排法.9方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个．p4 - p5 = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880答案】362880巩固】 5 个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列 问题，且n = 4 .由全排列公式，共有P4 = 4x3x2x 1 = 24（种）不同的站法.4答案】24巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5 人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少 种不同的站法？考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排 列问题，且n=4.由全排列公式，共有P 4 = 4 X 3 X 2 X1 = 24（种）不同的站法.4【答案】 24【例 3】 5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有 种？【考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯， 4 年级，第 8 题【解析】5个人全排列有5! = 120种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种【答案】 60 种【例 4】 一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站（包括北京和上海），这条铁路线共需要多少种 不同的车票．【考点】简单排列问题 【难度】 3 星 【题型】解答【解析】P2 = 14X13 = 182（种）.14【答案】 182【例 5】 班集体中选出了5 名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问： 有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题 【难度】 3 星 【题型】解答【解析】P5 = 120（种）.5【答案】 120【例 6】 有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信 号？【考点】简单排列问题 【难度】 3 星 【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置.我们的 问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题.由于信号不仅与旗子的颜色有关， 而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n = 5 , m = 3 .由排列数公式知，共可组成P 3 = 5 x 4 x 3 = 60（种）不同的信号.5【答案】 60【巩固】 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少 种不同的信号？【考点】简单排列问题 【难度】 3星 【题型】解答【解析】P2 = 3X 2 = 6 .3【答案】 6【巩固】 在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、 绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同 的信号？【考点】简单排列问题 【难度】 3星 【题型】解答【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排 法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成P 3 = 3 x 2 x 1 = 6（种）不同的信号.3 方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法； 其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗 中去取，有 2 种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3x2x 1 = 6（种）. 【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式 做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】 6模块三、排列之数字问题例 7】 用1、2、3、4、5、6、7、8 可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 考点】简单排列问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知n = 8 , m = 4，根据排列数公式，一共可以组成 P4 = 8X7X6X5 = 1680 （个）不同的四位数.8答案】 1680巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？ 考点】简单排列问题 【难度】 2星 【题型】解答【解析】P3 = 120 .6答案】 120例 8】 用0 、1 、 2 、 3 、 4可以组成多少个没重复数字的三位数？ 考点】简单排列问题 【难度】 3星 【题型】解答解析】（法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有P2种4 方法.由乘法原理得，此种三位数的个数是：4xP2 = 48（个）.4 （法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的.从 0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为P3，其中首位是0的三位数有P2个.三位54 数的个数是：P3 一 P2 = 5 x 4 x 3 一 4 x 3 = 48 （个）.54 本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接 在排列的时候考虑这些限制因素．答案】 48例 9】 用1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？ 考点】简单排列问题 【难度】 3星 【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知n = 5，m = 2，根据排列数公 式，一共可以组成P 2 = 5 x 4 = 20（个）符合题意的三位数.5答案】 20巩固】用1、2、3、4、5、6 六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶 数？考点】简单排列问题 【难度】 3星 【题型】解答解析】由于组成偶数，个位上的数应从2， 4， 6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有P2 = 5x4 = 20（种）选法.由乘法原理，一共可以组成3x20 = 60（个）不同的偶数..5答案】 60例 10】 由0 ， 2 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8组成无重复数字的数，四位数有多少个？ 考点】简单排列问题 【难度】 3星 【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为P4 = 6x5x4x3 = 360，由于0不能在千位6上，而以0为千位数的四位数有P3 = 5x4x3 = 60，它们的差就是由0，2，5，6，7，85 组成无重复数字的四位数的个数，即为： 360 一 60 = 300个.方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为 4个步骤进行， 第一步：确定千位数；第二步：确定百位数； 第三步：确定十位数；第四步：确定个位数； 这四个步骤依次完成了， “组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确 定了，思维过程如下：干准百位十位為-■步：嘯匡十也數 \賢J■步：嘯匡十使歔白-F首衣不宛为!国为千僵転百■代乙也a.所以貝能小二.5. i0.2.5.6.7.@+a. 7. s申任建-■伞:園去2申扯辛.所哦十代敷卒. '获毘\科崔；4.:貝龜以軀下阿數卒申述1r择.头商4科迖法， r r・・L\L …尸第二步：喻疋百■代數1翳四步：哺芝■t■龙數由干數年护丸祥■童■愛楼用,: 国为于血.百侦和十■所事十栓周过网敷平百也工醍再:社 tLAO .2.5.6.?.用.懿旳百■代可呀是0 ,所洱在:呂中用舟？牛撤半，師汨2 . J . 6 . 7 . g申去棹屮卷:令握只雄丛飙下的數辛申用占向一"t■教丰，百仅臭有刁时:遶择，黑府？科述主， J直4根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5x5x4x3 = 300（个）.【答案】300【例11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3 ；（2）两位数：由1与2，1与5，2与4 ， 4与5四组数字组成，每一组可以组成P2 = 2x 1 = 2（个）不同2的两位数，共可组成2 x 4二8（个）不同的两位数；⑶三位数：由1， 2与3 ； 1，3与5 ； 2，3与4; 3，4与5四组数字组成，每一组可以组成 P 3 = 3 x 2 x 1 = 6 （个）不同的三位数，共可组成6 x 4 = 24（个）不同的三位数；3⑷ 四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有P4 = 4x3x2x 1 = 24（个）不同的四位数；4（5）五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有P5 = 5x4x3x2x 1 = 120（个）不同的五位数.5由加法原理，一共有1 + 8 + 24 + 24 +120 = 177（个）能被3整除的数，即3的倍数.【答案】177【例12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】可以分两类来看：（1） 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有 P4 = 4x3x2x 1 = 24（种）放法，对应24个不同的五位数；4（2） 把2, 4, 5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可 以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有P3 = 6种选择.由乘法原3理，可以组成3 x 3 x 6 = 54（个）不同的五位数.由加法原理，可以组成24 + 54 = 78（个）不同的五位数.【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687 是第几个数？【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：（1） 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0〜9中除千位已确定的数 字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、 个位可有P3 = 9 x 8 x 7 = 504（种）排列方式.由乘法原理，有4 x 504 = 2016（个）.9（2） 千位上排5，百位上排0〜4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个 数字中选择.也就是从8个元素中取2个的排列问题，即P2 = 8x7 = 56，由乘法原理，有81x 5 x 56 = 280（个）.⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0， 1， 2， 3， 4， 7时，个位也从剩下的七个数字中选择， 有 lx lx 6 x 7 = 42（个）.⑷ 千位上排5 ，百位上排6 ，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0 ， 1， 2， 3， 4共5个. 综上所述，比5687小的四位数有2016 + 280 + 42 + 5 = 2343（个），故5687是第2344个四位数.【答案】2344【例13】 用数字1〜8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数.共有—种组成方法．【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 7 题【解析】1〜8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件 的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第 1、4、7位上的数被3除同余， 第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除， 第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余 数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3! x3! x2! =144种方 法.【答案】 144 种【例14】由数字0、2、8 （既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列.2008排在 个.【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有2x3x3 = 18 （种）比2008小的2位数有2x3 = 6 （种）比2008小的1位数有2 （种）所以2008排在第2 +18 + 6 + 2 +1 = 29 （个）.【答案】 29【例 15】 千位数字与十位数字之差为 2（大减小），且不含重复数字的四位数有多少个?【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为2〜9，对应的十位数字取0〜7， 每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就 行了，因此总共有8xP2个这样的四位数.⑵千位数字小于十位数字，千位数字取1〜7，十位数字 8取3〜9，共有7xP2个这样的四位数.所以总共有8xP2 + 7xP2 = 840个这样的四位数.8 8 8【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9， 那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题 【难度】 4星 【题型】解答【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1， 1， 1， 6；1， 1， 2， 5；1， 1， 3， 4；1， 2， 2， 4；1， 2， 3， 3；2， 2， 2， 3 六种.第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个， 其余位置放1，共有 4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有 4 x 3二12（种）选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择.最后一种，与第一种的 情形相似， 3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择.综上所述，由加法原理，一共可以组成4 +12 +12 +12 +12 + 4 = 56（个）不同的四位数，即确保能打开 保险柜至少要试56次.【答案】 56【例 17】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题 【难度】 3星 【题型】解答【解析】在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转 化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题.由排列数公式，共有：P3 = 6X5X4 = 120（种）不同的坐法.6答案】120巩固】 幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？ 考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个 位置，则问题转化为从6 把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题.由排列公式，共有：P3 = 6x5x4 = 120（种）不同的坐法.6答案】120巩固】 10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种 不同的坐法？考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取 6个，排在6个不同位置的排列问题.共有 P6 = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 151200（种）不同的坐法.10答案】151200【例18】一个篮球队有五名队员A , B , C , D , E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以 分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？考点】简单排列问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下 来以后，其余4个人对应4个位置，有P4 = 4x3x2x 1 = 24 （种）排列.由乘法原理，44x24 = 96，故一共有96种不同的站位方法.方法二：五个人分配到五个位置一共有P5 = 5X4X3X2X1 = 120（种）排列方式，E能做中锋一共有5P4 = 4X3X2X1 = 24（种）排列方式，则E不能做中锋一共有P5 -P4 = 120-24 = 96种不同的4 5 4站位方法.答案】 96例 19】 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法? 考点】简单排列问题 【难度】 3 星 【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列，如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将10块 糖分成了两部分.我们记从左至右，第1 部分是第1 天吃的，第2部分是第2 天吃的,…， 如：ooo|ooooooo表示第一天吃了 3粒，第二天吃了剩下的7粒： oooo | ooo| ooo表示第一天吃了 4粒，第二天吃了 3粒，第三天吃了剩下的3粒. 不难知晓，每一种插入方法对应一种吃法，而 9 个间隙，每个间隙可以插人也可以不插入，且相互独立， 故共有29=512种不同的插入方法，即512种不同的吃法.答案】 512。