信号与系统：第3讲 第2章 线性时不变系统1

连续时间连续时间LTILTI系统：卷积积分；系统：卷积积分；n单位冲激与单位阶跃函数的介绍单位冲激与单位阶跃函数的介绍n离散情况的奇异函数离散情况的奇异函数n连续情况的奇异函数连续情况的奇异函数n冲激函数的性质冲激函数的性质-采样性、齐次性采样性、齐次性n连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统n简单系统简单系统-RC电路、银行利息电路、银行利息n系统的互联系统的互联-串联、并联和反馈串联、并联和反馈n基本的系统性质基本的系统性质n记忆、可逆、因果、稳定、时不变、线性记忆、可逆、因果、稳定、时不变、线性2022-9-22信号与系统第3讲3n前面介绍了信号和系统的基本概念前面介绍了信号和系统的基本概念n进一步了解进一步了解LTI系统输入和输出之间的关系系统输入和输出之间的关系n将信号表示为延时脉冲的线性组合来求解将信号表示为延时脉冲的线性组合来求解n对于离散时间系统对于离散时间系统n卷积和的概念用于表达输入输出之间关系卷积和的概念用于表达输入输出之间关系n对于连续时间系统对于连续时间系统n卷积概念用于表达输入和输出之间的关系卷积概念用于表达输入和输出之间的关系n线性时不变系统的特殊性质线性时不变系统的特殊性质n常系数微（差）分方程求解常系数微（差）分方程求解n求解系统响应有帮助的奇异函数介绍求解系统响应有帮助的奇异函数介绍2022-9-22信号与系统第3讲4n1.用脉冲表示离散时间信号用脉冲表示离散时间信号n任何离散序列可以当做一串单任何离散序列可以当做一串单个脉冲来想象个脉冲来想象n数学上用一系列的加权延迟脉数学上用一系列的加权延迟脉冲线性组合表示冲线性组合表示n综合表达为综合表达为n特别在特别在xn=un2022-9-22信号与系统第3讲5n2.离散时间离散时间LTI系统的单位脉冲响应及卷积和表示系统的单位脉冲响应及卷积和表示n用单位脉冲来表示任何的信号的意义用单位脉冲来表示任何的信号的意义n可以将系统分析简单化，对于可以将系统分析简单化，对于LTI系统，知道系统对单位脉冲有系统，知道系统对单位脉冲有什么反应，对其他信号的反应就是一个线性叠加的问题了什么反应，对其他信号的反应就是一个线性叠加的问题了输入为单位脉冲得到的系统输出称为单位脉冲响应输入为单位脉冲得到的系统输出称为单位脉冲响应根据单位脉冲响应，就可以求解任何输入信号的响应根据单位脉冲响应，就可以求解任何输入信号的响应2022-9-22信号与系统第3讲6n任意信号的响应表达任意信号的响应表达 任意信号任意信号xn的响应的响应yn是单位脉冲响应的加权和，权是单位脉冲响应的加权和，权值为信号值为信号xn分解为单位脉冲信号组合时的对应权值分解为单位脉冲信号组合时的对应权值2022-9-22信号与系统第3讲7n响应响应yn的表达式的表达式-卷积和表达卷积和表达采用卷积和表达符号的表达方式采用卷积和表达符号的表达方式 yn=xn*hn由此一来，单位脉冲响应成为系统表达的重要特征由此一来，单位脉冲响应成为系统表达的重要特征卷积和的计算卷积和的计算n时间反转时间反转n时间位移时间位移n相乘相乘n求和求和h khkhkh nk x k h nk kx k h nk 2022-9-22信号与系统第3讲8n卷积和计算举例卷积和计算举例2022-9-22信号与系统第3讲9n卷积和计算举例卷积和计算举例2.1(图解方式图解方式)2022-9-22信号与系统第3讲10n卷积和计算举例卷积和计算举例2.2（级数求和）（级数求和）2022-9-22信号与系统第3讲11n有限长序列的卷积和计算有限长序列的卷积和计算n已知已知n求两序列的卷积和求两序列的卷积和n解：解：n依次可以求得依次可以求得y(3)=6、y(4)=5、y(5)=3、y(6)=0、其它,02,1,0,1)(kkf其它,03,2,1,0,)(kkkh 0 1 2 k f(k)0 1 2 3 k h(k)kjjkhjfkhkfky0)()()()()(000:(0)()()(0)(0)0jkyfj hjfh101:(0)()(1)(0)(1)(1)(0)1jkyfj hjfhfh202:(0)()(2)(0)(2)(1)(1)(2)(0)3jkyfj hjfhfhfh2022-9-22信号与系统第3讲12n作出序列阵表格作出序列阵表格n根据阵列关系计算相关乘积项的和，得到结果根据阵列关系计算相关乘积项的和，得到结果 h(0)h(k)f(0)f(1)f(2)f(3)f(k)h(1)h(2)h(3)：f(0)h(0)f(1)h(0)f(2)h(0)0 f(0)h(1)f(1)h(1)f(2)h(1)0 f(0)h(2)f(1)h(2)f(2)h(2)0 f(0)h(3)f(1)h(3)f(2)h(3)0 0 0 0 0y(0)=0y(1)=1y(2)=3y(3)=6y(4)=5y(5)=32022-9-22信号与系统第3讲13n将有限长序列写成多项式，尾部对齐，逐项相乘将有限长序列写成多项式，尾部对齐，逐项相乘n对于本例，对于本例，f(k)=1,1,1 h(k)=0,1,2,3n相乘过程相乘过程n结果为结果为 f(k)*h(k)=0,1,3,6,5,30 1 3 6 5 30 1 2 3 1 1 10 1 2 31 2 31 2 3+002022-9-22信号与系统第3讲14n类似连续时间系统中的方式类似连续时间系统中的方式n反褶平移相乘取和反褶平移相乘取和n对于本例对于本例nK=0;y(0)=f(0)h(0)=0nK=1;y(1)=f(0)h(1)+f(1)h(0)=1nK=2;y(2)=f(2)h(0)+f(1)h(1)+f(0)h(2)=3nK=3;y(3)=3+2+1=6n 0 1 2 j f(j)0 1 2 3 jh(j)-3-2-1 0 jh(-j)-3-2-1 0 jh(1-j)-3-2-1 0 1 2 jh(2-j)-3-2-1 0 1 2 3 jh(3-j)2022-9-22信号与系统第3讲1512000(1)111()()(1)111kkkkjkjkjkkZSNjjjkkkykGjn例题例题 已知已知 求零状态响应求零状态响应yzs(k)n解：解：n(1)当当0k0随随k增加而减小）增加而减小）1,1()0,1NjNGjjN1001112(1)0011()()()()(1)111kNkkjkjkjZSNNNjjj NNNkjkjkNjjNkNkkykGjGjGj1 yZS(k)0 1 2 3 N-1 k 2022-9-22信号与系统第3讲17n1.用冲激表示连续时间信号用冲激表示连续时间信号n与离散时间系统类似，可以通过冲击信号来表示任何连与离散时间系统类似，可以通过冲击信号来表示任何连续时间信号，以简化对连续时间系统的分析续时间信号，以简化对连续时间系统的分析n对于离散时间系统，任意信号的单位脉冲表达式为对于离散时间系统，任意信号的单位脉冲表达式为n连续时间信号的冲击函数表示为连续时间信号的冲击函数表示为2022-9-22信号与系统第3讲18n任意函数分解任意函数分解n将信号在垂直方向分成小块，每个小块长度趋近于将信号在垂直方向分成小块，每个小块长度趋近于0 的近似的近似0()()()()nu tn tu tn ttx tx n ttt 00()()()tx txtd 当2022-9-22信号与系统第3讲19n2.连续时连续时LTI系统的单位冲激响应及卷积积分表示系统的单位冲激响应及卷积积分表示n对于连续对于连续LTI系统，输入为单位冲激信号，系统的响应称系统，输入为单位冲激信号，系统的响应称为单位冲激响应为单位冲激响应n对于任意连续时间信号，其响应的表示过程对于任意连续时间信号，其响应的表示过程n输入信号输入信号n冲激响应冲激响应n所求响应所求响应n取极限取极限2022-9-22信号与系统第3讲20n卷积积分卷积积分n积分表达式积分表达式n称为卷积积分，可以用卷积运算符表示为称为卷积积分，可以用卷积运算符表示为ny(t)=x(t)*h(t)由此一来，单位冲激响应成为系统表达的重要特征由此一来，单位冲激响应成为系统表达的重要特征卷积的计算卷积的计算n时间反转时间反转n时间位移时间位移n相乘相乘n积分积分h()h()()xh(t)()()y txh(t)dh()h(t)2022-9-22信号与系统第3讲21n卷积积分计算举例卷积积分计算举例在在t1的时候的时候 x()h(t-)=0，所以y(t)=02022-9-22信号与系统第3讲22n卷积积分计算举例卷积积分计算举例2.32022-9-22信号与系统第3讲23n卷积积分计算举例卷积积分计算举例2.32022-9-22信号与系统第3讲242022-9-22信号与线性系统第3讲24例：求下图中方波例：求下图中方波 f1(t)与三角波与三角波 f2(t)卷积后的卷积后的 g(t)的表达式。

的表达式0.50.501f1(t)t110f2(t)t-0.50.501f2(0-)-1-0.50.501f2(0.5-)-0.50.501f2(1-)1-0.50.501f2(1.5-)1 1.5-0.50.501t1 1.5dtfftg)()()(213/81/21/82022-9-22信号与系统第3讲252022-9-22信号与线性系统第3讲251 -0.5 t 0.5f1(t)=0 其它 1-t 0 t 1 f2(t)=0 其它f1()=1 -0.5 0.50 其它f2(t-)=1-(t-)0 t-10 其它上式可改写成f2(t-)=+(1-t)t-1 t0 其它将将 t 分为四段：分为四段：(1)t 1.5 f1()f2(t-)=0 2022-9-22信号与系统第3讲262022-9-22信号与线性系统第3讲26f1()f2(t-)=+(1-t)0-0.5 t其它8321215.015.021 121 121 1)(2225.025.0tttttttdttgtt第2段解析解-0.5 t 0.5分别用 t=-0.5，0，和 0.5 代入，可得 g(-0.5)=0，g(0)=3/8，g(0.5)=1/22022-9-22信号与系统第3讲272022-9-22信号与线性系统第3讲27第3段解析解 分别用 t=0.5，1，和 1.5 代入，可得 g(0.5)=1/2，g(1)=1/8，g(1.5)=0f1()f2(t-)=+(1-t)0t-1 0.5其它892321111215.0 15.021 121 1)(2225.0125.01tttttttdttgtt2022-9-22信号与系统第3讲282022-9-22信号与线性系统第3讲28性质性质1.互换律)()()()(tutvtvtu2.分配律)()()()()()()(twtutvtutwtvtu3.结合律)()()()()()(twtvtutwtvtu4.卷积的微分)()()()()()(tvdttdudttdvtutvtudtd2022-9-22信号与系统第3讲292022-9-22信号与线性系统第3讲29性质性质5.卷积的积分tvdxxudxxvtudxxvxuttt dttdvdxxudxxvdttdutvtutt)()()()()()(2022-9-22信号与系统第3讲302022-9-22信号与线性系统第3讲30性质性质例题例题 利用卷积运算的性质证明利用卷积运算的性质证明ttdxxfdxxtftfttf)()()()()()(和证：根据冲击函数抽样性)()()()()(ttfdtftf将上式两边微分可证得)()()()()()()(ttfttfttfdtdtf若将该式两边积分，则可得)()()()()()()()()(ttfdxxtftdxxfdxxxfdxxftttt微分器积分器2022-9-22信号与系统第3讲312022-9-22信号与线性系统第3讲31性质性质例题：求例题：求)1()2()2()1(tettt解：查表 2-1 公式 11，得)(1)()(tettetttt)3()2()12()121()1()2()2()3()12()1(tettettettttt6.卷积积分的时移性若)()()(21tftftf则)()()(212211tttfttfttf2022-9-22信号与系统第3讲322022-9-22信号与线性系统第3讲32性质性质 卷积积分性质应用 f(t)h(t)1 1 0 1 t 0 1 2 t f(t)*h(t)=?已知 u(t)*u(t)=r(t)1.根据延时性质计算 2.根据微分性质计算2022-9-22信号与系统第3讲33本讲小结本讲小结n离散时间离散时间LTI系统响应的分析系统响应的分析n离散时间序列的单位脉冲分解离散时间序列的单位脉冲分解n卷积和的定义以及计算卷积和的定义以及计算n连续时间连续时间LTI系统响应的分析系统响应的分析n连续时间信号的冲击函数分解连续时间信号的冲击函数分解n卷积的定义以及计算卷积的定义以及计算n卷积的性质卷积的性质。