2013版高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系（北师大版·数学理）

第 一 节 坐 标 系 三 年 16考 高 考 指 数 : 1.理 解 坐 标 系 的 作 用 ， 了 解 在 平 面 直 角 坐 标 系 伸 缩 变 换 作 用 下平 面 图 形 的 变 化 情 况 .2.能 在 极 坐 标 系 中 用 极 坐 标 表 示 点 的 位 置 ， 理 解 在 极 坐 标 系 和平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 点 的 位 置 的 区 别 .能 进 行 极 坐 标 和 直 角 坐标 的 互 化 . 3.能 在 极 坐 标 系 中 给 出 简 单 图 形 (如 过 极 点 的 直 线 、 过 极 点 或圆 心 在 极 点 的 圆 )的 方 程 ,通 过 比 较 这 些 图 形 在 极 坐 标 系 和 平 面直 角 坐 标 系 中 的 方 程 ， 理 解 用 方 程 表 示 平 面 图 形 时 选 择 适 当 坐标 系 的 意 义 . 1.将 点 的 极 坐 标 与 直 角 坐 标 互 相 转 化 ， 直 线 和 圆 的 位 置 关 系 是考 查 重 点 ；2.高 考 题 型 随 课 改 区 的 高 考 要 求 而 定 ， 可 以 是 选 择 题 、 填 空 题 ，也 可 以 是 解 答 题 . 1.平 面 直 角 坐 标 轴 中 的 伸 缩 变 换在 平 面 直 角 坐 标 系 中 进 行 伸 缩 变 换 ， 即 改 变 _或 _的 单位 长 度 ， 将 会 对 图 形 产 生 影 响 . x轴 y轴 【 即 时 应 用 】思 考 ： 如 何 调 整 下 面 平 面 直 角 坐 标 系 中 x轴 ， y轴 的 单 位 长 度 ， 使 得 所 给 图 中 的 椭圆 变 为 一 个 圆 ？提 示 ： 方 法 一 ： y轴 的 单 位 长 度 保 持 不 变 ， x轴 的 单 位 长 度 缩 小为 原 来 的 如 图 (1).1.2 方 法 二 ： x轴 的 单 位 长 度 保 持 不 变 ， y轴 的 单 位 长 度 伸 长 为 原 来的 2倍 .如 图 (2). 2.极 坐 标 系 的 概 念(1)极 坐 标 系如 图 所 示 ， 在 平 面 内 取 一 个 _O， 叫 作极 点 ， 从 O点 引 一 条 _Ox， 叫 作 极 轴 ，选 定 一 个 _和 _的 正 方 向 (通 常 取_方 向 )， 这 样 就 确 定 了 一 个 平 面 极坐 标 系 ， 简 称 为 极 坐 标 系 . 定 点射 线单 位 长 度 角逆 时 针 (2)极 坐 标对 于 平 面 内 任 意 一 点 M， 用 表 示 _， 表 示 以 Ox为始 边 、 OM为 终 边 的 _， 叫 作 点 M的 极 径 ， 叫 作 点 M的极 角 ， 有 序 实 数 对 _叫 作 点 M的 极 坐 标 ， 记 作 _.当 点 M在 极 点 时 ， 它 的 极 径 =_， 极 角 可 以 取 _.线 段 OM的 长角 度( , ) M( , )0 任 意 值 (3)极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化设 点 P的 直 角 坐 标 为 (x,y)， 它 的 极 坐 标 为 ( , )，互 化 的 前 提 条 件 互 化 公 式 _与 原 点 重 合 ； _与 x轴 非 负 半 轴 重 合 ； 取 相 同 的 单 位 长 度 .极 点极 轴 x cos ,y sin 2 2 2x y .ytan (x 0)x 【 即 时 应 用 】(1)思 考 ： 若 0,0 2 ,如 何 将 点 的 直 角 坐 标 (-3， 4)化 为 极 坐 标 ？提 示 ： 由 得 2=x2+y2=25,tan =由 于 点 (-3,4)在 第 二 象 限 ， 故 为 钝 角 ，所 以 点 (-3,4)的 极 坐 标 为 点 (5, ),其 中 为 钝 角 ， 且tan = 2 2 2x yytan x 0 x ，（）y 4,x 34.3 (2)判 断 下 列 命 题 是 否 正 确 .(请 在 括 号 中 填 写 “ ” 或 “ ” ) 极 坐 标 系 中 点 M的 极 坐 标 是 惟 一 的 ( ) 极 坐 标 为 点 在 第 一 象 限 ( ) 极 坐 标 系 中 ， 点 相 同 ( )2(2 )3，3 5(3 ) (3 )4 4 ，与点， 【 解 析 】 极 坐 标 系 中 的 点 ， 当 0,2 )时 ， 除 极 点 以外 ， M的 极 坐 标 才 是 惟 一 的 ， 当 R时 ， M的 极 坐 标 不 惟 一 ，故 不 正 确 ； 点 的 极 坐 标 中 ， 极 角 的 终 边 在 第 二 象 限 ， 极 径 大 于0， 故 点 在 第 二 象 限 ， 故 不 正 确 ； 极 坐 标 系 中 ， 点 的 极 角 的 终 边 相 同 ， 极径 相 等 ， 两 点 相 同 ， 所 以 正 确 .答 案 ： 2(2 )3，3 5(3 ) (3 )4 4 ，与点， 3.直 线 的 极 坐 标 方 程(1)特 殊 位 置 的 直 线 的 极 坐 标 方 程直 线 极 坐 标 方 程 图 形过 极 点 ，倾 斜 角 为 = _( R)或 =_( R) ( =_和 =_( 0)过 点 (a,0),与 极 轴 垂 直 _=a( )2 2 + + cos xO(M) lO Ma l x 直 线 极 坐 标 方 程 图 形_=a(0 )过 点 (a, ),与 极 轴 平 行2 sin O M(a, )2 lxa (2)一 般 位 置 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 ： 若 直 线 l经 过 点 M( 0， 0)， 且 极 轴 到 此 直 线 的 角 为 ， 直 线 l的 极 坐 标 方 程 为 ： sin( - ) =_. 0sin( - 0) 【 即 时 应 用 】判 断 下 列 命 题 是 否 正 确 .(请 在 括 号 中 填 写 “ ” 或 “ ” )(1)过 极 点 的 射 线 l上 任 意 一 点 的 极 角 都 是 则 射 线 l的 极 坐 标方 程 为 = ( 0). ( )(2)过 极 点 ， 倾 斜 角 为 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ( 0). ( )3，3 3 3 【 解 析 】 根 据 极 径 的 意 义 =|OM|， 可 知 0； 若 0， 则- 0， 规 定 点 M( , )与 点 N(- , )关 于 极 点 对 称 ， 所 以可 得 ，(1)过 极 点 的 射 线 l上 任 意 一 点 的 极 角 都 是 则 射 线 l的 极 坐标 方 程 为 所 以 (1)正 确 .0 .3 （）3， (2)过 极 点 ， 倾 斜 角 为 的 直 线 分 为 两 条 射 线 OM、 OM ， 它 们的 极 坐 标 方 程 为 ( 0)， 所 以 过 极 点 ， 倾 斜 角为 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ( 0)(也 可 以 表示 为 ( R).所 以 (2)不 正 确 .答 案 ： (1) (2) 3 43 3 、3 43 3 和3 4.半 径 为 r的 圆 的 极 坐 标 方 程(1)特 殊 位 置 的 圆 的 极 坐 标 方 程圆 心 极 坐 标 方 程 图 形（ 0， 0）(r,0) =_(0 2 )r =_( )2 2 2rcos O xxO 圆 心 极 坐 标 方 程 图 形(r, ) =2rsin(0 )(r, )2 =-2rcos3( )2 2 O xO x 圆 心 极 坐 标 方 程 图 形 =-2rsin( 2 )(r, )32 O x (2)一 般 位 置 的 圆 的 极 坐 标 方 程 ： 若 圆 心 为 M( 0, 0)，半 径 为 r， 则 圆 的 极 坐 标 方 程 是 2-2 0 cos( - 0)+ 02-r2=0. 【 即 时 应 用 】(1)极 坐 标 方 程 =4sin ( 0， 0 )表 示 曲 线 的 中 心的 极 坐 标 为 _.(2)圆 心 为 半 径 为 3的 圆 的 极 坐 标 方 程 为 _.【 解 析 】 (1)曲 线 =4sin ， 由 特 殊 位 置 圆 的 极 坐 标 方 程 得 半径 为 2， 所 以 曲 线 中 心 的 极 坐 标 为3(2, )4，(2, ).2 (2)圆 心 的 直 角 坐 标 为 且 半 径 为 3， 所 以 圆 的直 角 坐 标 方 程 为由 公 式 得 圆 的 极 坐 标 方 程 为答 案 ： 3(2 )4，( 2 2)，2 2(x 2) y 2 9 （），2 2x y 2 2x 2 2y 5 0. 即2 2 2x yx cos yy sin tan x 0 x ，（）2 34 cos( ) 5 0.4 2 31 (2, ) (2) 4 cos( ) 5 02 4 （） 直 角 坐 标 系 中 的 伸 缩 变 换【 方 法 点 睛 】1.图 形 的 伸 缩 与 坐 标 轴 单 位 调 整 的 关 系设 变 换 前 后 的 坐 标 系 分 别 为 xOy与 x O y .(1)若 x 轴 的 单 位 长 度 为 x轴 的 单 位 长 度 的 a倍 ， 则x =ax(a0)， 此 时 若 a1， 则 图 形 左 右 伸 长 ， 若 0a0),此 时 若 b1,则 图 形 上 下 伸 长 ， 若 0b1， 则 图 形上 下 压 缩 .特 别 地 ， 若 a=b=1， 则 认 为 图 形 没 有 变 化 .2.图 形 的 伸 缩 变 换 的 应 用应 用 图 形 的 伸 缩 变 换 时 ， 可 以 将 图 形 特 殊 化 ， 即 将 不 规 则 的 图形 调 整 为 规 则 的 图 形 ， 以 方 便 解 题 . 【 例 1】 已 知 以 F1(-2,0),F2(2,0)为 焦 点 的 椭 圆 与 直 线 有 且 仅 有 一 个 交 点 ， 求 椭 圆 的 标 准 方 程 .【 解 题 指 南 】 可 以 利 用 伸 缩 变 换 将 椭 圆 方 程 变 换 为 圆 的 方 程 ，转 化 为 圆 心 到 直 线 的 距 离 计 算 .也 可 以 将 直 线 与 椭 圆 的 方 程 联立 转 化 为 一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别 式 计 算 .x 3y 4 0 【 规 范 解 答 】 方 法 一 ： 伸 缩 变 换 法令变 换 为 单 位 圆 x12+y12=1,直 线 变 换 为 直 线因 为 直 线 与 椭 圆 有 且 仅 有 一 个 交 点 ，则 直 线 与 单 位 圆 x 12+y12=1有 且 仅 有 一 个 交 点 .2 21 1 2 2x y x yx ,y , 1(a b 0)a b a b 则椭圆x 3y 4 0 1 1ax 3by 4 0, x 3y 4 0 2 22 2x y 1a b 1 1ax 3by 4 0 由 题 意 ， 得整 理 得 a2+3b2=16. a2-b2=4,解 得 a2=7,b2=3,所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为方 法 二 ： 判 别 式 法设 椭 圆 方 程 为 c=2, a 2-b2=4. 2 24 1,a ( 3b) 2 2x y 1.7 3 2 22 2x y 1 a b 0 ,a b （） 由整 理 ， 得由 =0， 得 48b4-(16a2b2-a4b2+48b4-3a2b4)=0,即 a 4b2-16a2b2+3a2b4=0, a2+3b2=16. 2 2 2 2 2 2 2 22 2x 3y 4 0 x 3y 4 ,x y b x a y a b1a b 得2 2 2 2 2 2b ( 3y 4) a y a b . 2 2 2 2 2 2 2(a 3b )y 8 3b y 16b a b 0. 2 2 2 2 2 2 2(8 3b ) 4(a 3b )(16b a b ) 0. 与 a2-b2=4联 立 方 程 组 ，解 得 a2=7,b2=3,所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为 2 2x y 1.7 3 【 反 思 感 悟 】 1.巧 用 换 元 法 ， 通 过 伸 缩 变 换 将 问 题 进 行 转 化 ，可 简 化 计 算 过 程 ， 优 化 解 题 思 路 .2.此 类 问 题 的 常 规 解 法 为 利 用 方 程 思 想 结 合 一 元 二 次 方 程 根 的判 别 式 求 解 . 【 变 式 训 练 】 设 椭 圆 方 程 (a b 0)的 短 轴 端 点 分别 为 A、 B， O为 坐 标 原 点 ， 点 P在 椭 圆 上 ， 直 线 PA、 PB分 别 交x轴 于 R、 Q(如 图 所 示 )， 求 证 ： OQ OR=a2.2 22 2x y 1a b 【 证 明 】 由 椭 圆 方 程 得作 伸 缩 变 换于 是 椭 圆 在 此 伸 缩 变 换 下 化 为 圆 x2+y2=b2.设 点 A、 B、 P、 Q、 R变 换 后 分 别 为 A、 B、 P、 Q、R(如 图 )， 2 22 2x y 1(a b 0)a b 2 2 2 22b x y b ,a bx x,ay y 由 平 面 几 何 知 识 ， 易 证 Rt B O Q Rt R O A , O Q O R =O A O B =b2,还 原 到 椭 圆 中 去 ， 则O Q O B ,O A O R a aOQ O Q ,OR O R ,b b 2 2 22aOQ OR b a .b 【 变 式 备 选 】 如 何 变 换 坐 标 轴 的 单 位 长 度 可 将 直 线 x-2y=2变 成直 线 2x-y=4？【 解 析 】 将 x-2y=2整 理 得 ， 2x-4y=4.发 现 要 使 它 变 成 2x-y=4.即 令 新 y轴 的 单 位 长 度 调 整 为 原 来 的 4倍 即 可 . 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 相 转 化【 方 法 点 睛 】1.极 坐 标 与 直 角 坐 标 互 化 公 式 的 三 个 基 本 前 提(1)取 直 角 坐 标 原 点 为 极 点 ；(2)x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ；(3)规 定 长 度 单 位 相 同 2.极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式设 点 P的 直 角 坐 标 为 (x,y)， 它 的 极 坐 标 为 ( , )， 根 据 三 角函 数 的 定 义 ， 当 0时 ， 有 ： (极 坐 标 化 为 直 角 坐 标 公 式 )； (直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 公 式 ).x cosy sin 2 2 2x yytan (x 0)x 【 提 醒 】 当 0时 ,公 式 也 成 立 , 因 为 点 M( , )与 点M (- , )关 于 极 点 对 称 ， 即 点 M的 极 坐 标 也 就 是 (- , + )， 此 时 ， 有 x cos( ) cos .y sin( ) sin 【 例 2】 (1)将 点 的 极 坐 标 化 为 直 角 坐 标 ；(2)若 0， 0 2 ， 将 点 的 直 角 坐 标 (-2,2)化 为 极 坐标 ；(3)将 极 坐 标 方 程 =sin 化 为 直 角 坐 标 方 程 的 标 准 形 式 ；(4)将 直 线 方 程 x-y=0化 为 极 坐 标 方 程 . 【 解 题 指 南 】 由 公 式 将 极 坐 标 化 为 直 角 坐 标 ， 由公 式 将 直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 .7(2, )6x cosy sin 2 2 2x yytan (x 0)x 【 规 范 解 答 】 (1) 点 的 极 坐 标 化 为 直 角 坐 标 为(2) 2=x2+y2=8， tan = 且 角 的 终 边 过 点 (-2， 2)， 点 的 直 角 坐 标 (-2， 2)化 为 极 坐 标 为7 7x 2cos 3 y 2sin 16 6 ，7(2, )6 ( 3, 1). y 1x ，32 2 4 ，3(2 2, ).4 (3)由 极 坐 标 方 程 =sin ,得 2= sin ,化 为 直 角 坐 标 方 程为 x2+y2=y,即(4)将 直 线 方 程 x-y=0化 为 极 坐 标 方 程 为 cos - sin =0,即tan =1, 2 21 1x (y ) .2 4 ( R).4 【 反 思 感 悟 】 1.在 把 点 P的 直 角 坐 标 (x,y)化 为 极 坐 标( , )， 求 极 角 时 ， 应 注 意 判 断 点 P所 在 的 象 限 (即 角 的终 边 过 点 (x,y)， 以 便 正 确 地 求 出 0 2 内 的 角 .2.过 极 点 的 倾 斜 角 为 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 可 以 表 示 为 = ( R)， 也 可 以 表 示 为4 45 ( 0).4 4 和 【 变 式 训 练 】 (1)极 坐 标 系 中 ， 求 直 角 坐 标 为 的 点 的 极径 和 极 角 .【 解 析 】 直 角 坐 标 为 的 点 到 极 点 的 距 离 为又 tan =且 点 在 第 二 象 限 ， 得于 是 点 的 极 坐 标 为所 以 此 点 的 极 径 为 2， 极 角 为 ( 1, 3)( 1, 3) 2 2x y 2, 3, 22k ,k Z.3 ( 1, 3) 2(2 2k )(k Z)3 ，22k (k Z).3 (2)判 断 极 坐 标 方 程 =sin -2cos 所 表 示 曲 线 的 形 状 .【 解 析 】 极 坐 标 方 程 =sin -2cos ， 即 2= sin -2 cos ,化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x2+y2=y-2x,即 (x+1)2+(y-= 这 是 直 角 坐 标 系 中 圆 心 坐 标 为 半 径 为 的 圆 . 21)25,4 1( 1, ),2 52 极 坐 标 方 程 的 综 合 题【 方 法 点 睛 】 直 线 与 圆 的 综 合 问 题(1)直 线 与 圆 的 位 置 关 系 有 三 种 ： 相 离 、 相 切 、 相 交 .设 圆 的 半 径 为 r,圆 心 到 直 线 的 距 离 为 d,则 有 : (2)若 直 线 与 圆 相 交 于 点 A、 B,则 弦 长 公 式 为 |AB|= 2 22 r d .直 线 与 圆 的位 置 关 系 公 共 点的 个 数 d与 r的 关 系 图 形相 离相 切相 交 无 d r一 个 d=r两 个 d r 【 例 3】 在 极 坐 标 系 中 ， 已 知 曲 线 C1与 C2的 极 坐 标 方 程 分 别 为 =2sin 与 cos =-1(0 2 )， 求 ：(1)两 曲 线 (含 直 线 )的 公 共 点 P的 极 坐 标 ；(2)过 点 P被 曲 线 C1截 得 的 弦 长 为 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 .【 解 题 指 南 】 (1)利 用 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 的 互 化 公 式求 点 的 极 坐 标 ；(2)利 用 数 形 结 合 思 想 ， 转 化 为 几 何 性 质 解 决 .2 【 规 范 解 答 】 (1)由 公 式 得 曲 线 C1： =2sin 与C2： cos =-1(0 2 )的 直 角 坐 标 方 程 分 别 为x2+y2=2y,x=-1.联 立 方 程 组 ， 解 得由 公 式 得 点 P(-1， 1)的 极 坐 标 为x cosy sin ，x 1.y 1 2 2 2x yytan (x 0)x 3( 2 )4， (2)方 法 一 :由 (1)可 知 ， 曲 线 C1： =2sin 即 圆 x2+(y-1)2=1，如 图 所 示 ，过 P(-1， 1)被 曲 线 C1截 得 弦 长 为 的 直 线 有 两 条 ：2 一 条 过 原 点 O， 倾 斜 角 为 直 线 的 普 通 方 程 为 y=-x， 极 坐 标方 程 为另 一 条 过 点 A(0,2)， 倾 斜 角 为直 线 的 普 通 方 程 为 y=x+2，极 坐 标 方 程 为 (sin -cos )=2，即 34，3 ( R)4 ；4，sin( ) 2.4 方 法 二 ： 由 (1)可 知 ， 曲 线 C1： =2sin 即 圆过 点 被 曲 线 C1截 得 弦 长 为 的 直 线 有 两 条 ： 一 条 过 原点 O， 倾 斜 角 为 极 坐 标 方 程 为另 一 条 倾 斜 角 为极 坐 标 方 程 为即 2 2x (y 1) 1 ，3P( 2 )4，34，3 ( R)4 ；4，3sin( ) 2sin( )4 4 4 ，sin( ) 2.4 2 【 反 思 感 悟 】 有 关 直 线 与 圆 的 极 坐 标 方 程 的 综 合 问 题 ,常 常转 化 为 直 角 坐 标 方 程 ,结 合 几 何 图 形 ,利 用 几 何 法 进 行 判 断 和 计算 ,这 样 可 使 问 题 简 便 . 【 变 式 训 练 】 已 知 圆 O1和 圆 O2的 极 坐 标 方 程 分 别 为 =4cos ， =-sin .(1)把 圆 O1和 圆 O2的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ；(2)求 经 过 圆 O1， 圆 O2两 个 交 点 的 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 【 解 析 】 以 极 点 为 原 点 ， 极 轴 为 x轴 正 半 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐标 系 ， 两 坐 标 系 中 取 相 同 的 长 度 单 位 (1)x= cos ， y= sin ，由 =4cos 得 2=4 cos , x2+y2=4x即 x2+y2-4x=0为 圆 O1的 直 角 坐 标 方 程 同 理 x2+y2+y=0为 圆 O2的 直 角 坐 标 方 程 (2)由相 减 得 过 交 点 的 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 4x+y=02 22 2x y 4x 0 x y y 0 ， 【 变 式 备 选 】 已 知 A是 曲 线 =3cos 上 任 意 一 点 ， 求 点 A到 直线 cos =1距 离 的 最 大 值 和 最 小 值 .【 解 析 】 将 极 坐 标 方 程 =3cos 转 化 为 2=3 cos ， 直 角坐 标 方 程 为 x2+y2=3x,即直 线 cos =1即 x=1.圆 心 到 直 线 的 距 离 所 以 直线 与 圆 相 交 .所 求 最 大 值 为 2， 最 小 值 为 0. 2 23 9(x ) y .2 4 1 3d r ,2 2 。