D81向量及运算实用教案
表示法:向量(xingling)的模 :向量(xingling)的大小,一、向量一、向量(xingling)的的概念概念向量:(又称矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,记作 e 或e .或 a .00或，记作第1页/共27页第一页，共28页规定(gudng): 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一(tngy)直线上, 故两向量(xingling)平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k 个向量共面 .记作a ;第2页/共27页第二页，共28页二、向量二、向量(xingling)的线的线性运算性运算1. 向量(xingling)的加法三角形法则(fz):平行四边形法则:运算规律 :交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcbacb)(cbacba )(aababacba第3页/共27页第三页，共28页。
s3a4a5a2a1a54321aaaaas第4页/共27页第四页，共28页2. 向量向量(xingling)的减法的减法三角(snjio)不等式ab)( ab有时特别当,ab aa )( aababaabababa0baba第5页/共27页第五页，共28页可见(kjin)aa 1;1aa3. 向量向量(xingling)与数与数的乘法的乘法 是一个(y )数 ,规定 :总之:运算律 :结合律分配律因此，同向与aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作.a;aa，反向与aa;aa.0aaa)(aa)(aa)( aaba)(ba, 0a若ae则有单位向量.1aaaeaa 第6页/共27页第六页，共28页定理定理(dngl)1. 设 a 为非零向量(xingling) , 则( 为唯一(wi y)实数)证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则abab设 abba反向时取负号, a , b 同向时取正号则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而第7页/共27页第七页，共28页 ”则例1. 设 M 为MBACD解:ABCD 对角线的交点,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD第8页/共27页第八页，共28页。
三、空间三、空间(kngjin)直角坐直角坐标系标系由三条互相(h xing)垂直的数轴按右手规则组成一个(y )空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 O , 坐标面 卦限(八个)1. 空间直角坐标系的基本概念zOx面第9页/共27页第九页，共28页在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)系下系下向径坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标(zubio)面上的点 A , B , C点 M特殊(tsh)点的坐标 :有序数组 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR), 0(zyB(称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0) ;rr)0 ,(yxAM), 0 ,(zxC第10页/共27页第十页，共28页坐标轴 : 坐标(zubio)面 :xyzO第11页/共27页第十一页，共28页2. 向量向量(xingling)的的坐标表示坐标表示在空间(kngjin)直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向(fngxing)的分向量,xOyz的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA记 , ixOA, jyOB rkzjyix称为向量,kzOC kzjyixrikjr.,的坐标称为向量rzyx第12页/共27页第十二页，共28页。
四、利用坐标作向量四、利用坐标作向量(xingling)的线性运算的线性运算则平行向量(xingling)对应坐标成比例:设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb baa,0 时当aab ab第13页/共27页第十三页，共28页例例2.求解(qi ji)以向量为未知元的线性方程组解: 2 3 , 得代入得ayx35byx23.211,212），（），（其中babax32 )3(21bxy第14页/共27页第十四页，共28页例例3. 已知两点已知两点在AB所在(suzi)直线上求一点 M , 使解: 设 M 的坐标(zubio)为如图所示AB及实数(shsh)得即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOBOMOBOA(M第15页/共27页第十五页，共28页说明说明(shumng): 由由得定比分(b fn)点公式:点 M 为 AB 的中点(zhn din) ,于是得),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式:ABMoABM第16页/共27页第十六页，共28页五、向量五、向量(xingling)的模、的模、方向角、投影方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离(jl)公式则有xOyzMN由勾股定理(u dn l)得因AB得两点间的距离公式:对两点与, rOM作NMON BABAOAOBBA),(zyxr 设OMr OMr OROQOP第17页/共27页第十七页，共28页。
例例4. 求证求证(qizhng)以以证: 2) 12( 6即为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点(dngdin)第18页/共27页第十八页，共28页例例5. 在在 z 轴上求与两轴上求与两点点等距解: 设该点为解得故所求点为及思考(sko):(1) 如何(rh)求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何(rh)求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 第19页/共27页第十九页，共28页1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?)7, 1 ,4(A)2,5,3(B提示提示(tsh):(1) 设动点为利用(lyng)得(2) 设动点为, ),(zyxM利用(lyng),BMAM得且例6. 已知两点解:BABA求AB的单位向量 e .e第20页/共27页第二十页，共28页Oyzx2. 方向方向(fngxing)角与角与方向方向(fngxing)余弦余弦设有两非零向量(xingling) 任取空间(kngjin)一点 O ,OAB称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦. ,aOA作, bOB ,baba,0),(zyxr给定r称),(ba记作),(ab或rxr第21页/共27页第二十一页，共28页。
Oyzxcos222zyxx方向(fngxing)余弦的性质:rxryrzrrer:的单位向量向量 r第22页/共27页第二十二页，共28页例例7. 已知两点已知两点和的模 、方向(fngxing)余弦和方向(fngxing)角 . 解:计算(j sun)向量(21MM21MM第23页/共27页第二十三页，共28页例例8. 设点设点 A 位于位于(wiy)第一卦限第一卦限,解: 已知角依次(yc)为求点 A 的坐标(zubio) . 则因点 A 在第一卦限 ,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OA第二节 OAeAO6第24页/共27页第二十四页，共28页uOuuaa)(Prj或记作3. 向量向量(xingling)在在轴上的投影轴上的投影第二节 Oua则 a 在轴 u 上的投影为 例如(lr), ),(zyxaaaa 在坐标轴上的投影(tuyng)分别为 设 a 与 u 轴正向的夹角为 ,M, 即 cos)(aaucosa投影的性质2) uuaa)()(1) uuubaba)()()(为实数) M第25页/共27页第二十五页，共28页例例9.第二节 设立方体的一条(y tio)对角线为OM, 一条(y tio)棱为 OA, 且 求OA 在 OM 方向上的投影. 解: 如图所示, 记 MOA = , AOM作业(zuy) P12 5, 13, 15, 18cosPrjOAOAOM第26页/共27页第二十六页，共28页。
感谢您的欣赏(xnshng)！第27页/共27页第二十七页，共28页NoImage内容(nirng)总结表示法:规定: 零向量与任何向量平行若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,过空间一定点 O ,称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0)五、向量的模、方向角、投影1. 向量的模与两点间的距离公式求AB的单位向量 e .2. 方向角与方向余弦(yxin)方向角的余弦(yxin)称为其方向余弦(yxin).故点 A 的坐标为第26页/共27页感谢您的欣赏第27页/共27页第二十八页，共28页。
