三角形的高 (4)

第 4课 时 三 角 形 的 高 线4.1 认 识 三 角 形 1.什 么 是 三 角 形 的 中 线 ？ 什 么 是 三 角 形 的 角 平 分 线 ？2.三 角 形 的 三 条 中 线 、 角 平 分 线 相 交 于 一 点 吗 ？这 一 交 点 在 三 角 形 的 内 部 还 是 外 部 ？复 习 回 顾 1知 识 点 三 角 形 的 高 你 能 过 三 角 形 的 一 个 顶 点 ， 你 能 画 出 它 的对 边 的 垂 线 吗 ?B A C你 还 记 得 “ 过 一 点 画 已 知 直 线 的 垂 线 ” 吗 ? 从 三 角 形 的 一 个 顶 点 向 它的 对 边 所 在 直 线 作 垂 线 顶 点和 垂 足 之 间 的 线 段 叫 做 三 角 形这 边 上 的 高 ， 简 称 三 角 形 的 高 .如 图 所 示 . AB CD 如 图 , 线 段 AD是 BC边 上 的 高 . AB C注 意 ： 标 明 垂 直 的 记 号 和 垂 足的 字 母 . D 锐 角 三 角 形 的 三 条 高每 人 画 一 个 锐 角 三 角 形 .(1) 你 能 画 出 这 个 三 角 形 的 三 条 高 吗 ?(2) 这 三 条 高 之 间 有 怎 样 的 位 置 关 系 ？将 你 的 结 果 与 同 伴 进 行 交 流 . O锐 角 三 角 形 的 三 条 高 是在 三 角 形 的 内 部 还 是 外 部 ? AB CD EF锐 角 三 角 形 的 三 条 高 交 于 同 一 点 .锐 角 三 角 形 的 三 条 高 都 在 三 角 形 的 内 部 . 直 角 三 角 形 的 三 条 高在 纸 上 画 出 一 个 直 角 三 角 形 .将 你 的 结 果 与 同 伴 进 行 交 流(1)画 出 直 角 三 角 形 的 三 条 高 .直 角 边 BC边 上 的 高 是 _;AB直 角 边 AB边 上 的 高 是 _CB(2)它 们 有 怎 样 的 位 置 关 系 ？斜 边 AC边 上 的 高 是 _.BD 直 角 三 角 形 的 三 条 高 交 于 直 角 顶 点 . A B CD EF钝 角 三 角 形 的 三 条 高(1) 钝 角 三 角 形 的 三 条 高 交 于 一 点 吗 ？(2)它 们 所 在 的 直 线 交 于 一 点 吗 ？将 你 的 结 果 与 同 伴 进 行 交 流 .钝 角 三 角 形 的 三 条 高 不 相 交 于一 点 .钝 角 三 角 形 的 三 条 高 所 在 直 线交 于 一 点 . 叫 做 三 角 形 这 边 上 的 高 .从 三 角 形 的 一 个 顶 点 向 它 的 对 边 所 在 直 线 作 垂 线 ，顶 点 和 垂 足 之 间 的 线 段 三 角 形 的 三 条 高 的 特 性 ：高 所 在 的 直 线 是 否 相 交高 之 间 是 否 相 交高 在 三 角 形 内 部 的 数 量 钝 角 三 角 形直 角 三 角 形锐 角 三 角 形3 1 1相 交 相 交 不 相 交相 交 相 交 相 交三 条 高 所 在 直 线 的 交 点 的 位 置 三 角 形 内 部 直 角 顶 点 三 角 形 外 部 例 1 动 手 操 作 题 ， 易 错 题 画 出 下 图 中 ABC的 三 条高 (要 标 明 字 母 ， 不 写 画 法 )“ 作 一 边 上 的 高 ” ， 即 可 看 成 “ 过一 点 (这 边 所 对 角 的 顶 点 )作 已 知 直线 (这 边 所 在 的 直 线 )的 垂 线 ” 按照 “ 过 一 点 作 已 知 直 线 的 垂 线 ” 进行 作 图 ， 顶 点 与 垂 足 之 间 的 线 段 即 为 该 边 上 的 高 ；需 注 意 AB， BC边 上 的 高 在 三 角 形 的 外 部 ， 作 高 时先 延 长 AB与 CB. 如 图 所 示 解 ： 总 结(1)作 三 角 形 的 高 时 ， 找 准 顶 点 和 对 边 是 关 键 ， 作 高 的步 骤 就 是 “ 过 一 点 作 已 知 直 线 的 垂 线 ” 的 步 骤 ：一 靠 (三 角 尺 的 一 条 直 角 边 靠 在 要 作 高 的 边 上 )、二 找 (移 动 三 角 尺 使 另 一 条 直 角 边 通 过 要 作 高 的 顶 点 )、三 画 线 (画 垂 线 段 )， 如 图 .(2)注 意 ： 高 是 线 段 ， 垂 线 是 直 线 知 1 练1 如 图 ， 在 ABC中 ， BC边 上 的 高 是 _； 在 BCE中 ， BE边 上 的 高 是 _； 在 ACD中 ，AC边 上 的 高 是 _ AFCECD 2 在 ABC中 ， 正 确 画 出 AC边 上 的 高 的 图 形 是 ( )C 2 【 中 考 淄 博 】 如 图 ， ABC的 面 积 为 16， 点 D是 BC边 上 一 点 ， 且 BD BC， 点 G是 AB上 一 点 ， 点 H在 ABC内 部 ， 且 四 边 形 BDHG是 平 行 四 边 形 ， 则 图 中阴 影 部 分 的 面 积 是 ( )A 3 B 4C 5 D 6 14 B 知 识 点 三 角 形 高 的 位 置做 一 做每 人 准 备 一 个 锐 角 三 角 形 纸 片 .(1)你 能 画 出 这 个 三 角 形 的 三 条 高 吗 ？ 你 能 用 折 纸 的 方法 得 到 它 们 吗 ?(2)这 三 条 高 之 间 有 怎 样 的 位 置 关 系 ？将 你 的 结 果 与 同 伴 进 行 交 流 . 议 一 议在 纸 上 画 出 一 个 直 角 三 角 形 和 一 个 钝 角 三 角 形 .(1)画 出 直 角 三 角 形 的 三 条 高 ， 它 们 有 怎 样 的 位 置 关 系 ?(2)你 能 折 出 钝 角 三 角 形 的 三 条 高 吗 ？ 你 能 画 出 它 们吗 ?(3)钝 角 三 角 形 的 三 条 高 交 于 一 点 吗 ？ 它 们 所 在 的 直 线交 于 一 点 吗 ? 将 你 的 结 果 与 同 伴 进 行 交 流 . 三 角 形 的 三 条 高 所 在 的 直 线 交 于 一 点 .归 纳 位 置 图 例 ：(1)三 个 角 都 是 锐 角 的 三 角 形 ： 三 条 高 都 在三 角 形 的 内 部 ， 其 交 点 也 在 三 角 形 的 内部 (如 图 )；(2)有 一 个 直 角 的 三 角 形 ： 一 条 高 在 三 角 形的 内 部 ， 其 余 两 条 高 在 三 角 形 边 上 ； 其交 点 为 直 角 顶 点 (如 图 )；(3)有 一 个 钝 角 的 三 角 形 ： 一 条 高 在 三 角 形的 内 部 ， 其 余 两 条 高 在 三 角 形 的 外 部 ，其 所 在 直 线 的 交 点 在 三 角 形 的 外 部 (如 图 ) 例 2 如 图 ， 在 ABC中 ， BC边 上 的 高 AD 4cm，BC 4cm， AC 5cm.(1)试 求 ABC的 面 积 及 AC边 上 的 高 BE的 长 ；(2)试 求 AD BE的 值 利 用 三 角 形 面 积 公 式 及 面积 法 求 解 导 引 ： (1)S ABC BCAD 4 4 8(cm2)，因 为 S ABC ACBE 5 BE 8(cm2)，所 以 BE cm.(2)AD BE 4 解 ： 12 1212 12165 165 5.4 求 三 角 形 的 面 积 联 想 三 角 形 的 高 ， 求 三 角 形 的高 联 想 三 角 形 的 面 积 是 解 三 角 形 问 题 中 常 用 的 思 想方 法 之 一 ， 而 用 同 一 个 三 角 形 不 同 的 面 积 表 达 式 建立 求 线 段 长 度 的 等 量 关 系 ， 是 一 种 很 重 要 的 数 学 方法 ： 面 积 法 总 结 例 3 如 图 ， 已 知 ABC中 ， AB AC， DE AB， DF AC，BG AC.试 说 明 ： BG DE DF.要 说 明 线 段 的 和 、 差 关 系 ， 需 将 它们 转 化 为 三 角 形 的 高 的 和 、 差 关 系 ，再 利 用 面 积 的 和 、 差 关 系 来 解 决 其 中 只 有 BG是 ABC的 高 DE， DF要 想 成 为 高 ， 很 自 然 地 联 想到 要 连 接 AD. 如 图 ， 连 接 AD， 因 为 S ABC S ABD S ADC，所 以 ACBG ABDE ACDF.又 因 为 AB AC，所 以 BG DE DF.解 ： 12 12 12 “ 面 积 法 ” 是 数 学 中 很 重 要 的 方 法 ， 而 在 涉 及 垂直 的 线 段 的 关 系 时 ， 常 将 线 段 的 关 系 转 化 为 面 积 的关 系 来 解 决 总 结 1 下 图 中 ， ABC的 BC边 上 的 高 画 得 对 吗 ？若 不 对 ， 请 改 正 . 解 ： (1)对 (2)不 对 改 正 如 图 (1) (2) 2 下 列 说 法 中 正 确 的 是 ( )A 三 角 形 的 三 条 高 都 在 三 角 形 内B 直 角 三 角 形 只 有 一 条 高C 锐 角 三 角 形 的 三 条 高 都 在 三 角 形 内D 三 角 形 每 一 边 上 的 高 都 小 于 其 他 两 边C 3 下 列 结 论 ： 三 角 形 的 角 平 分 线 、 中 线 、 高 都是 线 段 ； 直 角 三 角 形 只 有 一 条 高 ； 三 角 形 的 中 线 可 能 在 三 角 形 外 部 ； 三 角 形 的 高 都 在 三 角 形 内 部 其 中 正 确 的 有 ( )A 1个 B 2个 C 3个 D 4个A 三 角 形 的 高 线 ：(1)定 义 ；(2)高 线 的 画 法 ；(3)三 角 形 的 三 条 高 线 所 在 的 直 线 相 交 于 一 点 ， 这 一 点 叫 做 三 角 形 的 垂 心 .1 知 识 小 结 。