4-5_证明不等式的基本方法_教案7_（人教A版选修4-5）

金太阳新课标资源网 4-5 证明不等式的基本方法 教案 （人教A版选修4-5）教学目标：1、 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法2、 了解分析法和综合法的思考过程教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”二、典型例题：例1、已知，且不全相等求证： 分析：用综合法例2、设，求证证法一 分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。

证法二 综合法 注意到，即，由上式即得，从而成立议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a，b，m都是正数，并且求证： （1）证法一 要证（1），只需证 （2）要证（2），只需证 （3）要证（3），只需证 （4）已知（4）成立，所以（1）成立上面的证明用的是分析法下面的证法二采用综合法证法二 因为 是正数，所以 两边同时加上得两边同时除以正数得（1）例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为所以本题只需证明证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为只需证明：为了证明上式成立，只需证明两边同乘以正数，得：因此，只需证明上式显然成立，所以 这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。

例5、证明：证法一： 因为 （2） （3） （4）所以三式相加得 （5）两边同时除以2即得（1） 证法二：所以（1）成立例6、证明： （1）证明 （1） （2） （3） （4） （5）（5）显然成立因此（1）成立例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式 着手证明： = = 由于都是正数，所以而，可知 即（等号在时成立）探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： ，其中是互不相等的正数，且.三、课堂小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。

这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧四、课堂练习：1、已知求证：2、已知求证3、已知求证4、已知求证：（1）（2） 5、已知都是正数求证：（1） （2）6、已知都是互不相等的正数，求证五、课后作业： 课本25页第1、2、3、4题六、教学后记：教学札记第 5 页 共 5 页 金太阳新课标资源网 。