渐开线与摆线

四四 渐开线与摆线渐开线与摆线参数方程中曲线欣赏参数方程中曲线欣赏 -渐开线与摆线渐开线与摆线教学目标教学目标:1.了解圆的渐开线的参数方程了解圆的渐开线的参数方程2.了解摆线的生成过程及它的参数方程了解摆线的生成过程及它的参数方程3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤1、渐开线的定义探究：探究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？动点（笔尖）满足什么几何条件？动点（笔尖）满足什么几何条件？ABMO设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角 的一段弧AB，展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB的长，这是动点（笔尖）满足的几何条件我们把笔尖画出的曲线叫做我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，圆的渐开线，相应的定圆叫做相应的定圆叫做渐开线的基圆。

渐开线的基圆ABMOxy2 2、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程 以基圆圆心以基圆圆心O为原点，直线为原点，直线OA为为x轴，建立平面轴，建立平面直角坐标系直角坐标系设基圆的半径为设基圆的半径为r，绳子外端，绳子外端M的坐标为（的坐标为（x，y）显然，点显然，点M由角由角 唯一确定唯一确定B取 为参数，则点 的坐标为（rcos,rsin）,从而(cos,sin),|.BMxryrBMr 1(cos,sin)eOB 由于向量是与同方向的单位向量，2(sin,cos)eBM 因而向量是与向量同方向的单位向量2|(),BMre 所以即|(cos,sin)(sin,cos)BMxryrr(cossin)()(sincos)xryr解得 是参数这就是这就是圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程3 3、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程ABMOxy(cossin)()(sincos)xryr是参数渐开线的应用：渐开线的应用：由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形因此大多数齿轮采用这种齿形设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。

设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力4、摆线的定义思考：思考：P43P43 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件我们把点我们把点M的轨迹叫做的轨迹叫做平摆线平摆线，简称，简称摆线摆线，又叫，又叫旋轮线上述问题抽象成数学问题就是：上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？上一个定点的轨迹是什么？OABMOAMAOAr线段的长等于的长，即摆线在它与定直线摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的两个相邻交点之间的部分叫做的部分叫做一个拱一个拱xyO DAEBMC5 5、摆线的参数方程、摆线的参数方程OABM 根据点根据点M满足的几何条件，我们取定直线为满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点轴，定点M滚动时落在定滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。

直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系设圆的半径为设圆的半径为rMxAB设开始时定点在原点，圆滚动了 角后与 轴相切于点，圆心在点MABxCD从点分别做，轴的垂线，垂足分别是，),Mx yM设点的坐标为取 为参数，根据点满足的几何条件，有sin,xODOADAOAMCrrcos.yDMACABCBrr所以，摆线的参数方程为：所以，摆线的参数方程为：(sin),()(1 cos).xryr为参数xyO DAEBMC6 6、摆线的参数方程、摆线的参数方程OABM(sin),()(1 cos).xryr为参数摆线的参数方程为：摆线的参数方程为：思考：思考：P44P44 在摆线的参数方程中，参数在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么一个拱的宽度与高度各是什么？小结：小结：1、圆的渐开线，渐开线的参数方程、圆的渐开线，渐开线的参数方程2、平摆线、摆线的参数方程、平摆线、摆线的参数方程。