理论力学PPT课件第8章虚位移原理与能量法

2023年2月22日1分析力学两个基本原理之一分析力学两个基本原理之一既是分析静力学基础，也是分析动力学基础既是分析静力学基础，也是分析动力学基础.2023年2月22日2#虚位移及其计算虚位移及其计算#虚位移原理及应用虚位移原理及应用#势力场中的虚功方程及稳定性势力场中的虚功方程及稳定性#广义坐标与自由度广义坐标与自由度#约束及其分类约束及其分类#用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件2023年2月22日3 虚位移原理研究受约束的质点、质点系、刚体、虚位移原理研究受约束的质点、质点系、刚体、刚体系统在力系作用下的平衡规律是研究刚体系统在力系作用下的平衡规律是研究非自由质非自由质点系点系平衡问题的最一般的原理，又称平衡问题的最一般的原理，又称分析静力学分析静力学在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，由此用来研究过力系的简化，得出刚体的平衡条件，由此用来研究刚体及刚体系统刚体及刚体系统的平衡问题，称为的平衡问题，称为几何静力学几何静力学2023年2月22日4BACDL4EW4MWFL3L2L1W3W2W1ba几何静力学存在的缺陷：几何静力学存在的缺陷：2023年2月22日52023年2月22日62023年2月22日7电力机车从接触网受取电能的电气设备，安电力机车从接触网受取电能的电气设备，安装在车顶上。

构造装在车顶上构造:受电弓可分单臂弓和双受电弓可分单臂弓和双臂弓两种，均由集电头、上框架、下臂杆（臂弓两种，均由集电头、上框架、下臂杆（双臂弓用下框架）、底架、升弓弹簧、传动双臂弓用下框架）、底架、升弓弹簧、传动气缸、支持绝缘子等部件组成近来多采用气缸、支持绝缘子等部件组成近来多采用单臂弓（见图）动作原理单臂弓（见图）动作原理:升弓：压缩空气升弓：压缩空气经受电弓阀均匀进入传动气缸，气缸活塞压经受电弓阀均匀进入传动气缸，气缸活塞压缩气缸内的降弓弹簧，此时升弓弹簧使下臂缩气缸内的降弓弹簧，此时升弓弹簧使下臂杆转动，抬起上框架和集电头，受电弓均匀杆转动，抬起上框架和集电头，受电弓均匀上升，并同接触网接触降弓：传动气缸内上升，并同接触网接触降弓：传动气缸内压缩空气经受电弓缓冲阀迅压缩空气经受电弓缓冲阀迅 2023年2月22日8几何静力学存在的缺陷：几何静力学存在的缺陷：1.1.对可变系，必要非充分对可变系，必要非充分2.2.拆开研究，未知力多拆开研究，未知力多2023年2月22日9oF2F1ab虚位移原理的基本思想：虚位移原理的基本思想：几何静力学的平衡方程几何静力学的平衡方程0OM120FaF b2023年2月22日10oF2F1ab功能原理的方程功能原理的方程120dTdWFaF b0bFaF210利用动能定理可以得到与几何静力学完全相同的平衡条件。

利用动能定理可以得到与几何静力学完全相同的平衡条件120F aF b2023年2月22日11 8.1 8.1 约束及其分类约束及其分类一一.位形空间与约束位形空间与约束质点系内各质点的质点系内各质点的 3n个坐标的集合，定义为质点系的位形个坐标的集合，定义为质点系的位形建立抽象的建立抽象的3n维正交欧氏空间（维正交欧氏空间（x1,x2,x3n),),称为称为质点系的位形空间质点系的位形空间质点系所受到的约束，可用联系位形与时间的约束质点系所受到的约束，可用联系位形与时间的约束方程来表示方程来表示约束物体运动所受到的限制约束物体运动所受到的限制2023年2月22日121 1 定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束定常约束约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：1,2,3(in质点数）非定常约束非定常约束约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：()0jifx1,2,s()j 约束数()0jifxt，1,2,3(in质点数）1,2,s()j 约束数二二.约束的分类约束的分类2023年2月22日13定常约束的例子定常约束的例子单摆单摆x2+y2=l2约束方程中不显含时间约束方程中不显含时间t.t.2023年2月22日14非定常约束的例子非定常约束的例子偏心转子的周期运动偏心转子的周期运动如果已知转子的转动规律如果已知转子的转动规律(例如以等角速度例如以等角速度 旋转旋转)，这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：t这种约束即为非定常约束。

这种约束即为非定常约束2023年2月22日152 2 双侧双侧约束与单侧约束约束与单侧约束双侧约束双侧约束 约束方程可以写成等式的约束约束方程可以写成等式的约束单侧约束单侧约束 约束方程写成不等式的约束约束方程写成不等式的约束)0,1,2,31,2,jifxinjs；()0,1,2,31,2,jif xtinjs，；2023年2月22日16)(双侧约束0yB)(单侧约束0yBB 只能限制质点或质点系单一方向运动的约束只能限制质点或质点系单一方向运动的约束即为单即为单侧侧约束，否则为双侧约束约束，否则为双侧约束双侧双侧约束与单侧约束的例子约束与单侧约束的例子B2023年2月22日17)(双侧约束222lyx)(单侧约束222lyxyxOAA0lyxOAA0l2023年2月22日183 3 完整完整约束与非完整约束约束与非完整约束完整约束完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束速度但约束方程是可以积分的约束非完整约束非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束可以积分的约束。

)0jifx1,2,3(in质点数）1,2,s()j 约束数()0jiifx,x1,2,3(in质点数）1,2,s()j 约束数2023年2月22日19完整约束的例子完整约束的例子圆轮在平面上纯滚动圆轮在平面上纯滚动0vCCyRv00vCCvxR0CxR进 行 积 分 后，得说明圆轮所受约束为完整约束说明圆轮所受约束为完整约束COyxCx cx RC*2023年2月22日20非完整约束的例子非完整约束的例子追踪系统追踪系统OyxvAABxAyAxByBABABAAyyxxyx 此约束方程不可以积此约束方程不可以积分，所以导弹所受的约束分，所以导弹所受的约束为非完整约束为非完整约束2023年2月22日212023年2月22日22 8.2 8.2 广义坐标与自由度广义坐标与自由度cossinlylxyxOcoscossinsincossin2211baybaxayax广广义义坐坐标标广义坐标广义坐标,ab一、广义坐标一、广义坐标 确定质点确定质点系位形的独立参变量系位形的独立参变量yxO2023年2月22日23二、自由度二、自由度 确定质点系位置的独立参变量的数目确定质点系位置的独立参变量的数目.k=3n-s1.1.对于完整约束系统，广义坐标的数目，等于系统的对于完整约束系统，广义坐标的数目，等于系统的自由度数。

自由度数2.2.对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式：坐标的函数形式：),2,1(),(),(),(212121nitqqqzztqqqyytqqqxxkiikiikii对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度数这时，系统的自由度数等于独立的虚位移数目这时，系统的自由度数等于独立的虚位移数目2023年2月22日24:,AAq xy:q利用广义坐标描述质系运动利用广义坐标描述质系运动几何约束自然满足几何约束自然满足n=2S=1k=3OxyrlABn=2S=3k=1OxyABl确定下列平面系统的自由度并选择广义坐标确定下列平面系统的自由度并选择广义坐标2023年2月22日25 8.3 8.3 虚位移及其计算虚位移及其计算在约束允许条件下，各质点在约束允许条件下，各质点实际发生的位移称为实际发生的位移称为实位移实位移在约束允许条件下，各质点可能发生，而实际未发生的任在约束允许条件下，各质点可能发生，而实际未发生的任何微小位移，称为质点系的何微小位移，称为质点系的虚位移虚位移一一.虚位移的概念虚位移的概念2023年2月22日26 为了区分虚位移与微小的实位移为了区分虚位移与微小的实位移，通常用变分符号通常用变分符号 表表示虚位移示虚位移，用，用d表示微小的实位移表示微小的实位移。

虚位移虚位移只是可能的位移，具有任意性和方向的不确定只是可能的位移，具有任意性和方向的不确定性；性；实位移实位移则有确定的指向则有确定的指向虚位移虚位移是与作用力和时间无关，实际未发生的位移；是与作用力和时间无关，实际未发生的位移；实位移实位移是在力作用下经过一定的时间完成的真实位移是在力作用下经过一定的时间完成的真实位移虚位移虚位移只能是微小的位移；只能是微小的位移；实位移实位移既可以是微小的也既可以是微小的也可以是有限的位移可以是有限的位移在定常约束情况下，微小的实位移只是虚位移中的一种在定常约束情况下，微小的实位移只是虚位移中的一种2023年2月22日27二二.虚位移的计算虚位移的计算1 1 几何法几何法 类似于运动学中求刚体内各点速度的方法求各点类似于运动学中求刚体内各点速度的方法求各点虚位移之间的关系，称为几何法虚位移之间的关系，称为几何法例如要求图示曲柄连杆机构中点例如要求图示曲柄连杆机构中点B和点和点C的虚位的虚位移之间的关系移之间的关系可用基点法，投影法可用基点法，投影法或瞬心法求得为或瞬心法求得为BrCrcos(,)cos(,)BBCCrr BCrr BC2023年2月22日282 2 解析法解析法 对质点系中各质点的直角坐标关于广义坐标做类对质点系中各质点的直角坐标关于广义坐标做类似于微分运算的变分运算，可求得该质点的虚位移在似于微分运算的变分运算，可求得该质点的虚位移在直角坐标轴上的投影，这种方法称为解析法。

直角坐标轴上的投影，这种方法称为解析法例如要求图示曲柄连杆机构中点例如要求图示曲柄连杆机构中点B和点和点C的虚位的虚位移之间的关系移之间的关系2023年2月22日29xy,AB r BC lCAB 设建 立 图 示 直 角 坐 标 系，并 取 为 广 义 坐 标，则cos,sin,BBxryr于是sin,cosBBxryr2222sincos(sin)sinCrxrlr 222cossinCxrlr2023年2月22日30 凡约束力对于质点系的任何虚位移所作的虚功凡约束力对于质点系的任何虚位移所作的虚功之和为零的约束，称为之和为零的约束，称为理想约束理想约束质点系受有理想约束的条件：质点系受有理想约束的条件：0rFWiNiN8.4 8.4 虚位移原理及应用虚位移原理及应用一一.理想约束理想约束理想约束的例子：理想约束的例子：1 1、光滑面约束、光滑面约束2023年2月22日312 2、铰链约束、铰链约束3 3、圆轮在平面上作纯滚动、圆轮在平面上作纯滚动 受定常理想约束的质点系，在某位置平衡的必要与充受定常理想约束的质点系，在某位置平衡的必要与充分条件是：分条件是：二二.虚位移原理虚位移原理0rFWii上式又称为虚功方程。

上式又称为虚功方程2023年2月22日320rFWiicos(,)0iiiiWF rFr()0ixiiyiiziWFxFyFz点积形式：点积形式：自然坐标形式：自然坐标形式：直角坐标形式：直角坐标形式：2023年2月22日33 三.虚位移原理的应用虚位移原理的应用1 1 系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2 2 求系统在已知主动力作用下的平衡位置；求系统在已知主动力作用下的平衡位置；3 3 求平衡系统的约束外力；求平衡系统的约束外力；4 4 求平衡系统的约束内力求平衡系统的约束内力2023年2月22日34例例1 1 图示椭圆规机构，连杆图示椭圆规机构，连杆AB长长l，杆重和滑道摩擦，杆重和滑道摩擦不计，在主动力不计，在主动力 F1 和和 F2 作用下于图示位置平衡作用下于图示位置平衡.求主动力之间的关系求主动力之间的关系tg21FF 答：答：2023年2月22日352023年2月22日36OABCD例例2 2 图示操纵汽门的杠杆系统，已知图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB=1/3，求此系统平衡时主动力求此系统平衡时主动力P 和和Q 间的关系。

间的关系答：答：cot32QP2023年2月22日37例例3 3 图示系统中除连接图示系统中除连接H点的两杆长度为点的两杆长度为l 外外,其余各杆长度其余各杆长度均为均为 2l,弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为k,当未加水平力当未加水平力 P 时弹簧不受力，时弹簧不受力，=0求平衡位置求平衡位置答：答：058sinarcsin8Pklkl2023年2月22日38惰钳机构由六根长杆和两根惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长短杆组成，长杆长2a，短杆，短杆长长a，各杆之间用铰链相连，各杆之间用铰链相连它在顶部受力它在顶部受力F的作用，的作用，问下部力问下部力FQ的大小为多少才的大小为多少才能使系统处于平衡状态图能使系统处于平衡状态图中中 为已知角为已知角ABCFQFQFcotFFQ272023年2月22日39图示机构在图示机构在W及弹及弹簧约束下处于平衡簧约束下处于平衡，杆长，杆长 L，弹簧系，弹簧系数为数为 k，原长为，原长为b不计杆重不计杆重求平衡位置求平衡位置课堂练习题课堂练习题2023年2月22日40例例4 4 多跨静定梁，求支座多跨静定梁，求支座A处的反力处的反力答答：214121FFFA2023年2月22日41螺旋压榨机的例子螺旋压榨机的例子2023年2月22日42几何静力学存在的缺陷：几何静力学存在的缺陷：1.1.对可变系，必要非充分对可变系，必要非充分2.2.拆开研究，未知力多拆开研究，未知力多2023年2月22日43例例5 5 平面平衡结构平面平衡结构.已知力已知力F F，平面，平面力偶矩力偶矩m，ABL，BC2L，BD水水平，不计杆重及摩擦。

平，不计杆重及摩擦求：（求：（1 1）BD杆的内力；杆的内力；（2 2）铰链）铰链E处的水平约束力处的水平约束力LmFFBD58532LmFEx答答：2023年2月22日44图示为三铰拱图示为三铰拱，已知，已知FO，为求，为求支座支座 B的约束力的约束力，问应如何解除，问应如何解除约束约束 思考思考2023年2月22日452023年2月22日462023年2月22日47图示为桁架结图示为桁架结构，已知构，已知 P和各杆和各杆长度，为求杆长度，为求杆1 1，2 2和和3 3的内力，问的内力，问应如何解除约束应如何解除约束2023年2月22日482023年2月22日492023年2月22日50图示为多跨梁图示为多跨梁，已知，已知 P，q和各和各杆几何尺寸，为杆几何尺寸，为求支座求支座A，B的约的约束反力，问应如束反力，问应如何解除约束何解除约束2023年2月22日51 以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度若系统存在非理想约束，如弹簧力、少有一个自由度若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。

系统，可选为研究对象应用虚位移原理求解的要点和步骤：应用虚位移原理求解的要点和步骤：1 1）正确选取研究对象：）正确选取研究对象：若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以相若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以相应的约束反力，并计入主动力应逐步解除约束，每一应的约束反力，并计入主动力应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度力，增加一个自由度2023年2月22日52 2 2）正确进行受力分析）正确进行受力分析：画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦力和待求的约束反力力和待求的约束反力3 3）正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系）正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系4 4）应用虚位移原理建立虚功方程应用虚位移原理建立虚功方程5 5）解虚功方程由已知量求出需求量解虚功方程由已知量求出需求量2023年2月22日53解题步骤：解题步骤：给定系统虚位移或受力状态给定系统虚位移或受力状态首要条件：不可动时，解除部分约束，代以相应的约束力，不可动时，解除部分约束，代以相应的约束力，并视约束力为主动力，进行求解。

并视约束力为主动力，进行求解系统须可动（至少系统须可动（至少1 1个自由度）个自由度）3)3)列虚功方程求解列虚功方程求解2)2)求各力作用点虚位移关系求各力作用点虚位移关系2023年2月22日54 8.5 8.5 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件广义坐标广义坐标第第i个质点的矢径个质点的矢径12(,)kqq qq12(,)iikq qqrr 选择选择 k个广义坐标个广义坐标 q1，q2，qk 以确定系以确定系统内各个质点的位置统内各个质点的位置第第i个质点的虚位移个质点的虚位移1kiijjjqqrr2023年2月22日55主动力的虚功用广义坐标表示为主动力的虚功用广义坐标表示为1niiiWFr1111()()nkkniiijijijjijjWqqqq rrFF11,2,jniQiijFjkq令rFFQj 称为与第称为与第j个广义坐标个广义坐标qj对应的广义力对应的广义力2023年2月22日5610jkQjjWFq虚位移原理的另一种表达形式虚位移原理的另一种表达形式用广义力表示的质点系平衡条件为用广义力表示的质点系平衡条件为 受定常理想约束的质点系，其平衡充分必要条件为：受定常理想约束的质点系，其平衡充分必要条件为：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。

所有与广义坐标对应的广义力均等于零01,2,jQFjk2023年2月22日57（1 1）公式法）公式法11,2,jniQiijFjkqrF1()jniiiQixiyizijjjxyzFFFFqqq广义力计算的两种方法：广义力计算的两种方法：0,()jsqqsj广义虚令：0，其余的位移（2 2）虚功法虚功法1niiQ jjWFq2023年2月22日583例例6 6 已知：已知：AC=CD=DE，M1求：平衡时求：平衡时M2、M313MM答：答：1221MM2023年2月22日59例例7 7 求平衡时求平衡时 1、2与与FA、FB、F 间的关系间的关系2xOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAFFBBBAFFFFF21tantan答：答：2023年2月22日60思考思考图示为三自由度机图示为三自由度机构，若取杆构，若取杆DE，CD以及以及AB的位置角的位置角为广义坐标，问它为广义坐标，问它们的各自虚位移是们的各自虚位移是如何发生的，第三如何发生的，第三个虚位移对吗个虚位移对吗2023年2月22日61 8.6 8.6 势力场中的虚功方程及稳定性势力场中的虚功方程及稳定性 如果作用在质点系上的所有主动力都是有势力，如果作用在质点系上的所有主动力都是有势力，其势能函数可以表示为广义坐标的函数其势能函数可以表示为广义坐标的函数 将有势力的表达式写成分量的形式将有势力的表达式写成分量的形式12(,)kVV q qq，iiziiyiixzVFyVFxVF1.1.势力场中的虚功方程势力场中的虚功方程2023年2月22日62()0ixiiyiiziFxFyFz()0iiiiiiVVVxyzxyz有有即即 势力势力场中的虚功方程。

场中的虚功方程0V 代入虚功方程代入虚功方程对于保守系统，质点系平衡于势能取驻值状态对于保守系统，质点系平衡于势能取驻值状态2023年2月22日631()niiiiijijijxyzVVVxqyqzq 1()jniiiQixiyizijjjxyzFFFFqqq(1,2,)jVjkq 势力场中，对应于第势力场中，对应于第 j个广义坐标个广义坐标 qj的广义力等于系的广义力等于系统势能对这一广义坐标的偏导数统势能对这一广义坐标的偏导数冠以负号冠以负号或代入广义力表达式或代入广义力表达式2023年2月22日64得势力场中质点系平衡的充要条件得势力场中质点系平衡的充要条件01,2,jVjkq质点系在平衡位置处势能取驻定值质点系在平衡位置处势能取驻定值2023年2月22日65图示结构中，图示结构中，4杆及弹簧原长均为杆及弹簧原长均为l，弹簧弹簧 刚度为刚度为k,求平衡时力求平衡时力F大小大小与与 之关系解解:取不受力时，滑块取不受力时，滑块A位位置为力置为力F零势能位置；取弹零势能位置；取弹簧原长簧原长l为弹性势能零位置为弹性势能零位置则图示则图示 位置时位置时2(32 sin)(2 cos)2kVll Fl l 由由 得得0V,(2cos1)tanFklCAkBDFllll2023年2月22日66 由由 ，有，有 0FW 02 sin2 cosAkBDABDFyFlyl,ll(2cos1)tanFkl势力场问题由势力场问题由0V 求解，可避免求各虚位移关系，求解，可避免求各虚位移关系，更为简便。

更为简便思考思考:将弹簧力视为内力，用一般形式虚功方程将弹簧力视为内力，用一般形式虚功方程 0FW 如何求解如何求解?计入弹簧内力虚功，计入弹簧内力虚功，CAkBDFllll2023年2月22日67例例2 2 图示机构在图示机构在W及弹簧约束下处于平衡，杆长及弹簧约束下处于平衡，杆长L，弹簧系数为弹簧系数为 k，原长为，原长为b不计杆重，求平衡条件不计杆重，求平衡条件2023年2月22日68解：解：有势系统有势系统21cos2sin2VWLkLbsin2 sin2 cos0dVWLkLb LdW)-sin(22 tg blk故取取x轴为重力势能零点，原长位置为弹性势能零点轴为重力势能零点，原长位置为弹性势能零点2023年2月22日692.2.平衡的稳定性平衡的稳定性 若若质点系在某个平衡位置处受到微小扰动（微质点系在某个平衡位置处受到微小扰动（微小的偏离或微小的冲击）后，每个质点只在它的平小的偏离或微小的冲击）后，每个质点只在它的平衡位置附近运动而不产生显著的偏离，则称该平衡衡位置附近运动而不产生显著的偏离，则称该平衡位置是位置是稳定稳定的反之，称为的反之，称为不稳定不稳定拉格朗日定理拉格朗日定理 若若质点系在某个平衡位置上的势能具有极小值，质点系在某个平衡位置上的势能具有极小值，则该平衡位置是稳定的。

则该平衡位置是稳定的2023年2月22日70对于单自由度质点系对于单自由度质点系22dd00ddVVqq当且时，该 平 衡 位 置 是 稳 定 的若若V的不等于零的最低阶导数是偶数阶且为正，的不等于零的最低阶导数是偶数阶且为正，则势能则势能V有极小值，则有极小值，则该平衡位置是稳定的该平衡位置是稳定的a a）稳定平衡）稳定平衡（b b）非稳定平衡）非稳定平衡（c c）随遇平衡）随遇平衡2023年2月22日71例例1 1 如图所示，均质杆如图所示，均质杆AB长长 ，质量，质量 ，弹簧刚度系数弹簧刚度系数 ，当杆与铅直方向夹角，当杆与铅直方向夹角 时，时，弹簧正好为原长弹簧正好为原长,试求杆的平衡位置，并判断其稳定性试求杆的平衡位置，并判断其稳定性0.6ml 10kgm 200N/mk 0mgABk2023年2月22日72取弹簧原长为零势能状态，取弹簧原长为零势能状态，过过B的水平面为重力势能零势面，的水平面为重力势能零势面，则任意则任意 位置时系统势能位置时系统势能:(1 cos)sin02mgkl221(1 cos)cos22lVklmg由由 ，有，有0VmgABk2023年2月22日73 虚功方程应用于变形体系时，内力虚功一般不为零虚功方程应用于变形体系时，内力虚功一般不为零.0ieWWVWe一、虚功方程用于变形体的形式一、虚功方程用于变形体的形式 即即 外力虚功等于质点系的虚变形能。

外力虚功等于质点系的虚变形能这就是用于变形体的虚功方程形式这就是用于变形体的虚功方程形式则有则有iWV令令 为变形体的虚变形能为变形体的虚变形能质点系的虚功方程可写为质点系的虚功方程可写为 8-7 8-7 虚功方程应用于变形体系统虚功方程应用于变形体系统2023年2月22日741Fni212FiFnF图示变形体受约束无刚体位移，在力系图示变形体受约束无刚体位移，在力系 作用下，各力作用点位移为作用下，各力作用点位移为 ，在缓慢加载下，外力系，在缓慢加载下，外力系作功转化为变形体的变形能弹性变形能作功转化为变形体的变形能弹性变形能V 可表示为各可表示为各外力外力 的函数ni,.,.,FFFF21iiF弹性变形能弹性变形能 V 也可表示为各力作用点位移也可表示为各力作用点位移i的函数的函数niVV,21i1i (b)niVVni21F,.F,.F,FVV nii 1iF (a)FVV则则则则2023年2月22日7500,in1i1i21仅iiiiVF1卡氏定理卡氏定理给定虚位移如图给定虚位移如图（b)所示所示a）卡氏第一定理卡氏第一定理eWV：由有1FiF2FnFni21(a)(a)真实受力状态真实受力状态0n 2 010(b)(b)选定虚位移状态选定虚位移状态iiiVF2023年2月22日76b）卡氏第二定理）卡氏第二定理VWe由由 有有给虚力状态给虚力状态 如图如图(d)（仅（仅Fi0）iiiiFFVF 1FiF2FnFni21(c)(c)真实受力状态真实受力状态iF(d)(d)虚设力状态虚设力状态故故iiFV弹性系统的应变能对于弹性系统的应变能对于某一个力某一个力F Fi i的偏导数等于与该力相应的位移。

的偏导数等于与该力相应的位移导数为正时，导数为正时，i与力方向一致与力方向一致;为负时，方向为负时，方向相反相反.2023年2月22日77给定虚力状态如图（给定虚力状态如图（f)f)：Fi=1,其余为零真实状态为虚位移其余为零真实状态为虚位移2 莫尔定理莫尔定理VWe由由 ，有有Vi 1即Vi1FiF2FnFni21(e)(e)真实位移状态真实位移状态1iF(f)(f)虚设单位力状态虚设单位力状态系统沿某力系统沿某力Fi方向方向的位移等于由相应单位力引起的内的位移等于由相应单位力引起的内力在真实变形中所作的功力在真实变形中所作的功2023年2月22日78 如图所示如图所示,两根弹性杆的刚度系数分别为两根弹性杆的刚度系数分别为 ,在连接处在连接处O悬挂重量为悬挂重量为G的重物的重物,试求试求O点的水平位点的水平位移与竖直位移移与竖直位移.21,kk2023年2月22日79解：解：(a)(b)12123,22GGllkk1)用莫尔定理求解用莫尔定理求解求水平位移时，虚设图求水平位移时，虚设图(b)所示力状态，所示力状态，各杆内力如图；将真实变形作为虚位移，且各杆内力如图；将真实变形作为虚位移，且2023年2月22日80由式由式 ，有，有iV121322Oxll故故12311()4OxGkk2023年2月22日81求竖向位移时，虚设图求竖向位移时，虚设图(c)所示单位竖向力状态，所示单位竖向力状态，2113()4OyGkk(c)(a)同理可得同理可得2023年2月22日82在结点在结点o o加水平力加水平力F F 思考：思考：如何求如何求？oxFGVV,0FFVox122221113142122323kkGkkGkkkGkGVoy22221122221122123212121kGkkGklklkV系统变形能系统变形能2）用卡氏定理求位移用卡氏定理求位移。