简谐运动(于万堂)

微积分在在物理学中的运用1•如图3—2所示，一个半径为R的四分之一光滑球 面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点， B 端恰与桌面不接触，铁链单位 长度的质量为p •试求铁链A端受的拉力T.2•半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量 为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长为nR,且弹性绳圈 的劲度系数为k,将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上， 使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图 3—5 所示，若 平衡时弹性绳圈长为"2 R，求弹性绳圈的劲度系数k.3.—质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r,几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张 力为T,求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.4•一根质量为M,长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来， 其最低端刚好与水平接触，今将链条由静止释放，让它落到 地面上，如图3一7所示，求链条下落了长度x时，链条对地 面的压力为多大？图—75•—根均匀柔软的绳长为L,质量为m,对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉 子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？6•图3—9中，半径为R的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长 但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为M、m.设圆盘与 绳间光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度.7•粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R和r的两圆环相切•若在切点放一质点m,恰使 两边圆环对m的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？8•—枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v,那 么火箭发动机的功率是多少？9．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内， 在环内的环底 A 处有一质 量为m、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B处管口的轻绳，在外力F作 用下小球以恒定速度v沿管壁做半径为R的匀速圆周运动，如图3—23所示•已知小球与管 内壁中位于大环外侧部分的动摩擦因数为“，而大环内侧部分的管内壁是光滑的•忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小球从A点运动到B点过程中F做的功 W图 3-23图一10. 一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦 因数卩恰好满足卩=tgd , «为斜面的倾角。

今使物体获得一水平速度V0而滑动，如图一， 求：物体在轨道上任意一点的速度V与©的关系，设©为速度与水平线的夹角11. 一条匀质的金属链条，质量为m,挂在一个光滑的钉子上，一边长度为L］，另一边长度 为L2,而且0 < L2 < ”如图一试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间12. 在密度为P的液体上方有一悬挂的长为L,密度为P的均匀直棒，棒的下端刚与液面接 12触今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若P < P，求： 12棒下落过程中的最大速度13. 质量为m的物体，以初速为V，方向与地面成0角抛出如果空气的阻力不能忽略,00并设阻力与速度成正比，即f = -kV，k为大于零的常数求：物体的运动轨道14..飞机以V的水平速度触地滑行着陆滑行期间受到空气的阻力为C V2，升力为C V2 ,0 x y其中V是飞机的滑行速度设飞机与跑道间的摩擦系数为，试求：飞机从触地到停止所 滑行的距离15.两小球的质量均为m,小球1从离地面高度为h处由静止下落，小球2在小球1的正下 方地面上以初速V0同时竖直上抛设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k（常 量）试求：两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。

16.—轻绳的两端分别连接小球A和小环B,球与环的质量相等，小环B可在拉紧的钢丝上 作无摩擦的滑动，如图一现使小球在图示的平面内摆动求：小球摆离铅垂线的最大角度 时小环和小球的加速度简谐运动．机械振动的定义:在回复力作用下围绕平衡位置的的往复运动；回复力：始终指向平衡 位置的力二．弹簧振子模型1. 模型特点：2. 其原长在0点，将其拉离平衡位置至A点，然后释放, 其将做什么运动，3. 在运动过程中其受力有什么特点【对应练习】1•一木块漂浮在水面上，已知水的密度为P0，木块的密度为P ,横截面积为S,将木块稍微下按，释放后，证明木块的运动时简单和谐的2. 将一弹簧振子竖直悬挂，证明其振动是简单和谐的3. 证明给水平方向弹簧振子施加一沿弹簧的恒力作用，其运动依然是简谐的三．简谐运动是最简单的振动形式，任何复杂的振动都可以分解成若干个简谐振动，判断一个振动是否是简谐运动的依据，从受力上来看：满足回复力F二-kx该条件是简谐运动的充要条件质点以角速度®沿着半径为R的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点在某直径上的投影 的运动是简谐振动提示：从受力分析入手，从而可以分析速度、加速度、动能、势能以及总能量）【练习】1.一物体沿x轴在x = -A和x = A的区间内作简谐振动，对此物体作随机观察。

则该物 体出现在微小间隔0 § x < a中的几率是2•如图1-4所示，质量可以忽略的弹簧上端固定，下端悬挂一质量为m的物体，物体沿竖直 方向做振幅较小的简谐振动取平衡位置O处为原点，位移x向下为正，则在图1-5的A、 B、C、D 和 E 五个图中（1） 图—是描述物体的速度随x的变化关系2） 图—是描述加速度随x的变化关系3） 图 是描述弹簧的弹性势能随x的变化关系4） 图—是描述总势能（重力势能与弹性势能）随x的变化关系（重力势能取原点处为零）3..如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力， 试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地 球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L,地球内部质 量密度均匀，不考虑地球的自转.4. 若沿地球两极间的地轴钻一个洞，当一物从北极无初速地落入这无底洞时，物体将如何运 动？到达南极的时间是多少？5•有一粗细均匀的U型管中装有一定质量的水，水柱的总长度为L,受扰后水在管中振动，忽略管壁对水运动的阻力，求振动的周期6.有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设 想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两 个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待 发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质 量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在 待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不 改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好 沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M =20m，地球半径 R0 =6400 km.假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的,两物体间的碰撞是弹性的.7•如图所示，质量为m的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时， 物体对弹簧的最大压力是物重的 1.8 倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使 物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？&在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k振子质量为M,振动的最大速度为 v0当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放在其上，贝0( 1)要保持物体和振子 一起振动，二者间动摩擦因数至少多大？ (2)一起振动时，二者经过平衡位置的速度多大?二者的振幅又是多大？9. 如图所示，两个相同的柱形滚轮平行、登高、水 平放置，绕各自的轴线等角速、反方向地转动，在 滚轮上覆盖一块均质的木板。

已知两滚轮轴线的距 离为L、滚轮与木板之间的动摩擦因素为“、木板 的质量为 m ，且木板放置时，重心不在两滚轮的正 中央试证明木板做简谐运动，并求木板运动的周 期10. 如图所示，三根长度均为 L = 2.00m 地质量均匀直杆， 构成一正三角形框架ABC, C点悬挂在一光滑水平轴上， 整个框架可绕转轴转动杆AB是一导轨，一电动松鼠可 在导轨上运动现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却 静止不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动11. 如图所示，两根相同的弹性系数分别为k和k2 的轻质弹簧，连接一个质量为 m 的滑块，可以在光 滑的水平面上滑动试求这个系统的振动周期T12. 两个弹簧通过一个动滑轮（不计质量）再与质量为m的钩码相连，如图11所示，钩码 在竖直方向上的振动周期又是多少？囲1113. 两弹簧和钩码通过轻杆和转轴，连成了图12所示的系统，已知气、k2、m、a、b , 再求钩码的振动周期T图1214.质量为10g的物体做简谐振动，振幅为24cm,周期为4s,当t=0时坐标为+24cm试求:（1）当t=0.5s时物体的位置2）当t=0.5s时作用在物体上力的大小和方向3）物体从 初始位运动到x = ~12cm处所需的时间。

4）当x = ~12cm时物体的速度15.—物体在水平面上做简谐振动，振幅为10cm，当物体离开平衡位置6cm时，速度为 24cm/s,（l）周期是多少？ （2）当速度为土 12cm/s时，位移是多少？（3）如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物体相对于物块刚要开 始滑动，求它们之间的摩擦系数17•某液体的密度随深度线性增加，液体表面的密度为P o，深度为D处的密度为2P o，一密度为2 °的小球在深度为f处从静止释放，忽略液体的阻力，试求小球的振动方程表达式18•如图所示，质量分别为m和m的木块用弹性系数为k的轻弹簧连接起来，用一根绳子12拉紧两物体，使弹簧压缩，某时刻将绳子烧断，求两木块的振动周期7777777^^^77777719.用细线将质量为M的物体挂在天花板上，用非常轻的弹簧将质量为m的物体连接在M物 体上，弹簧的弹性系数为k,烧断线，两物体开始在均匀的重力场中下落，求两弹簧的最大长度和最小长度之差？线烧断之后经过多长时间弹簧的伸长量第一次变为零可以认为发生 上述情况的时间内物体没有落地20.在光滑的水平桌面上有质量均为M的三辆同样的小车,中间车B用轻绳与左边车C连接， 用弹性系数为 k 的弹簧与右边车相连，开始维持系统使弹簧不形变，绳子不拉近但实际上中 间也不下垂，推一下使“处在弹簧作用下的” A车具有速度v0其方向沿连接B、A两车的 直线背离B车，求当绳长为最短为多少时B车与C车发生最强的碰撞，三车总是沿直线运动。

77777777/777777777.21•用弹簧连接的质量均为m的小球，静放在光滑的水平面上，质量为M的小球从左边向该m系统撞来，发生正面的完全弹性碰撞，求当质量之比比=m近似为多少时将再次放生碰撞?///////////22•如图所示的装置中滑轮的质量不计’物体的大小不计’质量分别切i和m，mi下端通 过弹性系数为k的轻弹簧与地面相连，让加］偏离平衡位置一小段距离后放手，求系统的振 动周期23•如图所示，物体A、B用细绳相连悬挂于定滑轮0上，物体C用弹性系数为k二mg /1，原长为l的弹簧悬挂于B下，已知它们的质量关系为m二2m,m二m二m，开始时系统A B C静止，且使弹簧保持原长释放，若不计滑轮和绳的质量和摩擦，试求C相对于B的运动规 律24.如图所示，质量为m,弹性系数为k的弹簧振子放在光滑的水平面上，其平衡位置在O 点，其圆频率①二0.5兀rad /s，另一质量为m的质点放在光滑的曲面上的A点，AB间的高度差h=0.2m，质点由A滑到B点所需时间tAB = l，5s，OB间的距离1 = 6.0加，现将弹簧振AB子向左压缩2.0m后自由释放，同时释放处于A点的质点m，两个质点相遇作完全非弹性碰 撞后粘在一起，发生碰撞时弹簧的作用力可忽略。

若从碰撞开始计时，求系统振动的数学表达式？（g=10m/s2）AB均匀碰撞图 9-925•图9-9中A是某种材料制成的小球，B为某种材料制成的 刚性薄球壳假设A与B的碰撞是完全弹性的，B与桌面的l9是完全非弹性的已知球壳B的质量为m,内半径为a,放置在水平的、无弹性的桌面上 小球A的质量亦为m,通过一自然长度为a的柔软的弹性轻绳悬挂在球壳内壁的最高处， 如图所示弹性轻绳被拉长时相当于倔强系数为k的弹簧，且ka=9mg/2起初将小球A拉 到球壳内的最低处,然后轻轻释放试详细的、定量的讨论小球以后的运动26如图所示，在一个劲度系数为k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为m的小球A和质 量为2m的小球B. A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l .现将 细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴 Ox，原点O与此时A球的位置重合如图.试求任意时刻两球的坐标.27.—个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为P]和P2 ( P]

试计算木棍到达最低处所需的时间假定由于木棍运动而 4产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未露 出液面，也未与容器相碰28.设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触已知湖水密度为P ;物块边长为b，密度为p '，且p '< p在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下,求物块从初始位置出发往返一次所需的时间三.单摆模型1. 单摆的构成2. 单摆的动力学分析3. 单摆振动的周期推导4.等效重力加速度g '确定等效重力加速度g'的方法:① 确定摆球振动的平衡位置② 确定此时摆线的拉力 FF③等效重力加速度g '二—例1、在一节车厢中悬挂一个摆长为l的单摆，车厢以加速度a在水平地面上运动，如果摆 球的质量为m,那么该单摆的简谐振动的周期为多大？例5、摆线长为l的单摆置于架子上，架子固定在小车上，使小车沿着倾角为Q的斜面以加 速度a做匀加速运动，求此时单摆振动的周期？ 亠2、等效摆长在有多个可等效的悬点、摆长时，首选等效摆长及摆长的操作是:① 连接两悬点的直线为转轴② 摆球所收的重力作用线反向延长与转轴的交点为首选等效悬点③ 取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长1'例6、如图，一三角架可绕AB边转动，边长都是L,三角架重量忽略, AB边和竖直方向成Q角，求该摆的简谐振动的周期。

例8、摆球质量为m,凹形滑块质量为M,摆长为 l ，m 和 M 、M 与水平面之间光滑，令摆线偏转很 小的角度后,从静止释放,求系统的振动周期 T例9、在天花板下用两根长度为l的轻绳吊一质量为M的光滑匀质木板,板中央有一质量为 m 的小滑块,开始时系统静止,然后使板有一个水平的横向小速度v 0，试求振动周期。