江苏省东台唐洋中学2013届高三数学数列填空题专项训练1

江苏东台唐洋中学数列填空题专项训练（一） 1．数列1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，1，…1，n，…的第2011项为　_________　．　2．将正偶数按如图所示的规律排列：第n（n≥4）行从左向右的第4个数为　_________　．　3．数列，…的一个通项公式为　_________　．　4．已知数列{an}中，an=（﹣1）n+1（n∈N*），则a4=　_________　．　5．写出数列，，，的一个通项公式　_________　．　6．数列{an}中a1=1，a2=2，an+2=2an+1+an，则a5=　_________　．　7．数列，，，，…中，有序数对（a，b）可以是　_________　．　8．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…的第1000项是　_________　．　9．某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为　_________　111111…123456…1357911…147101316…159131721…1611162126……………………　10．图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形．在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为　_________　　11．正整数按下表排列：1 2 5 10 17 …4 3 6 11 18 …9 8 7 12 19 …16 15 14 13 20 …25 24 23 22 21 ……位于对角线位置的正整数1，3，7，13，21，…，构成数列{an}，则a7=　_________　；通项公式an=　_________　．　12．某资料室使用计算机进行编码，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左到右以及从上到下都是无限延伸的，则此表中主对角线上的数构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为　_________　．　13．（2012•江苏）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2）个数是它下一行左右相邻两数的和，如=，=+，=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为　_________　．　14．已知an=n2+λn，且an+1＞an对一切正整数n恒成立，则λ的取值范围　_________　．　15．已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn+2011（其中，λ为实常数），且仅有第4项是最小项，则实数λ的取值范围为　_________　．　16．已知数列{an}的前n项和Sn=2n+3，则an=　_________　．　17．Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＞0且S19=0，则当Sn取得最大值时的n=　_________　．　18．已知函数对于满足a+b=1的实数a，b都有．根据以上信息以及等差数列前n项和公式的推导方法计算：=　_________　．　19．已知数列{an}中，an=n2+λn，且an是递增数列，求实数λ的取值范围　_________　．　20．（2010•浙江）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是　_________　．第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………　21．如表给出一个数阵，其中每行每列均为等差数列，且数阵从左至右以及从上到下都有无限个数．①第三列前n项和为 　_________　；②数阵中数100共出现 　_________　次．　22．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是 　_________　．　23．做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是　_________　份．　24．（2006•重庆）在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n≥1），则该数列的通项an=　_________　．　25．数列{an}中，是等差数列，则a11=　_________　．　26．已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，则通项公式an=　_________　．　27．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5=12，a6=2，则a2+a3=　_________　　28．已知数列中，a1=5，a8=19，an=pn+q（p，q为常数）（n∈N*），则a5=　_________　．　江苏东台唐洋中学数列填空题专项训练（一） 参考答案与试题解析　1．数列1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，1，…1，n，…的第2011项为　1　．考点：数列的概念及简单表示法。

1021054专题：规律型分析：观察数列的特点可知，数列的第1个数为：1，第1+2个数为：2，第1+2+3数为：3，…第1+2+3+…+n个数为n，其余的数都为1．而第2011项介于当n=62与当n=63之间，照此规律：第2011项为1．解答：解：数列的第1个数为：1，第1+2个数为：2，第1+2+3数为：3，…第1+2+3+…+n个数为：n，其余的数都为1．∴当n=62时，1+2+3+…+n=1953；当n=63时，1+2+3+…+n=2016；照此规律：第2011项为1故答案为：1．点评：本题考查数列的概念及简单表示法、数列的求和公式，解题时要认真审题，仔细解答．　2．将正偶数按如图所示的规律排列：第n（n≥4）行从左向右的第4个数为　n2﹣n+8　．考点：数列的概念及简单表示法1021054分析：可以观察每行的最后一个数2×1，2×（1+2），2×（1+2+3），看出它们的结构特点，第n行最后一个数是2（1+2+3+…+n），算出，再写出上一行最后一个数，向后再数四个得到结果．解答：解：∵由每一行的最后一数知：2×1，2×（1+2），2×（1+2+3），∴得第n﹣1（n≥4）行的最后一个数为，∴第n（n≥4）行从左向右的第4个数为n2﹣n+8．故答案为：n2﹣n+8．点评：应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决．　3．数列，…的一个通项公式为　　．考点：数列的概念及简单表示法。

1021054专题：探究型分析：观察各项，发现分子上的数正好是项数的平方，分母上的数是项数与项数加1的乘积，且项的符号正负交叉出现，由此易得其通项公式解答：解：观察各项知，其通项公式可以为，验证知，符合前几项故答案为：点评：本题考查数列的概念及简单表示法，求解的关键是由前几项归纳出规律，即各项与相应项数的对应关系，写出通项．　4．已知数列{an}中，an=（﹣1）n+1（n∈N*），则a4=　2　．考点：数列的概念及简单表示法1021054专题：计算题分析：题设条件中已经给出了数列的项的表达式，故令n=4即可求出a4的值解答：解：∵数列{an}中，an=（﹣1）n+1（n∈N*），∴a4═（﹣1）4+1=1+1=2故答案为2点评：本题考查数列的概念及简单表示法，解题的关键是理解函数表示的意义，即项与序号的对应关系，从而利用此表达式求出项　5．写出数列，，，的一个通项公式　an=　．考点：数列的概念及简单表示法1021054专题：探究型分析：先观察数据分子分母可以分开来看，分子是1，3，5，7得奇数可用2n﹣1替代，分母则为为偶数的平方，且每各一项符号发生改变，写出通项即可．解答：解：分别观察各项分子与分母的规律，分子为奇数列{2n﹣1}；分母为偶数的平方，且每各一项符号发生改变故所求通项公式为an=．故答案为：an=．点评：根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，考查的是学生对数据的观察归纳能力，需要注意其和常见数据的联系．　6．数列{an}中a1=1，a2=2，an+2=2an+1+an，则a5=　29　．考点：数列的概念及简单表示法；数列递推式。

1021054专题：计算题；转化思想分析：由题中的递推公式可以求出数列的各项，得出正确结果．解答：解：数列{an}中a1=1，a2=2，an+2=2an+1+an，a3=2a2+a1=5，a4=2a3+a2=12，a5=2a4+a3=29；故答案为：29．点评：本题通过递推数列求出数列的项，由归纳，猜想，找出规律，从而得出结果，一般不用证明．　7．数列，，，，…中，有序数对（a，b）可以是　（，﹣）　．考点：数列的概念及简单表示法1021054分析：遇到这样的数列问题，观察数列中项的结构特点，若是分数，要观察分子和分母之间的关系，分子和分母同项数之间的关系，得到各项具有的公共的特点．解答：解：∵观察数列的特点发现分母上的数字比分子上的被开方数小2，∴从上面的规律可以看出，解上式得故答案为：（，﹣）点评：本题可以培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力，通过本题的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力．　8．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…的第1000项是　45　．考点：数列的概念及简单表示法。

1021054专题：常规题型分析：由题意可知，此数列由一个1，两个2，3个3…组成，欲求第1000项，需求自然数列前n项和不大于1000时的最大n值，再列举出第1000项解答：解：因为1+2+3+…+n=n（n+1）/2，由n（n+1）/2≤1000得 n的最大值为44，即最后一个44是数列的第990项，而45共有45项，所以，第1000项应为45，故答案为45．点评：本题考查数列定义，解题时要注意观察，发现规律，利用等差数列知识解答．　9．某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为　an=n2﹣2n+2　111111…123456…1357911…147101316…159131721…1611162126……………………考点：数列的概念及简单表示法1021054专题：计算题分析：观察表中形成的数列，1，2，5，10，17，…，第二项比第一项大1，第三相比第二项大3，第四相比第三项大5，第五相比第四项大7，以此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为2的等差数列，用叠加法求出结果．解答：解：∵a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，把上述各式相加，得到an=1+3+5+7+…+（2n﹣3）+1=+1=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2故答案为：an=n2﹣2n+2点评：在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．　10．图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形．在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为　　考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理。

1021054专题：计算题分析：先根据图形求出前后两图的递推关系，然后利用叠加法进行求解，再利用等比数例，求出数列的通项公式．解答：解：根据图形可知 a1=1，an+1﹣an=3n当n≥2时an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…（an﹣an﹣1）=1+3+32+…+3n﹣1=故答案为：．点评：本题主要考查了等比数列的求和，数列中的叠加法求通项，以及识图能力和运算推理能力．　11．正整数按下表排列：1 2 5 10 17 …4 3 6 11 18 …9 8 7 12 19 …16 15 14 13 20 …25 24 23 22 21 ……位于对角线位置的正整数1，3，7，13，21，…，构成数列{an}，则a7=　43　；通项公式an=　n2﹣n+1　．考点：数列的概念及简单表示法1021054分析：观察数阵的结构特点，位于对角线位置的正整数1，3，7，13，21，…，构成数列{an}，它的第二项比第一项大二，第三项比第二项大四，第四项比第三项大六，发现数列每一项与它前一项的差组成等差数列，求出结果．解答：解：∵a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，a4﹣a3=6…an﹣an﹣1=2（n﹣1）把上式叠加得到：an=2+4+6+…+2（n﹣1）+a1=n2﹣n+1，故答案为：43，n2﹣n+1．点评：本题是一道综合题，使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题．．　12．某资料室使用计算机进行编码，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左到右以及从上到下都是无限延伸的，则此表中主对角线上的数构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为　（n﹣1）2　．考点：数列的概念及简单表示法。

1021054分析：观察表中形成的数列，1，2，5，10，17，…，第二项比第一项大1，第三相比第二项大3，第四相比第三项大5，第五相比第四项大7，以此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为2的等差数列，用叠加法求出结果．解答：解：∵a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，把上述各式相加，得到an=1+3+5+7+…+（2n﹣3）==（n﹣1）2．故答案为：（n﹣1）2点评：在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．　13．（2012•江苏）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2）个数是它下一行左右相邻两数的和，如=，=+，=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为　　．考点：数列的函数特性1021054专题：计算题分析：据每个数是它下一行左右相邻两数的和，先求出第8，9，10三行的第2个数，再求出9，10两行的第3个数，求出第10行的第4个数．解答：解：设第n行第m个数为a（n，m），据题意知 a（7，1）=，a（8，1）=，a（9，1）=，a（10，1）=．∴a（10，2）=a（9，1）﹣a（10，1）=﹣=，a（8，2）=a（7，1）﹣a（8，1）==，a（9，2）=a（8，1）﹣a（9，1）=，a（10，3）=a（9，2）﹣a（10，2）=，a（9，3）=a（8，2）﹣a（9，2）=，a（10，4）=a（9，3）﹣a（10，3）=，故答案为 ．点评：本题考查通过观察归纳出各数的关系，考差了学生的观察能力和计算能力，属于中档题，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．　14．已知an=n2+λn，且an+1＞an对一切正整数n恒成立，则λ的取值范围　λ＞﹣3　．考点：数列的函数特性。

1021054专题：计算题分析：本题中数列的通项公式是一个关于n的二次的形式，故可以借助二次函数的性质来研究其单调性，得到参数的取值范围．解答：解：∵an=n2+λn，且an+1＞an对一切正整数n恒成立∴数列是一个单调递增的数列，故f（x）=x2+λx在（1，+∞）上是一个增函数由于数列是一个离散的函数，故可令＜得λ＞﹣3故λ的取值范围是λ＞﹣3点评：本题借助二次函数的性质来研究数列的单调性，要注意数列是一个离散函数这一特征，避免出错．　15．已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn+2011（其中，λ为实常数），且仅有第4项是最小项，则实数λ的取值范围为　（﹣9，﹣7）　．考点：数列的函数特性1021054专题：计算题分析：由题意仅有第4项是最小项，知 ，由此可求出实数λ的取值范围．解答：解：由题意知即：，解得 λ∈（﹣9，﹣7）．则实数λ的取值范围为（﹣9，﹣7），故答案为：（﹣9，﹣7）．点评：本题考查数列的基本知识、数列与不等式的综合，难度不大，计算时要细心求解．　16．已知数列{an}的前n项和Sn=2n+3，则an=　　．考点：数列的函数特性1021054专题：计算题。

分析：利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，再验证n=1时的结论，即可得到数列的通项．解答：解：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+3）﹣（2n﹣1+3）=2n﹣1，n=1时，a1=S1=21+3=5，∴an=故答案为：点评：本题考查数列的通项，解题的关键是利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，属于基础题．　17．Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＞0且S19=0，则当Sn取得最大值时的n=　9或10　．考点：数列的函数特性1021054专题：计算题分析：先由题设条件求出a1=﹣9d，，然后用配方法进行求解．解答：解：∵S19=0，∴，∴a1=﹣9d，∴=∴n=9或10时，Sn取得最大值故答案为：9或10点评：本题的肯定是数列的函数特性，主要考查等差数列的性质和应用，解题时要注意配方法的合理运用．　18．已知函数对于满足a+b=1的实数a，b都有．根据以上信息以及等差数列前n项和公式的推导方法计算：=　　．考点：数列的函数特性1021054专题：计算题分析：利用函数具有的性质，将代数式的首尾相加得到1005组值，再相加，最后求出f（1）的值加上即可．解答：解：因为函数对于满足a+b=1的实数a，b都有．所以，，，…相加得到=，又因为所以=故答案为点评：本题考查根据数列是特殊的函数，根据函数具有的性质，来解决数列的和问题，利用的是倒序相加法，属于基础题．　19．已知数列{an}中，an=n2+λn，且an是递增数列，求实数λ的取值范围　（﹣3，+∞）　．考点：数列的函数特性。

1021054专题：计算题分析：根据所给的数列的项，写出数列的第n+1项，根据数列是一个递增数列，把所给的两项做差，得到不等式，根据恒成立得到结果．解答：解：∵an=n2+λn，∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）∵an是递增数列，∴（n+1）2+λ（n+1）﹣n2﹣λn＞0即2n+1+λ＞0∴λ＞﹣2n﹣1∵对于任意正整数都成立，∴λ＞﹣3故答案为：（﹣3，+∞）点评：本题考查数列的函数的特性，本题解题的关键是防写出数列的一项，根据函数的思想，得到不等式且解出不等式．　20．（2010•浙江）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是　n2+n　．第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………考点：等差数列；等差数列的通项公式1021054专题：规律型分析：由表格可以看出第n行第一列的数为n，观察得第n行的公差为n，这样可以写出各行的通项公式，本题要的是第n行第n+1列的数字，写出通项求出即可．解答：解：由表格可以看出第n行第一列的数为n，观察得第n行的公差为n，∴第n0行的通项公式为an=n0+（n﹣1）n0，∵为第n+1列，∴可得答案为n2+n．故答案为：n2+n点评：本题主要考查了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力，属中档题．这是一个考查学生观察力的问题，主要考查学生的能力．　21．如表给出一个数阵，其中每行每列均为等差数列，且数阵从左至右以及从上到下都有无限个数．①第三列前n项和为 　n2　；②数阵中数100共出现 　6　次．考点：等差数列。

1021054专题：综合题分析：①分析第三列的各个数字，因为此数列成等差数列，所以找出数列的首项和公式，写出数列的前n项和即可；②设每行数列的公差为d，首项都为1，得到每行数列的通项公式，让其等于100，根据n取正整数，利用d的值讨论即可得到满足题意的n的值，即可得到100出现的次数．解答：解：①第三列的各项为：1，3，5，7…，因为此数列为等差数列，则首项a1=1，公差d=3﹣1=2，则前n项和Sn=n+×2=n2；②设每行数列的公差为d，因为首项都为1，所以通项公式an=1+（n﹣2）d，当an=100时，得到1+（n﹣2）d=100解得n=+2，因为n为正整数，所以d可能等于1，3，9，11，33，99，所以100出现了6次．故答案为：n2，6点评：此题考查学生会利用首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．　22．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是 　14　．考点：等差数列；进行简单的合情推理1021054专题：规律型。

分析：把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组，那么每组圆的总个数就等于2，3，4，…所以这就是一个等差数列．根据等差数列的求和公式可以算出第120个圆在第15组，且第120个圆不是实心圆，所以前120个圆中有14个实心圆．解答：解：将圆分组：第一组：○●，有2个圆；第二组：○○●，有3个圆；第三组：○○○●，有4个圆；…每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为sn=2+3+4+…+（n+1）=，令sn=120，解得n≈14.1，即包含了14整组，即有14个黑圆，故答案为14．点评：解题的关键是找出图形的变化规律，构造等差数列，然后利用等差数列的求和公式计算．　23．做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是　10　份．考点：等差数列；分层抽样方法1021054专题：计算题分析：由分层抽样的特点和等差数列的定义可知，从回收的问卷中按单位分层抽取的问卷分数也成等差数列，故本题转化成已知一个等差数列的第2项和前4项之和，求第4项的问题，把这四项分别设为30﹣d，d，30+d，30+2d，列方程求解即可．解答：解：∵在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，∴从回收的问卷中按单位分层抽取的问卷分数也成等差数列，∵B单位抽30份，∴设公差为d，则A，C，D依次为30﹣d，30+d，30+2d．∵共100份，∴（30﹣d）+30+（30+d）+（30+2d）=100．∴d=﹣10．∴D单位应抽取30+2×（﹣10）=10（份）．故答案为10．．点评：本题综合考查了分层抽样的特点和等差数列的定义及通项公式，关键是这四项的设法，可以有效地简化计算．　24．（2006•重庆）在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n≥1），则该数列的通项an=　2n﹣1　．考点：等差数列的通项公式。

1021054专题：计算题分析：利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．解答：解：由an+1=an+2（n≥1）可得数列{an}为公差为2的等差数列，又a1=1，所以an=2n﹣1故答案为2n﹣1点评：本题考查等差数列的定义、等差数列的通项公式．　25．数列{an}中，是等差数列，则a11=　　．考点：等差数列的通项公式1021054专题：计算题分析：设数列的公差为d，根据等差数列的性质，求出d，在根据等差数列的性质，即可求出a11解答：解：设数列的公差为d∵数列{an}中，是等差数列∴将a3=2，a7=1代入得：d=∵∴a11=故答案为：点评：本题从等差数列的性质出发，避免了从首相入手的常规解法，起到简化问题的作用，属于基础题．　26．已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，则通项公式an=　2n﹣1　．考点：等差数列的通项公式1021054专题：计算题分析：由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n﹣1）d，代入可求解答：解：由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1故答案为2n﹣1点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础试题　27．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5=12，a6=2，则a2+a3=　11　考点：等差数列的通项公式。

1021054专题：计算题分析：因为数列an为等差数列且已知第6项的值和a3+a4+a5=12，所以可设首项为a1，公差为d．解答：解：有题意可设首项为a1，公差为d，列式如下：⇒⇒∴a2+a3=2a1+3d=11 故答案为：11点评：此题主要考查了等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式是高考常见类型并且符合平时教学中的重视基础．　28．已知数列中，a1=5，a8=19，an=pn+q（p，q为常数）（n∈N*），则a5=　13　．考点：等差数列的通项公式1021054专题：计算题分析：令n=1，8代入an=pn+q中求出p，q然后再令n=5即可求出a5．解答：解：∵a1=5，a8=19，an=pn+q∴p+q=5，8p+q=19∴p=2，q=3∴an=2n+3∴a5=2×5+3=13故答案为13点评：本题主要考查利用等差数列的通项公式求数列的项．解题的关键是要利用题中的条件求出p，q的值！　。