理论力学课件

12/27/2017,‹#›,,,,理论力学,,,z,——,,配套电子教案,,y,O,,x,周衍柏 编,高等学校试用教材,高等教育出版社,,,预备知识:,普通力学+高等数学,,,理论力学,：,两个深化＋两个面向,,,•,方法上:,,严谨的数学描述,•,理论体系上：经典力学,•,面向学科发展前沿和应用,•,面向实际体系,学习内容：,,第一章：质点力学,（,2,0,学时） 第二章：质点组力学,（,1,0,学时） 第三章：刚体力学,（,2,4,学时） 第四章：非惯性系动力学,（,8,学时） 第五章：分析力学,（,1,2,学时）,学习成绩：,平时成绩,（,2,0,％）＋其中考试成绩（,20,％,）,+,期末,（,60,%,）,期末考试：闭卷 平时作业,:,1.,习题 （周衍柏理论力学）,2. Project,,报告,（,基于阅读多篇文献后的读书报 告，必须附文献）,提交方式：书面 或 电子,（,PDF,,or,,PS,,格式）（,独立完成）,绪 言,,,Nature and nature’s law,la,y,hi,d,i,n,night,:,God said,:,le,t,Newto,n,be!,An,d,al,l,wa,s,ligh,t,！,,自然和自然规律为黑暗 所蒙蔽上帝说，让牛,顿来！一切遂臻光 明！,一、理论力学研究对象,物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。

世界物质可分 为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：,物 质 层 次,线度,重要运动形式,相互作用能量,重要研究科学,宇观,>1,0,8,m,天体运动,<1,0,-1,5,焦耳,宇,宙,学、天体,物理,宏观,10,-,1,—,10,3,m,机械运动,10,-1,4,—,10,-,7,焦,耳,经,典,力学、理,论力学,亚宏观,10,-,6,—,10,-,3,m,热运动,10,-,7,—,10,-5,焦,耳,热,学,、统计物,理,原子,10,-1,0,—,10,-,9,m,电磁运动,10,-,2,—,10,5,焦耳,电,磁,学、原子,物理,核 和 亚 核,10,-1,4,—,10,-,13,m,核运动,10,7,—,1,0,8,焦耳,核,物,理、高能,物理,夸克,<1,0,-1,8,m,基本粒子运动,>1,0,1,1,焦耳,粒,子,物理、色,动物理,理论力学是研究宏观物体低速运动情况机械运动(即一个物体,相对另一个物体发生位移变化)的科学机,械,运,动,指,物,体,的,位,形,随,时,间,变,化,包,括:,平,动、,转动、流动、,变形、静止等根据研究对象性质分：质点力学、刚,体力学、连续介质力学,（流体弹性、塑性）,理论力学主要研究：质点、质点组、刚体。

二、理论力学研究方法,,观察、实验， 总结实验规律，,建立物理模型， 提出合,理假设， 数学演译、逻辑推理 ， 探讨规律， 实验验 证 理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译,更强主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程理论力学分为,矢量力学,（即牛顿力学）和,分析力学,两大部 分矢量力学,是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等力是 分析力学中最关键的量分析力学,以达朗伯原理为基础，从分析质量和质量系能量情 况，由此探讨物体机械运动规律分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等动能和 势能是最关键的量本书中这两部分内容如下：,三、理论力学的内容结构,,矢量力学,质点运动学：第一章,—,质点动力学：第一章,—,质点组动力学：第二章,—,刚体运动学 ：第三章,—,刚体动力学：第三章,—,—,,分析力学,,分析力学的理论基础： 第五章 5.2 分析力学的基本方程 第五章 分析力学的基本定理 第五章 分析力学的基本方法 第五章,—,—,—,史,：,,① 我,国,—,墨翟（前468-382）学派著作《墨经》有重心、力 的 概念,。

力，形之奋,也,”,古希腊,亚里士多德,（前,384,—,322,）,“,力是维持速度的原,因,”,阿基米德杠杆平衡等地恒动而人不知，譬如闭舟而行，不觉舟之远也孙毅）,,Ming dynasty,阿基米德,(公元前287-前212),古希腊伟大的 数学家、力学家后人对阿基米德给以极高 的评价，常把他和I.牛顿、C.F.高斯并列为有 史以来三个贡献最大的数学家他的生平没 有详细记载，但关于他的许多故事却广为流 传据说他确立了力学的杠杆定律之后，曾 发出豪言壮语,：,“,给我一个立足点，我就可 以移动这个地球,！,”,,Zhaozho,u,Bridge,,appl,y,th,e,structur,e,o,f,lo,w,arc,,built in Sui dynasty,,,Earthquake detection instrumen,t,,apply,,the,,theory,,of,,inertia,,force.,Produced by Zhangheng,,In DongHan dynasty.,,Ligneou,s,towe,r,,,,Sha,n,xi,,p,rovince,,built,,in,,1056.,I,t,i,s,th,e,earliest highe,r,towe,r,which,use,,wood,,as,,the,,main,material.,Implie,s,th,e,basic theor,y,o,f,equilibrium an,d,th,e,carrying capacit,y,o,f,materials.,②牛顿力学的建立：在,哥白,尼,(日心说)推翻,了,托勒玫,的地心,说，,和在,第谷布拉赫,积累的天文观察资料基础上,,开普勒,发现了 行星三定律,——,总结万有引力定律，,牛顿,总结了三定律， 1687《自然哲学的数学原理》。

③ 分析力学:（1788）,拉格朗日力学,建立(至此认为力学天衣 无缝),,④ 近代力学：19世纪末20世纪初出现了经典力学无法解释的 矛盾1）高速（与c比）：相对论（,爱因斯坦,）；,2）微观粒子： 量子力学（,薛定格,）；,—,100nm尺度起关键作用原子直径,10,-10,;,人头发10,-,4,；人10,0,,亚里士多,德,(,前,384-,前,322),亚里士多德是世界古代史上最伟大的哲学 家、科学家和教育家他创立了形式逻辑 学，丰富和发展了哲学的各个分支学科， 对科学作出了巨大的贡献亚里土多德出生在马其顿的斯塔吉拉,，,17,岁时，他赴雅典在柏拉图学园就读,达,2,0,年,，直到柏拉图去世后方才离开也许是受 父亲的影响，亚里士多德对生物学和实证 科学饶有兴趣；而在柏拉图的影响下，他 又对哲学推理发生了兴趣《工具论》主要论述了演绎法，为形式逻辑奠定了基础《物理学,》讨论了自然哲学，存在的原理，物质与形式，运动，时间和空间 等方面的问题《论天》一书中开始讨论物质和可毁灭的东西《 气象学》讨论了天和地之间的区域，即行星、彗星和流星的地带《形而上学》、《伦理学》、《政治学》和《分析前篇和后篇》等,,哥白尼 (1473-1543)：伟大的波兰天文学家， 日心说的创立者，近代天文学的奠基人。

1473年2月19日生于波兰维斯瓦河畔的托伦城,10岁丧父，由舅父瓦琴洛德抚养18岁时进 克拉科夫大学，1497～1500年间他在波洛尼亚 大学读书，除教会法规外，还同时研究多种学 科，尤其是数学和天文学1497年3月9日，他 在波洛尼亚作了他遗留下的第一个天文观测记 录：月球遮掩金牛座□（毕宿五）的时刻 1503年，在费拉拉大学获得教会法博士学1506年，哥白尼从意大利回到波兰他把大部分精力都用在天文学的研究上 日心地动说的创立和,《天体运行论》的出版 哥白尼的主要贡献是创立了科学的日心 地动说，写,出,“,自然科学的独立宣,言,”,──《天体运行论》 公,元1616年把《天体运行论》列为禁书然而经过开普勒、伽利略,、牛顿等人的工作，哥白尼的学说不断获得胜利和发展；恒星光 行差、视差的发现，使地球绕太阳转动的学说得到了令人信服的 证明托勒玫（公元90～168）是古希腊著名的天 文学家、地理学家约公元90年诞生于埃 及的亚历山大里亚在公元168年去世，终 年78岁托勒玫于公元127年到151年在亚历山大 里亚进行了长期的、大量的天文观测，,托,勒玫把这些天文观测成果和地心体系 总结成十三卷巨著《大综合论》，后来,阿,拉伯文译本改名为《至大论》。

托勒玫的另一巨著是八卷《地理学指南》，书中最早提出了类似 于现代经、纬度的概念托勒玫对物理学的重要贡献包括在他的《光学》一书中他研究 了光在平面镜上的反射和光从一种介质进入另一种介质的时候发 生折射的现象第,谷,·,布拉赫（Tycho Brahe，1546-1601）,，丹麦天文学家和占星学家生于克努兹 斯图普（今属瑞典）1572年11月11日第谷发现仙后座中的一颗 新星（银河系的一颗超新星），第二年发 表论文《新星》，后来受丹麦国王腓特烈 二世的邀请，在汶岛建造天堡观象台，建 造了许多大型精密的天文仪器，经过20年 的天文观测，第谷发现了许多新的天文现 象，如黄赤交角的变化、月球运行的二均 差，并重新测量了岁差数值（每年51''）第,谷,·,布拉赫曾提出一种介于地心说和日心说之间的宇宙结构 体系：地球静居中心，行星绕太阳运行，而太阳则带领行星绕地 球运转这一体系十七世纪初传入我国后曾一度被接受伽利略,,(1564-1642),伟大的意大利物理学家和天文学家，科学 革命的先驱伽利,略,1564,年,2,月,1,5,日生于比,萨,,,父亲芬琴 齐,奥,·,伽利莱精通音乐理论和声学，著有《 音乐对话》一书,。

1574,年全家迁往佛罗伦 萨为了证实和传,播,N.,哥白尼的日心说，伽利 略献出了毕生精力由此，他晚年受到教 会迫害，并被终身监禁开普勒 (1571-1630)德国近代著名的天文学家、数学家,、物理学家和哲学家开普勒是继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说,、并在天文学方面有突破性成就的人物，被后世的科 学史家称为,“,天上的立法者,”,开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭，开普勒是,一个早产儿，体质很差他在童年时代遭遇了很大的 不幸，四岁时患上了天花和猩红热，虽侥幸死里逃生,，身体却受到了严重的摧残，视力衰弱，一只手半残,但开普勒身上有一种顽强的进取精神，但一直坚持 努力学习，成绩一直名列前茅1587年进入蒂宾根大学第,谷最大的天文学成就就是发现了开普勒第谷在临 终前将自己多年积累的天文观测资,料,全部交给了开普勒，再三叮嘱开普勒要继 续他的工作，并将观察结果出版出,来,开普勒接过了第谷尚未完成的研究工作, 后来，开普勒在伽利略的影响下，通,过,对行星运动进行深入的研究，抛弃了,柏拉图和毕达哥拉斯的学说，逐步走上真理和科学的轨道 1630年11月，因数月未得到薪金，生活难以维持，年迈的开普勒不得不亲,自到雷根斯堡索取。

不幸的是，他刚刚到那里就抱病不起1630年11月15日， 开普勒在一家客栈里悄悄地离开了,世,界他死时，除一些书籍和手稿之外，身 上仅剩下了7分尼（1马克等于100分尼）拉格朗日［Lagrange, Joseph,Louis，1736-1813,］法国数学家1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生 只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉 所开创的变分法， 奠定变分法之理论基础 后入都灵大学 1755年，19岁的他就已当上 都灵皇家炮兵学校的数学教授不久便成为 柏林科学院通讯院院士两年后，他参与创 立都灵科学协会的工作，并于协会出版的科 技会刊上发表大量有关变分法、概率论 、微 分方程、弦振动及最小作用原理等论文《分析力学》［1788］《关于解数值方程》［1767］及《关 于方程的代数解法的研究》［1771]他还写了两部分析巨着《 解析函数论》［1797］及《函数计算讲义》［1801］数学界近百多年来的许多成就都可直接或简接地追溯于拉格朗 日的工作为此他于数学史上被认为是对分析数学的发展产生 全面影响的数学家之一爱因斯坦 (1879-1955),187,9,年,,3,月,14,日生于德国乌耳姆一个经营电器作坊的 小业主家庭。

一年后，随全家迁居慕尼黑在任工程 师的叔父等人的影响,下,,,爱因斯坦较早地受到科学和哲 学的启蒙1894,年,,,他的家迁到意大利米,兰,,,继续在慕尼 黑上中学的爱因斯坦因厌恶德国学校窒息自由思想的 军国主义教育，自动放弃学籍和德国国籍，只身去米,兰,1895,年他转学到瑞士阿劳市的州立中学；,1896,年 进苏黎世联邦工业大学师范系学习物理学，,,190,0,年毕业由于他的落拓不羁的性格和,独,立思考的习惯，为教授们所不满， 大学一毕业就失业，两年后才找到固定职业1901,年取得瑞士国籍190,2,年被 伯尔尼瑞士专利局录用为技术员，,从,事发明专利申请的技术鉴定工作他利用 业余时间开展科学研究，,于,190,5,年在物理学三个不同领域中取得了历史性成就，特别是狭义相对论的建 立和光量子论的提出，推动了物理学理论的革命他经,过,8,年艰苦的探,索,,,于,191,5,年最后建成了广义相对论他他所作,的,光线经过太阳引力场要弯曲的预言,，,于,1919,年由英国天文学家,.,爱丁顿等人的日全食观测结果所证实Erwin Rudolf Josef Alexander,Schrödinger,Born:,,12,,Aug,,1887,,in,,Erdberg,,,Vienna, Austria,Died:,,4 Jan 1961 in Vienna, Austria,Schrödinger graduated from the,Akademische,s,Gymnasiu,m,i,n,190,6,and,,,in,that,,year,,,entered,,the,,University,,of,,Vienna.,On 20 May 1910, Schrödinger was awarded his,,doctorate,In the spring of 1917 Schrödinger was sent back to Vienna and assigned to teach a course in meteorology. He was able to continue research and it was at this time that he published his first results,o,n,,quantum theory,① 准确认真掌握基本概念（理论推导易掩盖物理实质）， 记笔记；,② 作题;,③ 参考书；朱照宣，梁昆淼，胡惠玲，肖士,珣,等理力,④ 用,途,。

四,.,如何学习理论力学,第一章 质点力学,第一章,§1.,1,运动的描述,一、参考系与坐标系,1. 参照系：,为研究物体的运动需要选定某物作为参考标准,（参照物），在其上作不共面的三条直线为一框 架与参照物固连，这框架可代表参考物,—,—,称参考系（立场）注： ① 参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到无 穷远，可见参照系可理解为参照物固连的整个空间；,② 观察者是站在参照系的观察点上；,③ 不特别说明都以地球为参照系2．坐标系：,参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系， 便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方,法）,质点力学,(1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽 略，物体作平动）,(2) 位置描述：,① 质点相对某参照系的位置，可由位矢,r,确定;,② 坐标描述：,y,,,,,,,x,z,P,O,r,r,,,x,i,,,y,j,,,,z,k,r r,r,直角坐标系:,极坐标: 柱坐标: 球坐标:,自然坐标：如铁,路3．质点及位置的描述,二、运动学方程及轨道,1. 运动方程:,当质点运动时,r,=,r,(,t,),,称为质点的运动的方程，,它是时间,t,的单值连续函数。

极坐标(平面运动),⎧,r,,,,r,(,t,),⎩,,,,,,,(,t,),2. 轨道：,质点运动过程中空间描述出的连续曲线, 运动学 方程中消去,t,得轨道方程直线运动、线运动),⎨,⎪,⎨,,y,,,,y,(,t,),⎩,z,,,,z,(,t,),⎪,坐标表示：直角坐标,,⎧,x,,,,x,(,t,),y,,,,,,,x,z,A,O,,,Δ,r,,B,r,(,t,),r,(,t,+,Δ,t,),三、位移、速度、加速度,1. 位移 ：,质点,由,A,经,Δt,,到,B,则,称质点在时间,Δt,,内的位移,注意: 位移是矢量；,位移与路径不同,,,t,,,,0,,时,,r,r,,(,t,,,,,t,,),,,,r,r,,(,t,,),,,,,,r,r,,,,,AB,,,,r,,,,,ds,,a,r,,,,lim,,,,v,,,,d,,v,,,,v,r,&,,,,&,r,r,&,,,t,,dt,,,t,,,,0,r r,,,,,,,,,方3. 加速度：,,,,,r,&,,t,,dt,|,,,r,r,,|,d,r,r,v,,,,lim,,t,,,,0,r,r,dt,v,r,,,,lim,,,r,,,,lim,,,s,,,,ds,,t,,,0,,,t,,t,,t,,,0,r,2. 速 度：,大小:,方向：沿该曲线的切线指向运动的一,§1.,2,速度、加速度分量表示式,一、直角坐标,系：,r,,,x,i,,,,y,j,,,,z,k,r r,r,1. 速度:,,,,v,,x,,i,,,,v,,y,,,j,,,,,v,,z,,k,,,x,&,,i,,,,y,&,,j,,,,,z,&,k,v,r,,,,d,,r,,,,dx,,i,,,,dy,,j,,,,,dz,,k,dt dt,dt dt,r,r r,r,r r,r,r r,r,v,y,,,,y,&,,,x,&,,,v,z,,,,z,&,,,分量式:,v,x,,,,x,&,,2,,,,y,&,,2,,,,z,&,2,v,,,|,,v,r,,|,,大小:,方向余弦:,,,,v,co,s,,,,,,v,z,co,s,,,,,v,x,,,,,,cos,,,,,,v,y,,,,,v v,2.,加速,度,:,j,,,,k,,,,&,x,&,i,,,,&,y,&,j,,,,&,z,&,k,dt,,r,,dt,,dt,,dt,dv,dv,a,,,,i,,,dv,r,dv,z,y,x,r,r r,,r,,r,,r,,,r,,,,a,x,i,,,,a,y,,,j,,,,a,z,k,r,⎪,⎧,a,x,⎨,a,y,⎩,a,z,⎪,,,&,x,&,,,&,y,&,,,&,z,&,,,,&,x,&,2,,,,,&,y,&,2,,,,,&,z,&,2,a,,,|,,a,r,,|,,例题1.,求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度和加速度,,,x,O,r,,,,A,,,M,(,x,,,y,),a,b,,y B,c,,θ,,,,,,1,b,,2,a,,2,x,,2,y,,2,,消去参数θ得轨道方程:,x,&,,,,b,,cos,,,,,&,y,&,,,,,,,a,sin,,,,,&,速度分量:,,,,(,a,,,,b,),,si,n,,,&,,,,,c,y,&,B,y,B,,,,,(,a,,,,b,),,co,s,,x,&,B,x,B,,,,,0,,,,,0,,解:,1)选择参照系,坐标系,2)写出M点的坐标,x,,,,,b,sin,,,y,,,a,,cos,,,(,a,,,,b,),,sin,,,,,&,,,c,,ac,,sin,,,,,,,ac,,y,&,,,,,,,,,(,a,,,,b,),,si,n,,,(,a,,,,b,),,bc,,co,s,,,,,,bc,,x,&,,,,,,cot,,g,,,,,(,a,,,,b,),,si,n,,,(,a,,,,b,),,,,,,,a,2,,,,,b,2,,,cot,,g,,2,,v,,,x,&,,2,,,,,y,&,,2,,,,,c,,a,,,,b,M,,,,,,⎪,&,x,&,,,,,⎨,⎪,⎩,&,y,&,,,,0,⎧,(,a,,,,b,),2,,,,(,a,,,,b,),,si,n,,(,a,,,,b,),cs,c,2,,,,&,,,,,(,a,,,,b,),sin,,2,,,1,cs,c,2,,,b,c,2,c,bc,bc,,,,,,x,3,(,a,,,b,),2,4 2,&,x,&,2,,,,y,&,2,,,,,b,,c,,,1,a,,,a,r,,,M,小结:1) 参照系，坐标系（立场和方 法）,2）已知,r,=,r,(,t,),,,求,v,,,,a,3) 已知,a,,,v,,,,求运动,r=r,(,t,),,,,,,,二、平面极标 系：,当质点作平面运动时，可用直角坐,标系，但有时选平面极坐标方便。

如：行星的运动i,为径向单位矢, 沿径向;,j,i,P,极,径,r,θ,O,极轴,j,,横向单位矢,垂直于径向并指向θ增加的方向.,质点运动方程:,r,r,,,,r,i,v,,,,,,d,,,,(,r,i,,),,,,r,&,i,,,,r,i,&,dt,r r r,r,速度:,r,d,,i,,,,,,d,,j,,dt,dt,r,1.先求:,,,,,,,,,,,,,,Δ,j,j,’,i,’,P,r,x,j,Δ,i,i,,Δθ,Q,|,,,i,,|,,|,,i,,',,i,,|,,&,,1,,,,,r,,,,,,0,|,,d,i,,|,,,d,,d,i,,,i,方向沿,j,,,,d,i,,,,d,,j,r,,,,j,,,,,&,j,dt dt,d,i d,,,r,r,r,,,d,,j,,,,,,,,i,dt,2. 速度分量式:,&,r,r,同理可得:,,j,v,,,,r,i,,,,r,i,,,,r,i,,,,r,,j,,,,v,,i,,,,v,r,,r r r r r r,&,& &,&,r,,,r,&,: 速度径向分量，称为径向速度，是矢径量值 变 化产生的。

,,r,,&,:速度横向分量，称为横向速度，是矢径方向变化产生 的v,r,v,,,,,,,,,,,(,,r,,,,),,2,r,,2,,,,v,,2,,,v,,2,大小:,|,,v,,|,,,&,r,r,3. 加速度分量式:,,,,,,,(,,&,r,&,,,,r,,,,,a,,r,,,i,,,a,,,,j,j,,,r,,,&,,,2,,r,&,,,,),j,),,i,,(,,r,,,2,,i,r,,,&,&,2,,r,&,,,&,j,&,r,&,i,,,r,,,&,&,j,,,r,,,&,&,j,,,r,&,,i,&,,,,r,&,,,&,j,,&,r,&,i,v,r,&,&,r,r,&,a,r,r,r,r,&,&,&,r,&,r,r,r,r,r,r,r,r,,,2,,r r,,,a,,r,,i,,,,a,,,,j,a,r,,,,(,,&,r,&,,,,r,,,&,,2,,,),,i,,,,(,,r,,,&,,,,2,,r,&,,&,,),,j,a,,,&,r,&,,,,r,,&,2,r,：加速度径向分量，称为径向加速度。

是径 向速度量值变化产生的,r,,&,2,,是横向速度方 向变化产生的a,,,,,,r,,&,,,,2,r,&,,&,：加速度横向分量，称为横向加速度,r,,&,,,,r,&,,&,是横向速度量值变化产生的,，,r,&,,&,是径向速度方 向变化产生的4. 推广到主坐标:,R,,,,r,,,,,z,k,,,,,r,i,,,,,z,k,v,,,,R,&,,,,r,&,i,,,r,,&,j,,,,z,&,k,r,r,r,r,r,r,r r,r,&,,,),,j,,,,&,z,&,k,,,r,,,),i,,,,(,,r,,,,,2,,r,a,,,,(,,r,r,&,&,&,r,&,&,r,2,y,,,,,,x,z,P,O,r,,,R,,θ,例2.,已知一质点的运动方程为:,a,r,求,,v,r,,,,,,,bt,r,,,,e,ct,解:,v,,,r,,,,,rb,v,,,r,&,,,,ce,,ct,,,,cr,r,,&,v,,,,c,r,i,,,,r,b,j,r,r,a,,,&,r,&,,,,r,,&,2,,,,,c,2,e,ct,,,,,r,b,2,,,,,(,c,2,,,,,b,2,,),r,r,a,,,,,r,,&,,,,2,r,&,,&,,,,2,bcr,a,r,,,,(,c,,2,,,,b,,2,,),r,i,,,2,bc,,j,,,y,,,,,x,O,,,,,三、自然坐标 系：,1. 自然坐标:,当质点沿曲线运动时，在曲线上选一 点O为起点，规定一正向为弧坐标的正 向（如弧长增加的方向），则质点的 位置由运动方程,s,=,s,(,t,) 描述。

τ,P,-,0,α,n,规定,：,τ,为切向单位矢，沿轨道切线并指,向,s,向增加的方,n,为法向单位矢，沿轨道上该点法线指向 s 的凹侧τ,, n,,)构成平面自然坐标系,r,,,,co,s,,i,,,,si,n,,j,2.,n,r,,,,co,s,(,,,,,,,),i,,,,si,n,(,,,,,,,),,j,,,,,sin,,,i,,,,co,s,,j,2 2,,n,,,(,,sin,,,i,,,,co,s,,j,,),,&,,,,,&,n,,,,d,,,dt,dt,d,,r,r r,3. 速度,,v,r,,,,,d,r,,,,,ds,,,r,,,,s,&,,r,r,dt dt,dt,v,,,,ds,表示速度在切线的投,影，,ds,,,,0,,表示沿弧坐标正向,,,ds,,,,0,,,表示沿弧坐标反向,,dt,dt,4. 加 速度,,a,r,,,,d,,v,,,,&,s,&,,r,,,,s,&,,r,&,,,,&,s,&,,r,,,,v,,,n,r,dt,r,,描述速度大小随时间的变化率,2,,dt,v,,2,dv,a,,,&,s,&,,,,,a,,n,,,描述速度方向随时间的变化率,,a,n,,,,v,,dt d,,,,,,L,a,,,,,,,v,dt ds,,dt ds,,ds,,,ds,dv,,dv,,ds,,dv,,,,,,,(,1,,,,,y,,,,,),y,,,,,,2 3 2,5.,密切面:,曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做该 点的密切面.,d,τ,在密切面内,，,n,,与,,d,τ,同向,，,故,,n,,在密切面内, 所以,a,在密切面内,，,,n,,为主法线方向单位,矢,,,定,义,:,,b,=,τ,×,,n,,垂直于密切面, 称为副发线方向单位矢,(,τ,,,n,,,,,b,),构成空间正交自然坐标系。

a,,,dv,,,,,,v,n,,,,o,b,dt,r,2,r,r,,r,,其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关, 称 为,内禀方程例3.,已知质点沿螺旋线运动,,z,,,,4,t,.,,求,,:,,v,,,,a,,,,,,,,,,,,,,,,y,,,,2,,cos,,4,t,4,,t,,,,,y,&,,,,,,8,,sin,x,,,,2,,sin,,4,t,,,5,a,,n,,,2,a,,n,,,,a,,,,32,dv,,,,,0,,,&,z,&,,2,,,,32,4,,t,,,,,&,z,&,,,,0,4,,t,,,,,&,y,&,,,,,,32,,cos,&,x,&,,,,,,32,,sin,,,z,&,,2,,,,4,,5,4,,t,,z,&,,,,4,x,&,,,,8,,cos,v,,2,&,x,&,,2,,,,&,y,&,,2,x,&,,2,,y,&,,2,,,,,,a,,a,,,v,,dt,,解:,,,,,(,,x,&,,2,,,,,y,&,,2,,,,,z,&,,2,,),3,(,,x,&,,2,,,,,y,&,,2,,,,,z,&,,2,,),(,&,x,&,2,,,,,&,y,&,2,,,,,&,z,&,2,,),,,,(,,x,&,&,x,&,,,,y,&,&,y,&,,,,z,&,&,z,&,),2,,1,,亦可,,:,,例4.,质点由,y,2,=,2,px,的正焦,弦,(p/2,p,),以v出发,,求到达正焦弦的另一端时的速率. 已知,,a,τ,=-2,ka,n,,,,,,,,,τ,n,,α,(,p,/,2,,p,),(,p,/,2,,,-,p,),,,,,,1,,,,,5,,,/,,4,,,v,,,,u,e,,k,,,),,2,,,,7,,,/,,4,tan,,g,,2,,,,,,1,,,,,tan,,g,,1,,,,,1,,,dx p,v,,,,ue,,2,k,,(,,2,,,,1,,),ln,,v,,,,l,n,u,,,,,2,k,(,,2,,,,,1,,),2,tan,,g,,,,,,,,,2,k,d,,dv,,,,,2,k,d,,,ds,,,,,,2,kv,,d,,即,dv,,,,,2,k,,v,,,,,,2,k,,v,,ds,由,a,,,,,,,2,k,a,n,,2,,1,dt,d,,,v,v,,dv,u,dy y,v,dt,dt,,,解:,建立弧坐标, 自然坐标系,§1,.,平动参照系,一、绝对速度、相对速度、牵连速度,1. 如行驶的船中有小车运货,,参照系,S,’,相对,S,作平动（,i,/,/,i,’,,,j,/,/,j,’,）, S,’,称为对S的平动参照系，S一般称为静系，,S,’,为动系。

2. 不同参照系下研究p点的运动的关系:,j,,,i,A,r,o,r,j,’,,,i,',O,r,’,,,,r,r,,',r,r,&,r,v,&,r,r,&,r,v,r,r,Q,,,,0,0,其 中：,v,为P对静系S的速度，,dt,r,r,&,,,,,d,r,,,,r,r,称为p点的绝对速度r,r,&,',,,,dr,,',,,,v,r,',,为P对动系,S,’,的速度，称为P点的相对速度;,dt,r,r,0,,,,,v,0,r,&,,r,为动系对S的速度, 称为牵连速度;,,v,r,,,,v,r,,,,v,,',0,r,说明:,P点同时参与两个运动;,P点对,S,’,的运动,,P点被S,’,带动着一起以,v,0,,的运动,例5:,某人,以,4km/,h,向东前进, 感觉风从正北吹来,,以,8km/,h,向东 前进, 感觉风从东北吹来, 求风速和风向.,解:,1) 先确定是相对运动问题, 一个被考察的质点和两个坐相 对运 动的参考系,2) 确定动系和静系,绝对速,度,v,r,人,v,r,,相对速,度,v,r,,,,质,点,P,,:,,风,,,静,系,:,地,,,动,系,:,0,,,,,,,v,,,i,v,,,,,,,v,,j,v,0,,,,,4,i,r,r,r,2,,,,,,,r,r,v,,,,i,v,,,,j,,,v,,,8,,i,,v,,,,4,,i,,,v,,,j,由,,:,v,,,,v,,0,,,,,v,,,r,r,r,r,r r,r,2,,,2,2,,,2,北,,,东,4,i,v’’,,,,,,,,8,i,,v’,,,v,v,r,,,8,r,v,r,,,,0,i,,,2,,v,,r,,j,,,,r r r,2,2,,,,,,,,,v,,,,4,i,,,,4,,j,v,,v,y,,,,,,v,,,,v,,v,x,,,,,4,,,,8,,,r r,r,2,2,2,2,解得,,,,,,,,,,,θ,,A,c,2,c,1,例6:,解:,由,,:,v,r,,,,,v,r,,,,v,r,,,0,选取极坐标, 得,⎩,v,,,,,v,o,,⎨,⎧,v,,,,v,,,v,r,,,,,,,c,2,,,v,,,,,,,,c,1,,,sin,,,r,or,v,r,,,,,,c,2,v,0,v,r,,(,未,知,),人拉绳的径向绝对速度,,:,牵连速度,,:,相对速度,,:,r,,,,tan,g,,k,,r,,,,r,,tan,,g,,k,,tan,g,,k,,tan,g,,k,,ln,,r,,,,,ln,,tan,,g,,k,,,,,ln,,r,,,,ln,,tan,,g,,k,,ln,,tan,,g,,k,,,,ln,,r,,,,ln,,tan,,g,,k,,0 0,t,,,,0,时,,r,,,,,r,0,,,,,,,,,,0,2,,sin,,,,,/,,2,,cos,,,,,/,,2,,tan,,g,,(,,,,,,,,/,,2,),sin,,,,,k,,ln,,tan,,g,,,,,C,,,d,,,,,,,,d,,,,,,d,,tan,,g,,,ln,,r,,,,,k,,,,,,k,,,,,,k,,,dr,,,,k,,,,1,,d,,sin,,,c,1,,,sin,,,,,,,dr,,,,,c,2,rd,,,,,,,c,,sin,,,⎪,r,,d,,,r,r,C,,,,,,C,,,,ln,,r,r,dt,⎧,,dr,,,,,,c,⎪,,dt,,,ln,,,ln,,,,,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,⎪,⎩,⎨,二、绝对加速度、相对加速度、牵连加速度,,S,’,对S作匀加速直线运动,a,为P对静系S的加速度，称为P点的绝对加速度。

a,’,为P对动系,S,’,的加速度，称为P点的相对加速度;,a,0,,为动系对S的加速度,,称为牵连加速度;,,由,,v,,,v,,0,,,,v,,',,a,,,a,,0,,,,a,,',r,r r,r,r r,得:,中的加速度,为,a,, 则:,,§1.,4,质点运动定律,明确:,1.,第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个 力学体系选定了一类特殊的参考系-----,惯性参考系,2.,第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年 来的实验结果已经证实相差不到10,-12,.,爱因斯坦把引力质量等于,惯性质量作为广义相对论的基本公设.,3.,一般工程问题地球可以看作惯性参考系;如果物体运动的尺度 很大问题的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心 为惯性参考系; 在分析行星的运动时,地心本身作公转,必须取日 心参考系. 太阳本身在银河系的加速度大约是3×10,-8,厘米/,秒,2,,一 般来说可以不用考虑了,可以认为足够精确的了.,基本定律:,质量为,m,的质点受,力,F,i,(,i,=1,2,,…,.,n,)的作用,在关星系,,,ma,,,F,i,i,,1,n,r,r,§1.,5,质点运动微分方程,一、微分方程建立,1. 自由质点的运动,限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为,自由质点。

F,为合力,,,,,且,,为已知,,),m,r,,,F,,(,r,,;,,r,,,,,t,,),r,r,r,v,&,&,r,&,1) 直角坐标系:,,⎧,m,&,x,&,,,,F,,,,x,,,,y,,,,z,,,,x,&,,,y,&,,,,,z,&,,,,t,,,⎪,m,&,y,&,,,,F,,,x,,,,y,,,,z,,,,x,&,,,y,&,,,,,z,&,,,,t,,,⎪,m,&,z,&,,,,F,,,,x,,,y,,,,z,,,,x,&,,,,y,&,,,,,z,&,,,,t,,,⎩,⎨,z,y,x,,三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：,r r r r,t,,,,0,时,,,,r,,,,r,,,,,r,&,,,,r,&,o,可解得质点的运动规律2)平面极坐标: 若质点,在,xO,y,平面上运动:,,⎧,m,&,x,&,,,,F,x,⎩,m,&,y,&,,,,F,y,⎨,,⎪,⎧,m,,,&,r,&,,,,r,,&,,,,,F,r,,(,r,,,,,,,,,r,&,,,,&,,,,t,,),m,,,r,,,,,,2,,r,,,,,,,F,⎪,⎩,⎨,(,r,,,,,,,,,r,,,,,,,,,t,,),,&,&,&,&,&,或,,2. 非自由质点的约束运动,若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称,为约束,,,其,方程为约束方程,,,,约束对质点的作用力为约,束,力,(约,束,反力,),,约束力是待定的,取决于约束本身的性质,质点的,运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不,能,引,起,质 点的运动,故称约束力为被动力.,,质点运动的约束微分方程：,m,r,,,,F,主,,,,R,一般采用自然坐标,系,.,r r,&,r,&,1) 光滑约束，约束力在轨道的法平面内,,,,⎪,⎪,0,,,,,F,b,,,,,R,b,⎪,⎩,(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于 运动规律和约束力可分开求解.,2) 非光滑约束,⎪,⎪,⎪,m,,,dt,⎨,m,⎧,,,,F,,,,,F,n,,,,,R,n,(,3,),(,2,),(,1,),v,,2,dv,,,,,,,,,,,,b,R,F,τ,n,,,⎨,,m,⎪,⎪,⎪,⎩,⎪,⎪,⎪,,m,,,dt,⎧,,0,,,,,F,b,,,,,R,b,(,3,),v,,2,dv,,,,,,,,,,R,,2,,,,,,R,,2,n b,R,,2,R,,2,R,,2,b,n,N,R,,,R,,,,,,R,,,,,,,,4个方程4个未知数,可解,,,,F,,R,,(,1,),,,,F,n,R,n,(,2,),一、与动微分方程求解,两类基本问题：,1)已知运动求力,2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。

解体步骤：1）作图，受力分析;,2）写出方程，选坐标系投影;,3）积分求解，分析解的物理意义.,1. 力仅是时间的函数,,,F,=,F,(,t,),例:研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动,解:,m,r,,,,,e,E,0,,cos,(,,t,,,,0,,),i,F,,,,,e,E,0,,cos,(,,t,,,,0,,),i,v,&,v,&,v,r,,,,,,,,,,,,co,s,,,),2,0,),t,,,,(,x,,,cos,(,,t,,,,,),,,,(,v,,,si,n,,,,2,,0,,0,由,t,,,,0,,,,x,,,,x,0,,,,,C,2,,,,,x,0,,,,,co,s,,0,m,,,2,x,,,,e,E,0,,cos,(,,t,,,,,),,,,(,v,,,,e,E,0,,,si,n,,,),t,,,,C,,m,,,2,,0,,0,,m,,,0,,2,,v,,,,,,,sin,(,,t,,,,,),,,[,v,,,si,n,,,],dt,m,,,0,,0,,m,,,0,由,t,,,,0,,,,v,,,,v,0,,,,,C,1,,,,v,0,,,,si,n,,0,m,,,,,,cos,(,,t,,,,0,,),,,,v,,,,,sin,(,,t,,,,0,,),,,,C,1,dt,m,,m,,m,&,x,&,,,,,e,E,0,,,cos,(,,t,,,,0,,),e,E,0,0,0,e,E,0,,e,E,0,e,E,0,dx,e,E,0,,e,E,0,e,E,0,dv,e,E,0,,e,E,0,m,,m,,m,x,,,讨论:,该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似,1),为振荡项,电子在电场的作用下的受迫振动, 产生 电磁波,对电磁波的传播有贡献;,2) 其余部分描述电子的匀速直线运动, 对电磁波的传播没有贡 献,仅给出电子的细致运动;,3) 可以证明(在高频下)电离层中:,,cos,(,,t,,,,,),m,,,2,,,0,eE,0,,,,相速,,v,,,,,,c,,,1,,r,,r,因此,任何,入,射,到,电,离,层,的,电,磁,波,都,可,以,折,回,到,地面,,,当 ω>>1时,χ,e,~0, 即,微波可以通过电离层.,(,n,为电子密,度,,,,,,为电极化,率,),,r,,,,1,,,,e,,,,1,m,,2,,,,,,,ne,,e,e,,2. 力仅是速度的函数,,F,=,F,(,v,),1) 研究质点重力场中考虑阻力的运动 概述：普物中忽略阻力(零级近似):,,y,,,,h,,,,gt,,2,,/,,2,2,v,,cos,,,,0,y,,,,tan,,g,,,,⎩,,y,,,,v,0,,sin,,,,0,t,,,,gt,,/,,2,⎧,,x,,,,v,,cos,,,,,t,抛体,,:,x,,2,2 2,0,0,2,0 0,g,⎨,自由落体,,,x,P,O,mg,R,,,v,,,但速度较大时，阻力不能忽略。

空气阻力比较复杂,,,阻力的,大小与物体的大小有关详细研究是腔外弹道学.,一级近似, 抛体视为质点, 阻力,R,=-b,v,y,,,,,R,,,,m,g,,,,,,b,v,,,,m,g,d,v,v,m,dt,r r r,v,运动方程:,,,,,,,,bv,y,,,,,mg,dt,dt dv,y,m,,,,,,bv,m,,dv,,x,x,投影方程:,(1),(2),,,,,(,,3,,),),(,1,,,,,e,,,,0,,,,,C,,,,,v,t,,,,0,,时,,,,,,x,再积分,:,t,,,,0,,时,,,,,,v,,x,t,,,,,ln,,,C,,1,dt,,,ln,v,,x,,,,x,,,,,v,,x,,0,x,,0,2,0,2,x,,0,x,,0,,,,v,,x,,0,,,C,,1,,,,v,,x,,0,v,,x,,,,C,,1,,e,,b,,t,m,,b,,t,m,,b,,t,m,x,,b,,t,m,v,,x,x,b,m,m,,,b,C,e,b,m,x,,,,,,v,,,,v,,e,dt,dx,v,,,b,,,,m,,b,,,,m,dv,,,,,,(,4,),),(,1,,,,e,),,,(,v,,y,,0,,,,),e,(,v,,y,,0,类似地,,:,t,mg,,,b,mg,,,b,m,b,x,,,b b,,,,dy,,,,,,mg,,,,m,,t,,,,mg,,,dt,v,t,m,b,b,y,,,,m,g,,,ln(,,,1,,,,,,,bx,,),),,x,,,(,,,mg,,,),m,g,,,ln(,,mv,),,x,,,(,,,mg,,x,,0,2,2,v,,0,v,,y,,0,x,,0,x,,0,x,,0,2,2,v,,0,v,,y,,0,x,,0,b mv,v,bv,由,ln,(,1,,,,x,),,,,x,,,b mv,,,bx,v,bv,y,,,,(3)合(4)消去t得 轨道方程:,,,,,x,,,L,x,,,L,),,,L,],,,L,L,x,,,,,,tan,,g,,,x,,,x,,x,,,v,,,y,,0,),,,(,,,(,[,,,,),,x,,,m,v,x,,0,,y,,,,(,,,1,,,3,3,mv,,,3,,,cos,,3,,,0 0,2,2,v,,,2,,,cos,,2,,,0 0,0,3,3,3,m,v,x,,0,2,2,2,v,x,,0,v,v,,0,3,x,,0,2,x,,0,x,,0,m,,g,,b,,2,2,v,,0,y,,0,x,,0,x,,2,,x,,3,3,mv,1,,,,bx,,,2,mv,1,,,,bx,,,2 3,b,g,b,g,mv,,,bx,,v,v,bv,,mg,,bx,若阻力较小(b,,很小)或x很小:,可见:(1) 若阻力较小,(,b,很小),或,x,很小, 可以忽,略,x,3,以上的项, 与真空中弹道一致,(2)当,mv,x,0,-,bx,→,0,,,,y,,→无穷, 说明轨道,在,x=m,v,x,0,/,b,处 变成竖直直线.,质点在有阻力的空气中竖直下落,m,&,x,&,,,,mk,,2,,x,&,2,,,,,mg,,,m,k,x,&,2,i,R,,,,mk,,v,2 2,r,r,r,若,,,,,,,若,,,R,,,,,m,k,v,r,,,,,m,k,x,&,i,m,x,&,&,,,,,m,k,x,&,,,,mg,积分后容易求得其,解,:,r,r,R,mg,t,g,k,(,1,,,e,,),,,k,,2,k,,2,,g,,x,,,,h,,,,g,,,kt,x,&,,,,,,(,1,,,e,,),,kt,x,,,,h,,,,,,1,,,ln,,cosh,(,kg,t,),k,,2,,g,x,&,,,,,,1,,tanh,(,kg,t,),k,,例 质,量,为,m,,的小球以初,速,v,0,竖直上抛，空气的阻,力,求：,（,1,）上升,的,,最,大高,度,,H,；,（,2,）返回到地面时小球的速,度,,v,m,。

解：取地面为原点，坐标,轴,o,y,竖直向上1,）上升时：,运动微分方程,利用,,d,,,y,,,,dv,,,,dv,,dy,,,,v,,dv,R,,,,kmv,,2,2,dt,,2,2,mg,,,kmv,m,,d,,y,,,,,dt dy,,dt,,dy,dt,,2,2,得：,积分：,得：,,H,,,,,,,1,,ln,,,,g,,(1),2,k,（,2,）下降时： 运动微分方,程,,：,将,代,入,dy,g,,,,kv,,2,vdv,,vdv,,,,,,,,,0,,dy,,v,g,,,,kv,,2,H,0,0,2,0,g,,,,kv,2,d,y,dt,,2,2,,,,mg,,,,kmv,m,dy,d,,y,,,,v,,dv,dt,,2,2,dy,g,,,,kv,,vdv,,,,2,,,得：,,,将,,1,),,的,H,代入得,,,,积分,：,,,0,,,,,H,,dy,g,,,,kv,,2,,v,m,0,vd。