直接证明与间接证明

直接证明与间接证明复习总体设想红安县第一中学　涂建兵1 考试说明对该专题的要求(1)了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点2)了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程和特点本节学习的证明的基本方法是渗透到数学的各个章节中的，孤立的谈方法，不联系相关的知识点是没有意义的在学习中，要变隐性为显性，变分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确化等方式，同时通过进一步的复习，感受和体验如何学会数学思考方式，体会逻辑证明在数学学习和日常生活中的定义和作用，认识、掌握各种证明方法的特点，养成言之有理、论证有据的习惯，对证明的技巧性不宜作过高的要求2专题知识体系构建的方法1 直接证明的常用方法(1)综合法：“由因导果”的证明方法模型：已知条件→已知定义 , 已知公理 , 已知定理… →结论 框图表示：即―→―→―→…―→(其中P表示已知条件，Q表示结论)．（2）分析法：寻找“充分条件”，“因果执因”的方法模型：结论←定义，公理 ，定理…← 已知条件 框图表示―→―→―→…―→.（3）分析综合法：分析探路，综合表述，在直接证明中常分析综合交错使用2 间接证明与反证法 间接证明——相对直接证明而言 （1）反证法①方法实质：原命题等价于逆否命题是“否定——推理——否定“的证明方法（2）反证法步骤： ①反设：（结论的反面为真） ②归谬：（据反设进行推理，推出矛盾）③存真: （反为假，结论为真）（3）反证法应用背景①直接证明困难，反面证明容易 ②已知条件少，不易直接证明③结论与结论的反面比较，结论的反面简单，容易入手。

④题目中含有“至少”“至多”“存在”“唯一”等字眼 3 重点知识强化策略包括常见题型和解题方法重点知识强化策略（1） 常见题型题型① 差值比较型题型② 比商型题型③ 在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等 能力探究题型 题型① 综合法证明不等式 题型② 分析法证明不等式 题型③ 综合应用（2） 解题方法形式方法 ① 差值比较法 ② 商值比较法 ③ 综合法与分析法，反证法思想方法 ① 数形结合思想 ② 分类讨论思想 ③ 化归与转化思想④ 函数与方程思想4 难点突破策略（难教和难学点）重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力 难教点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题突破策略;从命题的特点、形式去选择证明方法 ①一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法。

5 训练试题的选择意图1）主要以考查证明中的综合法为主2）反证法仅作为客观题的判断方法3) 用综合法、反证法证明问题是高考的热点，且常与数列、立体几何、解析几何、不等式等问题综合考查，题型多为解答题，难度适中，其中综合法的应用是高考的一种重要考向．综合法复习的说课教案红安县第一中学　　涂建兵一，考纲分析本节复习人教A版2.2.1综合法，本节贯穿于直接证明与间接证明的整个教学过程综合证明的基本方法是渗透到数学的各个章节中的，孤立的谈方法，不联系相关的知识点是没有意义的在学习中，要变隐性为显性，变分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确化等方式，同时通过复习，感受和体验如何学会数学思考方式，体会逻辑证明在数学学习和日常生活中的定义和作用，认识、掌握各种证明方法的特点，养成言之有理、论证有据的习惯二，教学目标知识目标；1结合已经学过的数学实例，了解直接证明的第一种基本方法综合法；了解综合法的思考过程、特点让学生研究例题，多做习题，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 2根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.能力目标；1 通过讲练结合，培养学生处理问题，解决问题的能力。

2 通过讨论学习，培养学生与他人沟通交流，分工合作的能力 3通过设置问题情境，提高学生分析和解决问题的能力 情感目标1 通过这些基本证明方法的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯.2 培养学生观察、分析、归纳、总结的能力.三 教学重难点 重点: 了解综合法的思考过程、特点 难点： 根据问题的特点，结合综合法、分析法的 思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.四 教法：1 范例，结合探讨的方法，激发学生的学习兴趣2 教师选讲，学生练习，竞争引进课堂体现学生为主体，教师主导的作用3 采用类比法，探讨法，引导学生发现问题，解决问题，从而体验获得知识的喜悦4 通过教，学，放，收，突破重难点五 学法:1 主动学习法，举出例子，提出问题，让学生获得感性认识时的同时，教师层层深入，启发学生积极思维，主动探讨知识的习惯培养学生思维想象的综合能力2 反馈补救法，在练习中注意观察学生对学习的反馈情况，实现培优补差的目的3 引进竞争机制，激发学生学习潜力六、教学过程 1 教具——教师机—学生机，投影仪，黑板等。

2 时间分配——2分钟复习导入20分钟讲解例题15分钟练习3分钟小结3 设计 ①复习不等式的性质(口述)（说明复习两个不等式是为了例1的解决） 例1： 设a、b、c＞0，证明＋＋≥a＋b＋c.②（提出问题让学生感知进行证明时目的是：回归教材，夯实基础 出示本节课课题“不等式的证明——综合法” ③引导学生观察所要证明的不等式的结构，思维来自观察，培养学生的观察能力，而这正是综合法的要点，由结构大胆猜测 引导学生：从所要证的不等式的左边看，有三个单元结构，发现都有平方不等式的左边一样的结构，但右边系数是1，且为三个字母之和，又如何变出来？能否试试给出证明？ 让学生通过自己运用所学知识，尝试，在尝试中学会知识，实践出真知 ④引导学生通过证明，总结这种方法与差比法证明不等式的区别在哪从已知（已经成立）的不等式或定理出发，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立用综合法证明不等式的逻辑关系是：(已知)——(逐步推演不等式成立的必要条件)(——结论) 即 由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立[解答]：∵a、b、c＞0，根据基本不等式，有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.课堂练习1：证明不等式x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz. 课堂练习 “学而时习之，不亦乐乎”，通过再一次实践，完成练习，在证明时，提醒学生首先要观察不等式的结构，选择出发点，一步一步向目标靠近。

抽学生到黑板上板演，通过学生的解答发现问题，总结经验证明：∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，x2＋z2≥2xz，∴2x2＋2y2＋2z2≥2xy＋2yz＋2xz，∴x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋xz⑤补充例题由于例题1以及练习1都比较单一，用简单的综合法即可得到，但在不等式的证明中，有时要综合运用几种方法才可证明，而不是只用单一的方法因此补充是必要的 例题2设a,b,c三数成等比数列，而x,y分别为a，b和b，c的等差中项，求证：分析：运用综合法进行证明有关问题时，常常先把已知条件翻译成一些字母或数字关系式，再找它们与所要求证命题之间的关系，经过一系列的中间推理，最后导出所要证明的结论本例巧妙利用比例的性质是解决本例的关键证明;依题意a,b,c三数成等比数列即，由比例性质有：，又由题设:x=,y=,所以原命题得证例3(高考题)(14分)已知函数f(x)＝－x(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．证明当x>1时，f(x)>g(x)；(3)如果≠，且f()＝f()，证明＋>2.本例的目的;展示命题方向，规范答题步骤。

用综合法、分析法证明问题是高考的热点，且常与数列、立体几何、解析几何、不等式等问题综合考查，题型多为解答题，难度适中，其中综合法的应用是高考的一种重要考向．[规范解答]　(1)f′(x)＝(1－x)令f′(x)＝0，解得x＝1.…………………………………(1分)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘所以f(x)在(－∞，1)内是增函数，在(1，＋∞)内是减函数．…(3分)函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝.………………(4分)(2)证明：由题意可知g(x)＝f(2－x)，得g(x)＝(2－x).……………………………………………………………(5分)令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝－x＋(x－2) ，于是F′(x)＝(x－1)(－1)……………………(7分)当x>1时，2x－2>0，从而－1>0，又e－x>0，所以F′(x)>0.从而函数F(x)在[1，＋∞)上是增函数．又F(1)＝－＝0，所以x>1时，有F(x)>F(1)＝0，即f(x)>g(x)．………………………………………………(9分)(3)证明：①若(－1)( －1)＝0.由(1)及f()＝f()，得＝＝1，与≠矛盾．…………………………(10分)②若(－1)( －1)>0，由(1)及f()＝f()，得＝，与≠矛盾．根据①②得(－1)( －1)<0，…………………………(11分)不妨设<1，>1.由(2)可知，f()>g()，g()＝f(2－)，所以f()>f(2－)，从而f()>f(2－)，因为>1，所以2－<1，又由(1)可知函数f(x)在区间(－∞，1)内是增函数，所以>2－，即＋>2.………(14)练习：1．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是 (　　)A．(a*b)*a＝a　　　　　　B．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝b　　　　　　D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b解析：此题只有一个已知条件：a*(b*a)＝b.B中a*(b*a)＝b原式变为b*(a*b)＝a，成立．C中相当于已知条件中a替换为b，明显成立．D中，b*(a*b)＝a，原式变为(a*b)*a＝b成立．答案：A2．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填所有正确条件的代号)①x为直线，y，z为平面；　　②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；　　④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线解析：由空间位置关系的判定及性质可知①③④正确．答案：①③④4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝csinA，则的最大值为________．解析：由a＝csinA及正弦定理得sinA＝sinC·sinA，从而有sinC＝1，∠C＝90°，所以有a2＋b2＝c2，＝ ＝≤ ＝.答案：4．设数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(n∈N*，p＞0)．数列{bm}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．(1)若p＝，q＝－，求b3；(2)若p＝2，q＝－1，求数列{bm}的前2m项和的公式.解：(1)由题意，得an＝n－，解n－≥3，得n≥.∴使得n－≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即b3＝7.(2)由题意，得an＝2n－1，对正整数m，由an≥m，得n≥.根据bm的定义可知当m＝2k－1时，bm＝k(k∈N*)；当m＝2k时，bm＝k＋1(k∈N*)．∴b1＋b2＋…＋b2m＝(b1＋b3＋…＋b2m－1)＋(b2＋b4＋…＋b2m)＝(1＋2＋3＋…＋m)＋[2＋3＋4＋…＋(m＋1)]＝＋＝m2＋2m.小结：本节课主要复习综合法的，要注意这种方法是：根据命题的性质和已经证明过的命题来进行。

它从已知（已经成立）的不等式或定理出发，逐步推出（由因导果）所证的命题成立．综合法的证明过程是下一节课复习不等式的证明的又一必须掌握的方法——分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程 谢谢指导！。