高中数学必修知识点总结第四章圆与方程
★ 2 22 2 ， 点在圆外; 当 ( x -a ) +( y -b) = r2 0 00 0 ★ 4 、圆两 圆 半1 21+ 21 21+ 21 21 22 2第四章优选文档圆与方程 知识点与习题★1、圆的定义：平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径设 M〔x,y〕为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P ={M |MA| = r}2、圆的方程〔1〕标准方程 (x-a)+(y-b)=r2，圆心(a,b)，半径为r ；点M ( x , y ) 0 0与圆( x -a ) 2 +( y -b ) 2 =r 2的位置关系：当( x -a )2 +( y -b) 0 02>r2 20 0，点在圆上当( x -a ) 02+( y -b)02< r ，点在圆内;〔2〕一般方程x 2 +y 2 +Dx +Ey +F =0〔x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4〔D 2 +E 2 -4 F >0〕当D2 +E 2-4 F >0时，方程表示圆，此时圆心为æ D E ö ç- , - ÷ è 2 2 ø，半径为r =12D2+E2-4 F当D 2 +E 2 -4 F =0时，表示一个点；当D2 +E 2-4 F <0时，方程不表示任何图形。
〔3〕求圆的方程的方法： 待定系数法：先设后求确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；假设利用一般方程，需要求出 D，E，F；直接法：直接依据条件求出圆心坐标以及半径长度其它要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： 〔1〕设直线 l : Ax +By +C =0 ，圆C : (x-a)2+(y-b)2=r2，圆心C (a,b)到l的距离为d =Aa +Bb +C A 2 +B 2，则有d >r Û l与C相离 ； d =r Û l与C 相切 ； d 外切 ｄ＝ｒ ｒ 3 条设 圆相交 |ｒ -ｒ |＜ｄ＜ｒ ｒ 2 条与圆的位置关系：通过 径的和〔差〕，与圆心 之间的大小比较来确内切ｄ＝|ｒ -ｒ |1 条内含 ｄ＜|ｒ -ｒ | 0 条C : (x-a )+(y-b)=r2 ， C : (x-a )2+(y-b )2=R 21 1 1 2 2 2两圆的位置关系常通过两圆半径的和〔差的绝对值〕，与圆心距〔d 〕之间的大小比较来确定〔即几何法〕.1 1 12 2 2 22 2 2 1 1 12 2 2 21 1 1+2 2 22 1 1 ( x , y, z ) xz ★优选文档注意：圆上两点，圆心必在中垂线上；两圆相切，两圆心与切点共线5、.圆 C ：x2+y2+D x+E y+F =0 圆 C ：x2+y2 +D x+E y+F =01联立圆 C 的方程与圆 C 的方程得到一个二元一次方程1① 假设两圆相交，则该二元一次方程表示：圆 C 与圆 C 公共弦所在的直线方程；1② 假设两圆相切，则该二元一次方程表示：圆 C 与圆 C 的公切线的方程；1③ 假设两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点 向两个圆引切线，得到的切线长相等〔反之，亦成立〕★6、一直线与圆相交，求弦的长度①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长 ②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形〔勾股定理〕★7、两圆相交，求公共弦的长度①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长 ③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形〔勾股定理〕★8、圆系与圆系方程(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。 (2) 圆系方程：圆 C ：x21+y2+D x+E y+F =0 圆 C ：x2+y2+D x+E y+F =0圆系方程：x2+y2+D x+E y+F λ(x2+y2+D x+E y+F )=0 〔Ⅰ〕①假设圆 C 与圆 C 交于 P 、P 点，那么，方程〔Ⅰ〕代表过 P 、P 两点的圆的方程 1 2 2②假设圆 C1 与圆 C2 交于 P 点〔一个点〕，则方程〔Ⅰ〕代表过 P 点的圆的方程★9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲〞：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数 问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译〞成几何结论★10、空间直角坐标系1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组( x , y, z ) ， x 、y、z分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z轴上的坐标2、有序实数组( x , y, z )，对应着空间直角坐标系中的一点3 、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组( x , y, z )来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M★， 叫做点 M 的横坐标，11、空间两点间的距离公式y叫做点 M 的纵坐标， 叫做点 M 的竖坐标。 1、空间中任意一点P ( x1 1, y , z ) 到点 P ( x , y , z ) 1 1 2 2 2 2之间的距离公式.1 2OM优选文档一、选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符 合题目要求的)1．两圆的方程是 x2＋y2＝1 和 x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( )A．相离C．外切B．相交D．内切解析：将圆 x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距 (0－3)2＋(0－4)2＝5，又 r ＋r ＝5，∴两圆外切．答案：C2．过点(2,1)的直线中，被圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 截得的最长弦所在的直线方程为( )A．3x－y－5＝0 C．x＋3y－5＝0B．3x＋y－7＝0 D．x－3y＋1＝0y＋2 x－1解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得 ＝ ，即 3x－y－5＝0.1＋2 2－1答案：A3．假设直线(1＋a)x＋y＋1＝0 与圆 x2＋y2－2x＝0 相切，则 a 的值为( )A．1，－1 C．1B．2，－2 D．－1解析：圆 x2＋y2|1＋a＋0＋1|－2x＝0 的圆心 C(1,0)，半径为 1，依题意得 ＝1，即|a＋2|＝ (a＋1)2(1＋a)2＋1＋1，平方整理得 a＝－1. 答案：D4．经过圆 x2＋y2＝10 上一点 M(2， 6)的切线方程是( )A．x＋ 6y－10＝0 C．x－ 6y＋10＝0B. 6x－2y＋10＝0 D．2x＋ 6y－10＝0解析：∵点 M(2， 6)在圆 x2＋y2＝10 上，k ＝6，2∴过点 M 的切线的斜率为 k＝－63，故切线方程为 y－ 6＝－63(x－2)，即 2x＋ 6y－10＝0.答案：D5．点 M(3，－3,1)关于 xOz 平面的对称点是( ).2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 21 2 1 2A．(－3,3，－1) C．(3，－3，－1)优选文档B．(－3，－3，－1) D．(3,3,1)解析：点 M(3，－3,1)关于 xOz 平面的对称点是(3,3,1)．答案：D6．假设点 A 是点 B(1,2,3)关于 x 轴对称的点，点 C 是点 D(2，－2,5)关于 y 轴对称的点，则|AC|＝( )A．5C．10B. 13D. 10解析：依题意得点 A(1，－2，－3)，C(－2，－2，－5)．∴|AC|＝ (－2－1)2＋(－2＋2)2＋(－5＋3)2＝ 13.答案：B7．假设直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＝1 相交于 P、Q 两点，且∠POQ＝120°(其中 O 为坐标原点)，则 k 的值为( )A. 3C. 3或－ 3B. 2D. 2和－ 21解析：由题意知，圆心 O(0,0)到直线 y＝kx＋1 的距离为 ，2∴1 1＝ ，∴k＝± 3. 1＋k2答案：C8．与圆 O ：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0 和圆 O ：x2＋y2－4x－10y＋13＝0 都相切的直线条数是( )A．4C．2B．3D．1解析：两圆的方程配方得，O ：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O ：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心 O (－2,2)，O (2,5)，半径 r ＝1，r ＝4，∴|O O |＝ (2＋2)2＋(5－2)2＝5，r ＋r ＝5.∴|O O |＝r ＋r ，∴两圆外切，故有 3 条公切线． 答案：B9．直线 l 将圆 x2＋y2－2x－4y＝0 平分，且与直线 x＋2y＝0 垂直，则直线 l 的方程是( )A．2x－y＝0 C．x＋2y－3＝0B．2x－y－2＝0 D．x－2y＋3＝0解析：依题意知，直线 l 过圆心(1,2)，斜率 k＝2， ∴l 的方程为 y－2＝2(x－1)，即 2x－y＝0. 答案：A.1 11 1 1 112优选文档10．圆 x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0 的圆心在直线 x＋y－4＝0 上，那么圆的面积为( )A．9π B．πC．2π D．由 m 的值而定解析：∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径 r＝|m |. 依题意知 2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积 S＝π×12＝π.答案：B11．当点 P 在圆 x2＋y2＝1 上变动时，它与定点 Q(3,0)的连结线段 PQ 的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析：设 P(x ，y )，Q(3,0)，设线段 PQ 中点 M 的坐标为(x，y)， x ＋3 y则 x＝ ，y＝ ，∴x ＝2x－3，y ＝2y.2 2 1 1又点 P(x ，y )在圆 x2 ∴(2x－3)2＋4y2＝1.＋y2＝1 上，故线段 PQ 中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.答案：C12．曲线 y＝1＋ 4－x2与直线 y＝k(x－2)＋4 有两个交点，则实数 k 的取值范围是( ) 5 5A．(0， ) B．( ，＋∞)12 121 3 5 3C．( ， ] D．( ， ]3 4 12 4解析：如下列图，曲线 y＝1＋ 4－x2变形为 x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，直线 y＝k(x－2)＋4 过定点(2,4)，当直线 l 与半圆相切时，有|－2k＋4－1| 5＝2，解得 k＝ .k2＋13当直线 l 过点(－2,1)时，k＝ .45 3因此，k 的取值范围是
