小学奥数六年级《算式谜》经典专题点拨教案

小学奥数六年级《算式谜》经典专题点拨教案　　【添运算符号】　　例1 能不能在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立？　　1□2□3□4□5□6□7□8□9=10　　（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）　　讲析：在只有加减法运算的算式中，如果只改变“＋”、“-”符号，不会改变结果的奇偶性　　而1＋2+……＋9=45，是奇数所以无论在□中，怎样填“＋”、“-”符号，都不能使结果为偶数　　例2 在下列□中分别填上适当的运算符号，使等式成立　　12□34□5□6□7□8=1990　　（1990年广州市小学数学邀请赛试题）　　讲析：首先凑足与1990接近的数12×34×5=2040，然后调整为：12×34×5-6×7-8=1990　　例3 在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立　　　　（中南地区小学数学竞赛试题）　　讲析：可先凑足与1993接近的数　　1122＋334＋455+66+7+7=1991　　然后，用后面的二个8和二个9，凑成2，得1122+334+455+66+7+7-8-8+9+9=1993　　【横式填数】　　例1 如果10+9-8×7÷□+6-5×4=3，那么，“□”中所表示的数是______。

　　（上海市小学数学竞赛试题）　　讲析：等式左边能计算的，可先计算出来，得5—56÷□=3，∴□=28　　例2 在两个□中分别填上两个不同的自然数，使等式成立　　　　　（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）　　讲析：　　时，等式都能成立　　所以，A=1994；B=1993×1994=3974042　　 　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）　　讲析：　　A+B=3　　例4 在下面的○、□和△中分别填上不同的自然数，使等式成立　　　　（1987年北大友好数学邀请赛试题）　　讲析：　　最大为：　　 　　　　所以，○、□和△应填的数分别是2、3、9　　例5 在下面的□中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字（每个式子中的数字不能重复），使带分数算式：　　　　　　（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）　　讲析：可从整数部分和小数部分分开考虑要使减法式的值最大，必须使被减数最大而减数最小，从而可得　　　　要使加法式的值最小，首先必须使每个加数中的整数部分尽可能小从　　【数字谜】　　例1 图5.8的算式里，每个□代表一个数字问：这6个□中的数字总和是多少？　　（全国第三届“华杯赛”初赛试题）　　讲析：任意两个数字之和最多为18，且最多只向前一位进一，所以百位上的两个数字和十位上的两个数字都是9，而个位上的两位数可能为：（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）之一种，故6个□内的数字总和为9×4＋11=47。

　　例2 已知两个四位数的差是8921（图5.9），那么这两个四位数的和最大是______　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）　　讲析：要使这两个四位数的和最大，必须使被减数尽量大故被减数为9999进而可求出减数为1078，两数和为9999＋1078=11077　　例3 如图5.10的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求使算式成立的汉字所表示的数字（数+学+喜）×爱=______　　（北京市第八届“迎春杯”小学数学邀请赛试题）　　讲析：可从个位上开始思考学+学+学+学）的个位为2，则“学”只能是3或8当“学”=8时，“数”=2这时十位上的数相加之后，没有向百位上进一，从而使（“爱”＋“爱”）不可能个位上是9　　所以，“学’不等于8　　当“学”=3时，容易推出“数”=6，“爱”=4，“喜”=1所以，（数+学+喜）×爱=（6＋3＋1）×4=40　　例4 如图5.11，竖式中四个□是被盖住的四个数字，这四个数字的和是多少？　　（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）　　讲析：1992=2×2×2×3×83从分解质因数情况看，要把1992分成两个两位数之积，两个两位数只能是24和83，故这四个数字之和为2＋4+8＋3=17　　例5 在图5.12的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1。

那么这个算式的乘积是______　　（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）　　讲析：可用字母来代替各数字（如图5.13）显然，F=K，E=O又，只有27×4或17×6　　C≠3　　于是得B=3，C=7　　又因AB×D=10F，可推出A=5，D=2，从而容易求出算式的答案为53×72=3816　　例6 在图5.14的式子中，不同的汉字代表不同的数字，□代表一位自然数要使算式成立，“盼”字代表数字______　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）　　讲析：经观察发现，积是由相同的数字组成的9位数，则积中一定含有因数3和9而当□为3时，式中的积除以3所得的商，一定含有相同的数字这与题意矛盾所以□为9　　经检验，“盼”字代表“7”被乘数是 86419753　　例7 把图5.15中的算式补充完整　　（辽宁省首届小学数学竞赛试题）　　讲析：为方便起见，可将算式中各数分别用字母代替（如图5.16）　　　　附送：2019-2020年小学奥数六年级《速算公式》经典专题点拨教案　　【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为　　（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc　　=102a2+10a（b+c）+bc　　=100a2+100a+bc　　＝a（a+1）×100+bc。

　　根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积　　例如，72×78=（7×8）×100+2×8　　=5616　　45×45=（4×5）×100+5×5　　=2025　　首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去例如　　256×254　　可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得　　256×254=[25×（25+1）]×100+6×4　　=[25×26]×100+24　　=65024　　又如，155×155=（15×16）×100+5×5　　=24025　　【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为　　（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2 　　＝100ab+10c（a+b）+c2 　　=100ab+100c+c2 　　=（ab+c）×100+c2　　根据这一公式，两个“末同首合十”的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积（末位数的平方）。

　　例如，34×74=（3×7+4）×100+42　　=25×100+16　　=2516　　【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上的数字分别是a和b，则它们的积是　　（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+12　　＝10a×10b+（a+b）×10+1　　由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘，然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后在后面添上1　　例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1　　=3500+12091　　=3621　　这样的题目，口算的方法可以是：　　　　【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数，个位上的数字分别是a和b，则它们的积是：　　（10+a）（10+b）＝100+10a+10b+ab　　=（10+a+b）×10+ab　　由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末位数，所得的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积　　例如，17×16=（17+6）×10+7×6　　=230+42　　=272　　【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算方法。

　　（1）两个超过100的数相乘　　设两个超过100的数分别为a和b，它们与100的差分别为h和k，则a=100+h，b=100+k它们的积是　　a·b＝（100+h）（100+k）　　=（100+h）×100+100k-hk　　=（100+h+k）×100+hk　　=（a+k）×100+hk　　由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个数与100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补充数）的乘积　　例如，108×112=（108+12）×100+8×12　　=1xx+96　　=12096　　快速口算的思考方法可以是：　　　　　　又如，103×102=（103+2）×100+3×2　　=10500+6　　=10506　　快速口算的思考方法可以是　　　　　　（2）两个不足100的数相乘　　设两个不足100的数一个为a=100-h，另一个为b=100-k，则它们的积是　　a· b=（100－h）（100－k）　　=（100-h）×100-100k+hk　　=（100-h-k）×100+hk　　=（a-k）×100+hk　　由这个公式可知，两个不足100的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差，然后将所得结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（两个补充数）的乘积。

　　例如，89×97=（89-3）×100+11×3　　=8600+33　　=8633　　快速口算的思考方法可以是　　　　　　又如，89×88=（89-12）×100+11×12　　=7700+132　　=7832　　快速口算的思考方法可以是　　　　　　（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘　　设一个因数a比100大h，即a=100+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，则它们的积是　　a·b=（100+h）（100-k）　　=（100+h）×100-100k+hk　　=（100+h-k）×100+hk　　＝（a-k）×100-hk　　由这个公式可知，一个超过100、一个不足100的两个数相乘，可以先从大于100的因数中，减去另一个因数与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的乘积　　例如，104×97=（104-3）×100-4×3　　=10100-12　　=10088　　快速口算思考方法可以是　　　　【平方差公式】两个数的和，乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差平方差公式用字母表达就是：　　（a+b）（a-b）=a2-b2　　运用平方差公式计算，可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。

例如　　362-262=（36+26）×（36-26）　　=62×10=620　　672-522=（67+52）×（67-52）　　=119×15　　=1190+595=1785　　872-762=（87+76）×（87-76）　　=163×11　　=1630+163　　=1793　　这个公式反过来，也可以运用于两数相乘的速算但其前提是：两个因数必须能化成同样的两个数的和与差例如　　17×23=（20-3）×（20+3）　　=（20+3）×（20-3）　　=202-32　　=400-9　　=391　　94×86=（90+4）×（90-4）　　=902-42　　=8100-16　　=8084　　以上两例的特点是：首位相差1，末位数字之和是10这样两个数相乘，可用较大数的十位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后运用平方差公式进行速算　　【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相乘，可先将一个乘数的个位数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的积即　　（10a+b）（10a+c）=（10a+b+c）×10a+bc　　例如，43×46=（43+6）×40+3×6　　=1978　　84×87=（84+7）×80+4×7　　=7308　　【一因数两数字和是10，另一因数为11的倍数的两数乘法公式】一个因数的两个数字为a和b，且a+b=10，另一个因数为11的倍数，这样的两个两位数相乘，可先将前一个乘数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积。

即　　（10a+b）（10c+c）=（a+1）c×100+bc　　例如，73×44＝（7+1）×4×100+3×4　　=3212　　【个位数相同的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两个十位数字相乘，再乘以100，再加上一个因数与另一个因数十位数值的和，然后乘以另一因数的个位数即　　（10a+c）（10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c　　例如，42×32=4×3×100+（42+30）×2=1344　　【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘，可将几十几的十位数值乘以十几的个位数数字，再加上几十几的10倍，然后加上两个个位数字之积即　　（10a+b）（10+c）=10a×c+（10a+b）×10+bc　　例如，65×17=60×7+650+5×7　　=1105　　【末两位为25的三位数自乘公式】末两位为25的三位数自乘时，可以用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字的1000倍，然后加上625即　　（100a+25）2=（10a+5）×1000a+625　　例如，7252=（70+5）×7000+625　　=525625　　如果直接写答案，可以是　　7252=525 625　　 ↑ ↑　　75×7 252　　又如，3252=105 625　　↑ ↑　　35×3 252　　【末两位为75的三位数自乘公式】 末两位为75的三位数自乘时，可用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字与1的和的积的1000倍，再加上625。

即　　（100a+75）2=（10a+5）×（a+1）×1000+625　　例如，8752=（80+5）×（8+1）×1000+625　　=765625　　如果直接写答案，可以是　　8752=765 625　　↑　　85×9　　又如，3752=140 625　　↑　　35×4。