上海市虹口区2020-2021学年高一上学期期末数学试题

．【点睛】本题考查函数的与方程的应用，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及 计算能力．11．②③④【分析】由已知求出【详解】1 ，分析函数的奇偶性，单调性，最值，可得答案． 2∵函数 f (x)=æ1 öç ÷è øx的图象与函数y =g (x)的图象关于直线 y =x 对称，∴g (x)=log x1，∴h (x)=g(1-x2)=log1(1-x2) 2h (x)的定义域为(-1,1).2故h (-x)=h(x)，即函数为偶函数，函数图象关于 轴对称， 故①错误；②正确；根据复合函数单调性同增异减可知，h (x)在(-1,0)上递减，在 (0,1)上递增，故当x =0 时，函数取最小值h (0)=0，故③正确；当x Î(0,1)时，内外函数均为减函数，故函数y =h (x)在(0,1)上为增函数，故④正确；故答案为：②③④【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性，单调性，最值，难度中档． 12．C【分析】根据求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可．【详解】全集U =Z，集合A ={x|1 £x <7, x ÎZ}={1,2,3,4,5,6}，答案第 6 页，总 16 页x ç ÷本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

B ={x=2k-1, k ÎZ}，∴C B ={x=2k, k ÎZ U}，∴A(CB )={2,4,6}， U故选：C．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 13．A【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断充分必要性即可．【详解】由“ x2+x ³0 ”，解得：x ³0或x £-1，故“x <-2”是“x ³0或x £-1”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题． 14．B【分析】根据奇函数和减函数的定义判断即可．【详解】对于 A：y = f (x)=x，则 f (-x)=-x=x是偶函数．对于 B：y = f (x)=-x3 ，则 f (-x)=x3=-f (x)是奇函数，根据幂函数的性质可知，是减函数．æ1 ö对于 C： y = ，根据指数函数的性质可知，是减函数．不是奇函数．è2 ø对于 D： y =1x定义为(-¥,0)È(0,+¥)，在其定义域内不连续，承载断点，∴在(-¥,0)和在(0,+¥)是减函数．故选：B．答案第 7 页，总 16 页3 3 3 2 ÷ ê ) () ( )( )ê ç÷ ç ÷ú 2 2è øû è øë ç ÷ 0 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

点睛】本题考查了函数的性质之奇函数和减函数的定义的运用．比较基础． 15．D【分析】根据对数的运算性质和基本不等式即可求出．【详解】设x, y ÎR， a >1 ，b >1， ax=by=3 ，a +b =6，∴x =log 3 ， y =log 3 a b，∴1 1+ =log a +log b =log ab £log x y3æa +b ö ç ÷è ø2=2 ，当且仅当a =b =3时取等号，故选：D【点睛】本题考查了不等式的基本性质和对数的运算性质，属于基础题． 16．D【分析】根据分段函数的解析式，代入化简运算，结合f(f (x0))ÎM，求出 x0的范围．【详解】∵0 £x <012，∴f (x0)=x +012，即é1 öf ( x ) Î ,1 Í N 0 ë2 ø∴f(é æ 1 öù æ1 öf x =2 1 - f x =2 1 - x + =2 -x 0 0 0 0，∵f(f (x0))ÎM，∴0 £2æ1 ö 1-x < è2 0 ø 2，∴1 1

∵0 £x <012，∴1 1 f ( x )则2 x +1 > x,故(2x+1)2>x2Þ(2x+1)2-x2>0Þ(3x+1)(x+1)>0.解得x Î( -¥,-1)1( - , +¥) 3故选：D【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性与单调性求解不等式的问题, 值去求解,属于中等题型.偶函数的不等式一般用绝对18．p =-2， q =1 ， r =-2．【分析】根据A Ç B ={1}求出 的值以及1 +q +r =0①，再根据(CA ) B ={-2}得出 U4 -2 q +r =0【详解】②，由①②组成方程组求出 、 的值．集合A ={x|x2 +px +1 =0}，B={x|x2 +qx +r =0}，且A Ç B ={1}，答案第 9 页，总 16 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

∴1 +p +1 =0 ，解得 p =-2；又1 +q +r =0，①(CA ) B ={-2}， U∴4 -2 q +r =0，②由①②组成方程组解得q =1， r =-2；∴实数p =-2， q =1 ， r =-2．【点睛】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题目．19．（1）x Î(-2,-1][3,4)（2）见解析【分析】（1）直接利用一元二次不等式的解法求解即可． （2）利用作差法化简，证明即可．【详解】（1）不等式： 3 £x2-2 x <8 ，ì即： íîx 2 -2 x -3 ³0 ìx £-1或x ³3，解得： íx 2 -2 x -8 <0 î-2

分析】（1）求出函数的定义域，化简函数的解析式，然后作出函数f (x)的大致图象；（2）利用函数的图象，指出函数 【详解】f (x)的奇偶性、单调区间及零点．（1）函数f (x)=log2x -1的定义域为：{x| x ¹±1,x ÎR}．函数ìlog (x-1), ïlog (1-x),f x =log x -1 =ílog x +1 , ïlog (-x-1),2x >10

函数的单调增区间(0,1)，单调减区间(-¥,0)，(1,+¥)．（2）函数f (x)=c恰有三个不同的解，结合（1）中函数图象，即可得出实数 的取值范围为 (0,1)．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的图象以及函数的零点个数的判断，考查数形结合以及计算 能力．22．（1） y = f (x)=2x1600 -x2，x Î(0,40 )．（2）截取 AD =20 2 时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为 1600．【分析】（1）根据题意可得 AB =2OA =2 402-x2=2 1600 -x2 ，可得y = f(x)=2 x 1600 -x2，x Î(0,40 )．（2）平方利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】（1）根据题意可得 AB =2OA =2 402-x2=2 1600 -x2 ，∴ y = f(x)=2 x 1600 -x2，x Î(0,40 )．（2）y 2 =4 x 2 (1600-x2 )£4´æx2 +1600 -x 2 ö ç ÷è ø2=16002，即y £1600，当且仅当x =20 2 时取等号．∴截取 AD =20 2 时，才能使矩形材料 ABCD 的面积最大，最大面积为 1600． 【点睛】答案第 12 页，总 16 页( )ï ï î ê úx ( )ç ÷2 1 ç 2 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．ìï7-4 a , a >223．（1） x =2 ，（2） m =0 ， n =2 ，（3）【分析】ïï 1h a =í-a2+3, £a £22ï 13 1 -a + , a <î 4 2（1）根据函数的对称性即可求出g (x)，即可得到f (g(x))=x，解得即可．ìm2 =2 m（2）先求出函数的解析式，得到 í ，解得 m =0 ， n =2 ，n2 =2 n（3）由x Î[-1,1]可得é1 ùt Î ,2ë2 û，结合二次函数的图象和性质，对 a 进行分类讨论，即可得到函数y = f2(x)-2af(x)+3的最小值h(a)的表达式．【详解】æ1 ö（1）∵函数 f x = 的图象与函数è2 øg (x)=log x∴，122f (g(x))=6-x∵，log xæ1 ö2∴2 =6 -x=x ，ç ÷è øy =g(x)的图象关于直线 y =x 对称，即 x 2 +x -6 =0 ，解得x =2或x =-3（舍去），故 x =2 ，（2）y =g (f(x2))=log12æ 1è2xö÷ø=x2，∵定义域为[m,n](m³0)，值域为[2m,2 n]，答案第 13 页，总 16 页î x ç ÷ê úë 2 û ç ÷( )ï ï 2 ë û x ë æ ö ÷ 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

ìm2 =2 mí ，n2 =2 n解得 m =0 ， n =2 ，æ1 ö（3）令 t = ，è2 ø∵x Î[-1,1]，∴é1 ùt Î ,2ë2 û，则y =éf(x)ù-2af(x)+3等价为y =m (t)=t2-2at +3，对称轴为 t =a ，当a <12时，函数的最小值为h(a)æ1 ö=m =è2 ø134-a；当12£a £2时，函数的最小值为h (a)=m(a)=3-a2；当 a >2 时，函数的最小值为 ìï7-4 a, a >2h (a)=m(2)=7-4a；故ïï 1h a =í-a2+3, £a £22ï 13 1 -a + , a <î 4 2.【点睛】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分段函数，是函数图 象和性质的综合应用，难度中档．24．（1）f (x)=logx -1(x>0)（2）x=2 或 16；（3）当 x =1 时，2g (x)取得最小值 1．【分析】（1）由已知得b +log 8 =2 ， b +log 1 =-1a a，从而求解析式即可；（2）éf (x)ù=3f(x)，即f (x)=0或 3，即可求实数 的值；（3）化简g (x)=2élog2(x+1)-1ùû-(log2x-1)=log2çèx+1x+2 -1ø，从而利用基本不答案第 14 页，总 16 页2 ë û ë û ç ÷ î ï 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。