上节课的内容光波与电磁波麦克斯韦方程组

上节课的内容：上节课的内容：光波与电磁波光波与电磁波 麦克斯韦方麦克斯韦方程组程组1.电磁波谱电磁波谱2.麦克斯韦电磁方程麦克斯韦电磁方程3.物质方程物质方程5.光电磁场的能流密度光电磁场的能流密度4.波动方程波动方程1.2 几种特殊形式的光波几种特殊形式的光波(Several light waves with special forms)3.柱面光波柱面光波(Cylindrical light wave)1.平面光波平面光波(Plane light wave)2.球面光波球面光波(Spherical light wave)4.高斯光束高斯光束(Gaussian beams)上节得到的交变电场上节得到的交变电场 E 和交变磁场和交变磁场 H 所满足的波动所满足的波动方程，可以表示为如下的一般形式方程，可以表示为如下的一般形式：1.2 几种特殊形式的光波几种特殊形式的光波这是一个二阶偏微分方程，根据边界条件的不同，解这是一个二阶偏微分方程，根据边界条件的不同，解的具体形式也不同，例如的具体形式也不同，例如，可以是平面光波、球面光可以是平面光波、球面光波、柱面光波或高斯光束波、柱面光波或高斯光束。

首先说明，光波中包含有首先说明，光波中包含有电场矢量和磁场矢量电场矢量和磁场矢量，从，从波的传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从波的传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质的相互作用来看，其作用不同光与介质的相互作用来看，其作用不同在通常应用的情况下，磁场的作用远比电场弱，甚在通常应用的情况下，磁场的作用远比电场弱，甚至不起作用因此，通常把光波中的电场矢量至不起作用因此，通常把光波中的电场矢量 E 称称为光矢量为光矢量，把电场把电场 E 的振动称为光振动，在讨论光的振动称为光振动，在讨论光的波动持性时，只考虑电场矢量的波动持性时，只考虑电场矢量 E 即可1.平面光波平面光波(Plane light wave)1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解在直角坐标系中，拉普拉斯算符的表示式为在直角坐标系中，拉普拉斯算符的表示式为为简单起见，假设为简单起见，假设 f 不含不含 x、y 变量，则波动方程为变量，则波动方程为1.平面光波平面光波(Plane light wave)1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解为了求解波动方程，先将其改写为为了求解波动方程，先将其改写为令令可以证明可以证明1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解因而，上面的方程变为因而，上面的方程变为求解该方程，求解该方程，f 可表示为可表示为对于式中的对于式中的 f1(z-t)，(z-t)为常数的点都处于相为常数的点都处于相同的振动状态。

如图所示，同的振动状态如图所示，t0 时的波形为时的波形为 I，tt1时的波形时的波形相对于波形相对于波形 I 平移了平移了 t1,1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解f1(z-t)表示的是沿表示的是沿 z 方向、以方向、以 速度传播的波速度传播的波类似地，分析可知类似地，分析可知 f2(z+t)表示的是沿表示的是沿-z 方向、以速度方向、以速度 传播的波传播的波ftzt=0t1t2t1波阵面：将某一时刻振动波阵面：将某一时刻振动相位相同相位相同的点连接起来，的点连接起来，所组成的曲面叫波阵面所组成的曲面叫波阵面由于此时的波阵面是垂直由于此时的波阵面是垂直于传播方向于传播方向 z 的平面，所以的平面，所以 fl 和和 f2 是平面光波是平面光波1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解Oxyzk在一般情况下，沿任一方向在一般情况下，沿任一方向 k、以速度、以速度 v 传播的平传播的平面波，如右图所示面波，如右图所示1）波动方程的平面光波解）波动方程的平面光波解zOxyk2）单色平面光波）单色平面光波（1）单色平面光波的三角函数表示单色平面光波的三角函数表示(20)式是波动方程在式是波动方程在平平面光波情况下的一般解形式，面光波情况下的一般解形式，根据具体条件的不同，可以采取不同根据具体条件的不同，可以采取不同的的具体具体函函数表数表示。

示最最简单、最普遍采用的是三角函数形式简单、最普遍采用的是三角函数形式，即，即（1）单色平面光波的三角函数表示单色平面光波的三角函数表示若只计沿若只计沿+z 方向传播的平面光波，其电场表示式为方向传播的平面光波，其电场表示式为这就是平面简谐光波的三角函数表示式式中，这就是平面简谐光波的三角函数表示式式中，e 是是 E 振动方向上的单位矢量振动方向上的单位矢量1）单色平面光波的三角函数表示单色平面光波的三角函数表示所谓单色，即指单频所谓单色，即指单频一个单色平面光波是一个在一个单色平面光波是一个在时间上无限延续，空间上无限延伸的光波动，在时时间上无限延续，空间上无限延伸的光波动，在时间、空间中均具有周期性间、空间中均具有周期性其时间周期性用周期其时间周期性用周期（T）、频率、频率（v）、圆频率、圆频率（）表征，而由表征，而由（21）式形式的对称性，其空间周式形式的对称性，其空间周期性可用期性可用、1/、k 表征，并分别可以称为表征，并分别可以称为空间周空间周期、空间频率和空间圆频率期、空间频率和空间圆频率1）单色平面光波的三角函数表示单色平面光波的三角函数表示单色平面光波的时间周期性与空间周期性密切相关单色平面光波的时间周期性与空间周期性密切相关,并由并由 v/相联系。

相联系为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复数形式例如，可以将沿例如，可以将沿 z 方向传播的平面光波写成方向传播的平面光波写成采用这种形式，就可以用简单的指数运算代替比较采用这种形式，就可以用简单的指数运算代替比较繁杂的三角函数运算繁杂的三角函数运算2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示例如，在光学应用中，经常因为要确定光强而求振例如，在光学应用中，经常因为要确定光强而求振幅的平方幅的平方 E20，对此，只需将复数形式的场乘以它的，对此，只需将复数形式的场乘以它的共轭复数即可，共轭复数即可，（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示应强调的是，任意描述真实存在的物理量的参量都应应强调的是，任意描述真实存在的物理量的参量都应当是实数，在这里采用复数形式只是当是实数，在这里采用复数形式只是数学上运算方便数学上运算方便的需要的需要由于对由于对（22）式取实部即为式取实部即为（21）式所示的函数，式所示的函数，所以，对复数形式的量进行线性运算，只有取实部后所以，对复数形式的量进行线性运算，只有取实部后才有物理意义，才能与利用三角函数形式进行同样运才有物理意义，才能与利用三角函数形式进行同样运算得到相同的结果。

算得到相同的结果2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示此外，由于对复数函数此外，由于对复数函数 exp-i(t-kz)与expi(t-kz)两两种形式取实部得到相同的函数，所以对于平面简谐光种形式取实部得到相同的函数，所以对于平面简谐光波，采用波，采用，exp-i(t-kz)和和expi(t-kz)两种形式完全两种形式完全等效2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示exp-i(t-kz)expi(t-kz)（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 对于平面简诣光波的复数表示式，可以将时间相位对于平面简诣光波的复数表示式，可以将时间相位因子与空间相位因子分开来写：因子与空间相位因子分开来写：式中式中称为称为复复振幅振幅2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 若考虑场强的初相位，复振幅为若考虑场强的初相位，复振幅为复振幅表示场振动的振幅和相位复振幅表示场振动的振幅和相位随空间的变化随空间的变化在许多应用中，由于多应用中，由于 exp(-it)因子在空间因子在空间各处都相同各处都相同，所，所以只考察场振动的空间分布以只考察场振动的空间分布2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 进一步，若平面简谐光波沿着任一波矢进一步，若平面简谐光波沿着任一波矢 k 方向传播方向传播,则其则其三角函数形式和复数形式三角函数形式和复数形式表示式分别为表示式分别为相应的复振幅为相应的复振幅为 （2）单色平面光波的复数表示单色平面光波的复数表示 在信息光学中，经常遇到在信息光学中，经常遇到相位共扼光波相位共扼光波的概念。

所的概念所谓相位共扼光波，是指两列同频率的光波，它们的谓相位共扼光波，是指两列同频率的光波，它们的复振幅之间是复振幅之间是复数共轭复数共轭的关系2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 假设有一个平面光波的波矢量假设有一个平面光波的波矢量 k 平行于平行于 xOz 平面，在平面，在 z0 平面上的平面上的复复振幅振幅为为式中的式中的 为为 k 与与 z 轴的夹角轴的夹角xzEOxzEO（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 则相应的相位共扼光波复振幅为则相应的相位共扼光波复振幅为此相位此相位共轭共轭光波是与光波是与 波来自同一波来自同一侧侧的平面光波，的平面光波，其波矢量平行于其波矢量平行于 xOz 平面平面，与与 z 轴夹角为轴夹角为-2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 此相位此相位共轭共轭光波是与光波是与 波来自同一波来自同一侧侧的平面光波，的平面光波，其波矢量平行于其波矢量平行于 xOz 平面平面，与与 z 轴夹角为轴夹角为-xzE*EO-（2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 如果对照如果对照（30）式，把式，把（28）式的复数共扼写成式的复数共扼写成则这个沿则这个沿-k 方向，即与方向，即与 波反向传播的平面光波波反向传播的平面光波也是其相位共扼光波。

也是其相位共扼光波2）单色平面光波的复数表示）单色平面光波的复数表示 一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面光波，等相位面是以点光源为中心、随着距离的增光波，等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同心球面大而逐渐扩展的同心球面球面波球面波r光线光线波阵面波阵面2.球面光波球面光波(Spherical light wave)球面光波所满足的波动方程仍然是球面光波所满足的波动方程仍然是（18）式，只是式，只是由于球面光波的球对称性，其波动方程仅与由于球面光波的球对称性，其波动方程仅与 r 有关，有关，与坐标与坐标 、无关，所以球面光波的振幅只随距离无关，所以球面光波的振幅只随距离 r 变化若忽略场的矢量性，采用标量场理论，可将变化若忽略场的矢量性，采用标量场理论，可将波动方程表示为波动方程表示为式中式中，2.球面光波球面光波(Spherical light wave)对于球面光波，利用球坐标讨论比较方便此时对于球面光波，利用球坐标讨论比较方便此时，（32）式可表示为式可表示为2.球面光波球面光波(Spherical light wave)即即因而其解为因而其解为f1(r-t)代表从原点沿代表从原点沿 r 正方向向外发散的球面光波，正方向向外发散的球面光波，f2(r+t)代表向原点传播的会聚球面光波。

球面波代表向原点传播的会聚球面光波球面波的振幅随的振幅随 r 成反比例变化成反比例变化2.球面光波球面光波(Spherical light wave)其复数形式为其复数形式为最简单的简谐球面光波最简单的简谐球面光波单色球面光波的波函数为单色球面光波的波函数为复振幅为复振幅为上面三式中的上面三式中的 A1 为离开点光源单位距离处的振幅值为离开点光源单位距离处的振幅值2.球面光波球面光波(Spherical light wave)一个各向同性的一个各向同性的无限长线光源无限长线光源，向外发射的波是柱面，向外发射的波是柱面光波，其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的光波，其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的增大而逐渐展开的增大而逐渐展开的同轴圆柱面同轴圆柱面，如图所示如图所示zr3.柱面光波柱面光波(Cylindrical light wave)柱面光波所满足的波动方程可以采用以柱面光波所满足的波动方程可以采用以 z 轴为对称轴为对称轴、不含轴、不含 z 的圆柱坐标系形式描述：的圆柱坐标系形式描述：式中，式中，这个方程的解形式比较复杂，此这个方程的解形式比较复杂，此处不详述但可以证明，当处不详述。

但可以证明，当 r 较大（远大于波长）较大（远大于波长）时，其单色柱面光波的表示式为时，其单色柱面光波的表示式为3.柱面光波柱面光波(Cylindrical light wave)复振幅为复振幅为可以看出，柱面光波的振幅与可以看出，柱面光波的振幅与 成反比3.柱面光波柱面光波(Cylindrical light wave)由激光器产生的激光束既不是上面讨论的均匀平面光由激光器产生的激光束既不是上面讨论的均匀平面光波，也不是均匀球面光波，而是一种波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等相位面振幅和等相位面都在变化的高斯球面光波都在变化的高斯球面光波，亦称为高斯光束亦称为高斯光束在由激光器产生的各种模式的激光中，最基本、应用在由激光器产生的各种模式的激光中，最基本、应用最多的是基模（最多的是基模（TEM00）高斯光束，因此，在这里仅）高斯光束，因此，在这里仅讨论基模高斯光束有关这种高斯光束的产生、传输讨论基模高斯光束有关这种高斯光束的产生、传输特性的详情，可参阅激光原理教科书特性的详情，可参阅激光原理教科书4.高斯光束高斯光束(Gaussian beams)从求解波动方程的观点看，基模高斯光束仍是波动方从求解波动方程的观点看，基模高斯光束仍是波动方程（程（18）式在激光器谐振腔条件下的一种特解。

它是）式在激光器谐振腔条件下的一种特解它是以以 z 轴为柱对称的波，其表达式内包含有轴为柱对称的波，其表达式内包含有 z，且大体，且大体朝着朝着 z 轴的方向传播轴的方向传播4.高斯光束高斯光束(Gaussian beams)考虑到高斯光束的柱对称性，可以采用考虑到高斯光束的柱对称性，可以采用圆柱坐标系圆柱坐标系中的波动方程形式：中的波动方程形式：其解的一般函数形式为其解的一般函数形式为可以证明，下面的表达式满足上述波动方程：可以证明，下面的表达式满足上述波动方程：4.高斯光束高斯光束(Gaussian beams)式中式中 E0 常数，其余常数，其余符号的意义为符号的意义为4.高斯光束高斯光束(Gaussian beams)这里，这里，0=(z=0)为基模高斯光束的为基模高斯光束的束腰半径束腰半径；f 为高斯光束的共焦参数或为高斯光束的共焦参数或瑞利长度瑞利长度；R(z)为与传播为与传播轴线相交于轴线相交于 z 点的高斯光束点的高斯光束等相位面的曲率半径等相位面的曲率半径；(z)是与传播轴线相交于是与传播轴线相交于 z 点高斯光束等相位面上的点高斯光束等相位面上的光斑半径光斑半径4.高斯光束高斯光束(Gaussian beams)(z)0R(z)z0(42)式的波场就是基模高斯光束的标量波形式，由它式的波场就是基模高斯光束的标量波形式，由它可以研究：可以研究：4.高斯光束高斯光束(Gaussian beams)(1)光强分布的特征光强分布的特征;(2)空间相移特征空间相移特征;(3)发散角的特征：发散角的特征：（1）基模高斯光束在横截面内的）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布光电场振幅分布按按照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外平滑照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外平滑地下降，如图所示。

地下降，如图所示1/ez01exp-r2/2(z)(z)(z)4.高斯光束高斯光束(Gaussian beams)由中心振幅值下降到由中心振幅值下降到 1/e(1/2.718281828459=0.3678)点点所对应的宽度，定义为所对应的宽度，定义为光斑半径光斑半径1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布可见，光斑半径随着坐标可见，光斑半径随着坐标 z 按按双曲线的规律扩展双曲线的规律扩展，即，即在在 z0 处，处，(z)=0，达到极小值，达到极小值，称为束腰半径称为束腰半径1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布由（由（45）式可见，只要知道高斯光束的束腰半径）式可见，只要知道高斯光束的束腰半径0，即可确定任何即可确定任何 z 处的光斑半径处的光斑半径.0 是由激光器谐振腔是由激光器谐振腔决定的决定的,改变激光器谐振腔的结构设计改变激光器谐振腔的结构设计,即可改变即可改变0 值值.(z)0R(z)z0（1）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布）基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分布(2)基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子决定了基模高斯光束的空间相移特性。

决定了基模高斯光束的空间相移特性2)基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子(a)kz 描述了高斯光束的几何相移；描述了高斯光束的几何相移；(b)arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离描述了高斯光束在空间行进距离 z 处、处、相对于几何相移的附加相移；相对于几何相移的附加相移；(c)因子因子 kr2/(2R(z)则表示与横向坐标则表示与横向坐标 r 有关的相有关的相 移，它表明高斯光束的等相位面是以只移，它表明高斯光束的等相位面是以只 R(z)为半为半 径的球面径的球面2）基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子R(z)随随 z 的变化规律为的变化规律为（2）基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子可见：可见：当当 z0 时，时，R(z)，表明束腰所在处的等相位表明束腰所在处的等相位 面为平面；面为平面；当当 z 时，时，R(z)z，表明离束腰无限远表明离束腰无限远 处的等相位面亦为平面，且曲率心就在束腰处；处的等相位面亦为平面，且曲率心就在束腰处；当当 zf 时，时，R(z)2f，达到极小值；，达到极小值；（2）基模高斯光束场的相位因子基模高斯光束场的相位因子 当当 0zf 时，时，R(z)2f，表明等相位面的曲率中，表明等相位面的曲率中 心在心在（，f）区间上区间上；当当 zf 时，时，zR(z)zf，表明等相位面的曲率中，表明等相位面的曲率中 心在心在（f，0）区间上。

区间上z)R(z)z0f-f基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的发基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的发散度采用散度采用远场发散角表征远场发散角表征远场发散角远场发散角1/e2定义为定义为 z 时，强度为中心的时，强度为中心的 1/e2 (0.135335)点所夹角的全点所夹角的全宽度，即宽度，即显然，高斯光束的发散度由束腰半径显然，高斯光束的发散度由束腰半径0 决定3）基模高斯光束发散角）基模高斯光束发散角基模高斯光束在其传播轴线附近，可以看作是一种基模高斯光束在其传播轴线附近，可以看作是一种非非均匀的球面波均匀的球面波，其等相位面是曲率中心不断变化的球，其等相位面是曲率中心不断变化的球面，面，振幅和强度在横截面内保持高斯分布振幅和强度在横截面内保持高斯分布z)0R(z)z04.高斯光束高斯光束(Gaussian beams)1/ez01exp-r2/2(z)(z)(z)。